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2019-2020年高一數(shù)學(xué)上 第一章：1.7.2反證法 1960年9月周總理接見英國記者，當記者提到“一個國家向外擴張，是由于人口過多”時，周總理指出：“我們不同意這種看法。英國人口在第一次大戰(zhàn)前是4500萬，不算太多，但英國在一個很長的時期內(nèi)曾是‘日不落’的殖民帝國。美國面積略小于中國，而美國人口只有中國的1/3，但美國的軍事基地遍于全球，美國駐外軍人達150萬。中國人口雖多，卻沒有一兵一卒駐在外國領(lǐng)土上，更沒在外國建立軍事基地。可見一個國家是否向外擴張，并不取決于它的人口多少，而取決于它的社會制度?！豹? 周總理用的就是反證駁斥法，你說人口多要擴張，我說人口少照樣擴張，可見不在人口多少，而在制度不同。 反證法推證問題模式框圖 ①反證法的理論根據(jù)是：原命題為真，則它的逆否命題也為真.在直接證明原命題有困難時，就可轉(zhuǎn)化為證明它的逆否命題成立. ②用反證法證明命題的一般步驟是 第一步：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立； 第二步：從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾； 第三步：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確. 例1用反證法證明若，則 證明：假設(shè)不大于， 則或者，或者，因為，所以 這些都與已知條件矛盾 所以 例2 若為實數(shù)，且 求證：中至少有一個大于0. 證明：假設(shè)都小于0，則 與假設(shè)矛盾。 由以上兩個例題可以看出：反證法證明命題，作出假設(shè)后，可把假設(shè)當成已知條件之一，和原來的條件合并在一起，作為推理的基礎(chǔ)進行推理，導(dǎo)出矛盾，推理時，導(dǎo)致的矛盾可以是多種多樣的，可以是與已知條件矛盾，可以是與公理定理矛盾，可以是自相矛盾，也可以是與假設(shè)矛盾。 例3 求證：在一個三角形內(nèi)不可能有兩個角是直角 已知：在△ABC中 求證：不可能有A=90，B=90 證明：假設(shè)有可能A=90，B=90 則A+B+C=90+90+C＞180 這與A+B+C=180矛盾 ∴假設(shè)錯誤，故三角形內(nèi)不可能有兩個角是直角. 評析 這是采用否定敘述的命題，直接證明困難，不等式對于我們來說就不如等式問題容易理解和運用，因此，用反證法把不等式問題轉(zhuǎn)化為等式問題，從而問題得證. 例4證明：是無理數(shù)。 證明：假設(shè)不是無理數(shù)，為有理數(shù)，故可設(shè)： 綜上，不是有理數(shù)，故是無理數(shù)。 練習(xí)：已知是一組勾股數(shù), 求證: 不可能都是奇數(shù). 課時小結(jié) 本節(jié)重點研究了反證法證題的一般步驟及反證法證明命題的應(yīng)用。對于反證法的熟練掌握還需在今后隨著學(xué)習(xí)的深入，逐步加強和提高。 什么樣的命題宜用反證法進行證明，這還需要不斷的探索和總結(jié)，總的來說不易用直接證法去證明的命題可嘗試反證法． 對于結(jié)論是否定形式的命題，宜用反證法． 對于證明結(jié)論是“惟一”或“必然”的命題，宜用反證法． 對于證明結(jié)論是“至少……”，或“至多……”的命題，宜用反證法． 有些命題的證明，可利用的公理、定理較少或者難以與已知條件相溝通，宜用反證法 ．