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2019-2020年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第10講 空間中的平行關系教案 新人教版 一．課標要求： 1．平面的基本性質與推論 借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系的基礎上，抽象出空間線、面位置關系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理： ◆公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內； ◆公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面； ◆公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線； ◆公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行； ◆定理：空間中如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。 2．空間中的平行關系 以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定。通過直觀感知、操作確認，歸納出以下判定定理： ◆平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行； ◆一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行； 通過直觀感知、操作確認，歸納出以下性質定理，并加以證明： ◆一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行； ◆兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行； ◆垂直于同一個平面的兩條直線平行 能運用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題。 二．命題走向 立體幾何在高考中占據(jù)重要的地位，通過近幾年的高考情況分析，考察的重點及難點穩(wěn)定，高考始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的性質和判定作為考察重點。在難度上也始終以中等偏難為主，在新課標教材中將立體幾何要求進行了降低，重點在對圖形及幾何體的認識上，實現(xiàn)平面到空間的轉化，示知識深化和拓展的重點，因而在這部分知識點上命題，將是重中之重。 預測xx年高考將以多面體為載體直接考察線面位置關系： （1）考題將會出現(xiàn)一個選擇題、一個填空題和一個解答題； （2）在考題上的特點為：熱點問題為平面的基本性質，考察線線、線面和面面關系的論證，此類題目將以客觀題和解答題的第一步為主。 三．要點精講 1．平面概述 （1）平面的兩個特征：①無限延展 ②平的（沒有厚度） （2）平面的畫法：通常畫平行四邊形來表示平面 （3）平面的表示：用一個小寫的希臘字母、、等表示，如平面、平面；用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母表示，如平面AC。 2．三公理三推論: 公理1：若一條直線上有兩個點在一個平面內，則該直線上所有的點都在這個平面內： A,B,A,B 公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線。 公理3：經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面。 推論一：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點,有且只有一個平面。 推論二：經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面。 推論三：經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面。 3．空間直線: （1）空間兩條直線的位置關系： 相交直線——有且僅有一個公共點； 平行直線——在同一平面內，沒有公共點； 異面直線——不同在任何一個平面內，沒有公共點。相交直線和平行直線也稱為共面直線。 異面直線的畫法常用的有下列三種： （2）平行直線： 在平面幾何中，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這個結論在空間也是成立的。即公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。 （3）異面直線定理：連結平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經(jīng)過此點的直線是異面直線。推理模式：與a是異面直線。 4．直線和平面的位置關系 （1）直線在平面內（無數(shù)個公共點）； （2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）； （3）直線和平面平行（沒有公共點）——用兩分法進行兩次分類。 它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為，，。 線面平行的判定定理：如果不在一個平面內的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。推理模式：． 線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。推理模式：． 5．兩個平面的位置關系有兩種：兩平面相交（有一條公共直線）、兩平面平行（沒有公共點） （1）兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行。 定理的模式： 推論：如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行。 推論模式： （2）兩個平面平行的性質（1）如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線平行于另一個平面；（2）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。 四．典例解析 題型1：共線、共點和共面問題 例1．