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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 第五課時 解三角形應(yīng)用舉例教案（一） 蘇教版必修5 教學(xué)目標(biāo)： 會在各種應(yīng)用問題中,抽象或構(gòu)造出三角形,標(biāo)出已知量、未知量,確定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解決的各類應(yīng)用問題的基本圖形和基本等量關(guān)系，理解各種應(yīng)用問題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等，通過解三角形的應(yīng)用的學(xué)習(xí)，提高解決實際問題的能力；通過解斜三角形在實際中的應(yīng)用，要求學(xué)生體會具體問題可以轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問題，以及數(shù)學(xué)知識在生產(chǎn)、生活實際中所發(fā)揮的重要作用. 教學(xué)重點(diǎn)： 1.實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化； 2.解斜三角形的方法. 教學(xué)難點(diǎn)： 實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化思路的確定. 教學(xué)過程： Ⅰ.課題導(dǎo)入 解三角形的知識在測量、航海、幾何、物理學(xué)等方面都有非常廣泛的應(yīng)用，如果我們抽去每個應(yīng)用題中與生產(chǎn)生活實際所聯(lián)系的外殼，就暴露出解三角形問題的本質(zhì)，這就要提高分析問題和解決問題的能力及化實際問題為抽象的數(shù)學(xué)問題的能力. 下面，我們將舉例來說明解斜三角形在實際中的一些應(yīng)用. Ⅱ.講授新課 ［例1］自動卸貨汽車的車箱采用液壓結(jié)構(gòu)，設(shè)計時需要計算油泵頂桿BC的長度.已知車箱的最大仰角為60，油泵頂點(diǎn)B與車箱支點(diǎn)A之間的距離為1．95 m，AB與水平線之間的夾角為620′，AC長為1．40 m，計算BC的長（保留三個有效數(shù)字）. 分析：求油泵頂桿BC的長度也就是在△ABC內(nèi)，求邊長BC的問題，而根據(jù)已知條件，AC＝1．40 m，AB＝1．95 m，∠BAC＝60＋620′＝6620′.相當(dāng)于已知△ABC的兩邊和它們的夾角，所以求解BC可根據(jù)余弦定理. 解：由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2ABACcosA ＝1．952＋1．402－21．951．40cos6620′＝3．571 ∴BC≈1．89　（m） 答：油泵頂桿BC約長1．89 m. 評述：此題雖為解三角形問題的簡單應(yīng)用，但關(guān)鍵是把未知邊所處的三角形找到，在轉(zhuǎn)換過程中應(yīng)注意“仰角”這一概念的意義，并排除題目中非數(shù)學(xué)因素的干擾，將數(shù)量關(guān)系從題目準(zhǔn)確地提煉出來. ［例2］某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出求救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45、距離A為10 n mile的C處，并測得漁船正沿方位角為105的方向，以9 n mile／h的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21 n mile／h的速度前去營救，試問艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進(jìn)?并求出靠近漁船所用的時間. 分析：設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時間為x h，則利用余弦定理建立方程來解決較好，因為如圖中的∠1，∠2可以求出，而AC已知，BC、AB均可用x表示，故可看成是一個已知兩邊夾角求第三邊問題. 解：設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時間為x h，則AB＝21x n mile，BC＝9x n mile，AC＝10 n mile，∠ACB＝∠1＋∠2＝45＋（180－105）＝120 根據(jù)余弦定理，可得 AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos120得 （21x）2＝102＋（9x）2－2109xcos120， 即36x2－9x210＝0 解得x1＝，x2＝－（舍去） ∴AB＝21x＝14，BC＝9x＝6 再由余弦定理可得：cosBAC＝＝＝0．9286， ∴∠BAC＝2147′，45＋2147′＝6647′. 而艦艇方位角為6647′，小時即40分鐘. 答：艦艇應(yīng)以6647′的方位角方向航行，靠近漁船則需要40分鐘. 