（1）如圖所示，平面ABD平面BCD ＝直線BD ，M 、N 、P 、Q 分別為線段AB 、BC 、CD 、DA 上的點，四邊形MNPQ 是以PN 、QM 為腰的梯形。 試證明三直線BD 、MQ 、NP 共點。 證明：∵　四邊形MNPQ 是梯形，且MQ 、NP 是腰， ∴直線MQ 、NP 必相交于某一點O 。 ∵　O 直線MQ ；直線MQ 平面ABD ， ∴　O 平面ABD。 同理，O 平面BCD ，又兩平面ABD 、BCD 的交線為BD ， 故由公理二知，O 直線BD ，從而三直線BD 、MQ 、NP 共點。 點評：由已知條件，直線MQ 、NP 必相交于一點O ，因此，問題轉化為求證點O 在直線BD 上，由公理二，就是要尋找兩個平面，使直線BD 是這兩個平面的交線，同時點O 是這兩個平面的公共點即可．“三點共線”及“三線共點”的問題都可以轉化為證明“點在直線上”的問題。 α D C B A E F H G （2）如圖所示，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點E，G，H，F(xiàn)．求證：E，F(xiàn)，G，H四點必定共線。 證明：∵AB∥CD， ∴AB，CD確定一個平面β． 又∵ABα＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β， 即E為平面α與β的一個公共點。 同理可證F，G，H均為平面α與β的公共點． ∵兩個平面有公共點，它們有且只有一條通過公共點的公共直線， ∴E，F(xiàn)，G，H四點必定共線。 點評：在立體幾何的問題中，證明若干點共線時，常運用公理2，即先證明這些點都是某二平面的公共點，而后得出這些點都在二平面的交線上的結論。 例2．已知：a，b，c，d是不共點且兩兩相交的四條直線，求證：a，b，c，d共面。 α b a d c G F E A a b c d α H K 圖1 圖2 證明：1o若當四條直線中有三條相交于一點，不妨設a，b，c相交于一點A， 但Ad，如圖1所示： ∴直線d和A確定一個平面α。 又設直線d與a，b，c分別相交于E，F(xiàn)，G， 則A，E，F(xiàn)，G∈α。 ∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα。 同理可證bα，cα。 ∴a，b，c，d在同一平面α內。 2o當四條直線中任何三條都不共點時， 如圖2所示： ∵這四條直線兩兩相交，則設相交直線a，b確定一個平面α。 設直線c與a，b分別交于點H，K，則H，K∈α。 又 H，K∈c，∴c,則cα。 同理可證dα。 ∴a，b，c，d四條直線在同一平面α內． 點評：證明若干條線(或若干個點)共面的一般步驟是：首先根據(jù)公理3或推論，由題給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再根據(jù)公理1證明其余的線(或點)均在這個平面內。本題最容易忽視“三線共點”這一種情況。因此，在分析題意時，應仔細推敲問題中每一句話的含義。 題型2：異面直線的判定與應用 例3．已知：如圖所示，a b ＝a ，b b ，a b ＝A ，c a ，c ∥a 。求證直線b 、c 為異面直線。 證法一：假設b 、c 共面于g ．由A a ，a ∥c 知，A c ，而a b ＝A，a b ＝a ， ∴ A g ，A a。 又c a ，∴ g 、a 都經(jīng)過直線c 及其外的一點A， ∴ g 與a 重合，于是a g ，又b b。 又g 、b 都經(jīng)過兩相交直線a 、b ，從而g 、b 重合。 ∴ a 、b 、g 為同一平面，這與a b ＝a 矛盾。 ∴ b 、c 為異面直線． 證法二：假設b 、c 共面，則b ，c 相交或平行。 （1）若b ∥c ，又a ∥c ，則由公理4知a ∥b ，這與a b ＝A 矛盾。 （2）若b c ＝P ，已知b b ，c a ，則P 是a 、b 的公共點，由公理2，P a ，又b c ＝P ，即P c ，故a c ＝P ，這與a ∥c 矛盾。 綜合（1）、（2）可知，b 、c 為異面直線。 證法三：∵ a b ＝a ，a b ＝A ，∴ A a 。 ∵ a ∥c ，∴ A c ， 在直線b 上任取一點P（P 異于A），則P a（否則b a ，又a a ，則a 、b 都經(jīng)過兩相交直線a 、b ，則a 、b 重合，與a b ＝a 矛盾）。 又c a ，于是根據(jù)“過平面外一點與平面內一點的直線，和平面內不經(jīng)過該點的直線是異面直線”知，b 、c 為異面直線。 點評：證明兩直線為異面直線的思路主要有兩條：一是利用反證法；二是利用結論“過平面外一點與平面內一點的直線，和平面內不經(jīng)過該點的直線是異面直線．。異面直線又有兩條途徑：其一是直接假設b 、c 共面而產(chǎn)生矛盾；其二是假設b 、c 平行與相交；分別產(chǎn)生矛盾。判定直線異面，若為解答題，則用得最多的是證法一、二的思路；若為選擇或填空題，則往往都是用證法三的思路。用反證法證題，一般可歸納為四個步驟：（1）否定結論；（2）進行推理；（3）導出矛盾；（4）肯定結論． 宜用反證法證明的命題往往是（1）基本定理或某一知識系統(tǒng)的初始階段的命題（如立體幾何中的線面、面面平行的判定定量的證明等）；（2）肯定或否定型的命題（如結論中出現(xiàn)“必有”、“必不存在”等一類命題）；（3）唯一型的命題（如“圖形唯一”、“方程解唯一”等一類命題）；（4）正面情況較為繁多，而結論的反面卻只有一兩種情況的一類命題；（5）結論中出現(xiàn)“至多”、“不多于”等一類命題。 例4．（1）已知異面直線a,b所成的角為70，則過空間一定點O，與兩條異面直線a,b都成60角的直線有( )條 A．1 B．2 C．3 D．4 （2）異面直線a,b所成的角為,空間中有一定點O，過點O有3條直線與a,b所成角都是60，則的取值可能是（ ） A．30 B．50 C．60 D．90 解析：（1）過空間一點O分別作∥a,∥b。 將兩對對頂角的平分線繞O點分別在豎直平面內轉動，總能得到與 都成60角的直線。故過點 O與a,b都成60角的直線有4條，從而選D。 （2）過點O分別作∥a、∥b，則過點O有三條直線與a,b所成角都為60，等價于過點O有三條直線與所成角都為60，其中一條正是角的平分線。從而可得選項為C。 點評：該題以學生對異面直線所成的角會適當轉化，較好的考察了空間想象能力。 題型3：線線平行的判定與性質 例5．（xx上海春，13）關于直線a、b、l及平面M、N，下列命題中正確的是（ ） A．若a∥M，b∥M，則a∥b B．若a∥M，b⊥a，則b⊥M C．若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，則l⊥M D．若a⊥M，a∥N，則M⊥N 解析：解析：A選項中，若a∥M，b∥M，則有a∥b或a與b相交或a與b異面。B選項中，b可能在M內，b可能與M平行，b可能與M相交.C選項中須增加a與b相交，則l⊥M。D選項證明如下：∵a∥N，過a作平面α與N交于c，則c∥a，∴c⊥M.故M⊥N。答案D。 點評：本題考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的基本性質。 例6．兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求證：MN∥平面BCE。 證法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足，則MP∥AB，NQ∥AB。 ∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF， ∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45 ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ ∴MP=NQ，故四邊形MPQN為平行四邊形 ∴MN∥PQ ∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外， ∴MN∥平面BCE。 證法二：如圖過M作MH⊥AB于H，則MH∥BC， ∴ 連結NH，由BF=AC，F(xiàn)N=AM，得 ∴ NH//AF//BE 由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE ∴MN∥平面BCE。 題型4：線面平行的判定與性質 例7．（xx四川理19 ）如圖，在長方體中，分別是的中點，分別是的中點，，求證：面。 證明：取的中點，連結； ∵分別為的中點 ∵ ∴面，面 ∴面面 ∴面 點評：主要考察長方體的概念、直線和平面、平面和平面的關系等基礎知識，主要考察線面平行的判定定理。 例8．（xx全國文22，理21）如圖所示，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，點E在棱D1D上，截面EAC∥D1B，且面EAC與底面ABCD所成的角為45，AB＝a. （Ⅰ）求截面EAC的面積； （Ⅱ）求異面直線A1B1與AC之間的距離； 圖 解：（Ⅰ）如圖所示，連結DB交AC于O，連結EO。 ∵底面ABCD是正方形， ∴DO⊥AC 又∵ED⊥底面AC， ∴EO⊥AC ∴∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角， ∴∠EOD＝45 DO＝a，AC＝a，EO＝asec45＝a， 故S△EAC=EOAC＝a2． （Ⅱ）由題設ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，A1A⊥AC． 又A1A⊥A1B1， ∴A1A是異面直線A1B1與AC間的公垂線. ∵D1B∥面EAC，且面D1BD與面EAC交線為EO， ∴D1B∥EO， 又O是DB的中點 ∴E是D1D的中點，D1B＝2EO＝2a. ∴D1D＝a 異面直線A1B1與AC間的距離為a. 題型5：面面平行的判定與性質 例9．如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1 的棱長為a。證明：平面ACD1 ∥平面A1C1B 。 證明：如圖，∵ A1BCD1 是矩形，A1B ∥D1C 。 又D1C 平面D1CA ，A1B 平面D1CA ， ∴ A1B ∥平面D1CA。 同理A1C1 ∥平面D1CA ，又A1C1 A1B ＝A1 ，∴ 平面D1CA ∥平面BA1C1 ． 點評：證明面面平行，關鍵在于證明A1C1 與A1B 兩相交直線分別與平面ACD1 平行。 例10．P是△ABC所在平面外一點，A′、B′、C′分別是△PBC、△PCA、△PAB的重心。 （1）求證：平面A′B′C′∥平面ABC； （2）S△A′B′C′∶S△ABC的值。 解析：(1)取AB、BC的中點M、N， 則 ∴A′C′∥MNA′C′∥平面ABC。 同理A′B′∥面ABC， ∴△A′B′C′∥面ABC. (2)A′C′=MN=AC=AC ， 同理 ∴ 五．思維總結 在掌握直線與平面的位置關系(包括直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關系)的基礎上，研究有關平行的判定依據(jù)(定義、公理和定理)、判定方法及有關性質的應用；在有關問題的解決過程中，進一步了解和掌握相關公理、定理的內容和功能，并探索立體幾何中論證問題的規(guī)律；在有關問題的分析與解決的過程中提高邏輯思維能力、空間想象能力及化歸和轉化的數(shù)學思想的應用． 1．用類比的思想去認識面的垂直與平行關系，注意垂直與平行間的聯(lián)系。 2．注意立體幾何問題向平面幾何問題的轉化，即立幾問題平面化。 3．注意下面的轉化關系： 4．直線和平面相互平行 證明方法：證明直線和這個平面內的一條直線相互平行；證明這條直線的方向量和這個平面內的一個向量相互平行；證明這條直線的方向量和這個平面的法向量相互垂直。 5．證明兩平面平行的方法： （1）利用定義證明。利用反證法，假設兩平面不平行，則它們必相交，再導出矛盾。 （2）判定定理：一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行，這個定理可簡記為線面平行則面面平行。用符號表示是：a∩b，a α，b α，a∥β，b∥β，則α∥β。 （3）垂直于同一直線的兩個平面平行。用符號表示是：a⊥α，a⊥β則α∥β。 （4）平行于同一個平面的兩個平面平行。 兩個平面平行的性質有五條： （1）兩個平面平行，其中一個平面內的任一直線必平行于另一個平面，這個定理可簡記為：“面面平行，則線面平行”。用符號表示是：α∥β，a α，則a∥β。 （2）如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行，這個定理可簡記為：“面面平行，則線線平行”。用符號表示是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，則a∥b。 （3）一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面,它也垂直于另一個平面。這個定理可用于證線面垂直。用符號表示是：α∥β，a⊥α，則a⊥β。 （4）夾在兩個平行平面間的平行線段相等。 （5）過平面外一點只有一個平面與已知平面平行。