評述：解好本題需明確“方位角”這一概念，方位角是指由正北方向順時針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，其范圍是（0，360）. 在利用余弦定理建立方程求出x后，所求艦艇方位角就轉(zhuǎn)化為一個已知三邊求角的問題，故仍然利用余弦定理. 從上述兩個例題，大家可以看出，實際問題的解決關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為具體的解三角形問題，從而與我們已知的知識方法產(chǎn)生聯(lián)系.在下面的例題分析中，我們繼續(xù)加以體會. ［例3］如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處（－1）海里的B處有一艘走私船.在A處北偏西75方向，距A處2海里的C處的我方緝私船，奉命以10海里／時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里／時的速度，從B處向北偏東30方向逃竄.問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時間. 解：設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲（在D點(diǎn)）走私船， 則CD＝10t海里，BD＝10t海里. ∵BC2＝AB2＋AC2－2ABACcosA ＝（－1）2＋22－2（－1）2cos120＝6 ∴BC＝ ∵＝ ∴sinABC＝＝＝ ∴∠ABC＝45，∴B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上， ∴∠CBD＝90＋30＝120 ∵＝ ∴sin∠BCD＝＝＝， ∴∠BCD＝30，∴∠DCE＝90－30＝60 由∠CBD＝120，∠BCD＝30，得∠D＝30 ∴BD＝BC，即10t＝ ∴t＝（小時）≈15（分鐘） 答：緝私船沿北偏東60的方向行駛，才能最快截獲走私船，需時約15分鐘. ［例4］用同樣高度的兩個測角儀AB和CD同時望見氣球E在它們的正西方向的上空，分別測得氣球的仰角是α和β,已知B、D間的距離為a，測角儀的高度是b，求氣球的高度. 分析：在Rt△EGA中求解EG，只有角α一個條件，需要再有一邊長被確定，而△EAC中有較多已知條件，故可在△EAC中考慮EA邊長的求解，而在△EAC中有角β，∠EAC＝180－α兩角與BD＝a一邊，故可以利用正弦定理求解EA. 解：在△ACE中，AC＝BD＝a，∠ACE＝β，∠AEC＝α－β， 根據(jù)正弦定理，得AE＝ 在Rt△AEG中，EG＝AEsinα＝ ∴EF＝EG＋b＝＋b， 答：氣球的高度是＋b. 評述：此題也可以通過解兩個直角三角形來解決，思路如下：設(shè)EG＝x，在Rt△EGA中，利用cotα表示AG；在Rt△EGC中，利用cotβ表示CG，而CG－AG＝CA＝BD＝a，故可以求出EG，又GF＝CD＝b，故EF高度可求. ［例5］如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點(diǎn)C在AB的延長線上，BC＝1，點(diǎn)P為半圓上的一個動點(diǎn)，以DC為邊作等邊△PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值. 分析：要求四邊形OPDC面積的最大值，這首先需要建立一個面積函數(shù)，問題是選誰作為自變量，注意到動點(diǎn)P在半圓上運(yùn)動與∠POB大小變化之間的聯(lián)系，自然引入∠POB＝θ作為自變量建立函數(shù)關(guān)系.四邊形OPDC可以分成△OPC與等邊△PDC，S△OPC可用OPOCsinθ表示，而等邊△PDC的面積關(guān)鍵在于邊長求解，而邊長PC可以在△POC中利用余弦定理表示，至于面積最值的獲得，則通過三角函數(shù)知識解決. 解：設(shè)∠POB＝θ，四邊形面積為y，則在△POC中，由余弦定理得 PC2＝OP2＋OC2－2OPOCcosθ＝5－4cosθ ∴y＝S△OPC＋S△PCD＝12sinθ＋（5－4cosθ） ＝2sin（θ－）＋ ∴當(dāng)θ－＝即θ＝時，ymax＝2＋. 評述：本題中余弦定理為表示△PCD的面積，從而為表示四邊形OPDC面積提供了可能，可見正、余弦定理不僅是解三角形的依據(jù)，一般地也是分析幾何量之間關(guān)系的重要公式，要認(rèn)識到這兩個定理的重要性. 另外,在求三角函數(shù)最值時,涉及到兩角和正弦公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ的構(gòu)造及逆用，應(yīng)要求學(xué)生予以重視. Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P20 練習(xí)1，2，3，4. Ⅳ.課時小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家在了解解斜三角形知識在實際中的應(yīng)用的同時，掌握由實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，并提高解三角形問題及實際應(yīng)用題的能力. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P21習(xí)題 1，2，3.