《2019-2020年高中數學《指數與指數冪的運算》教案13（第二課時）蘇教版必修1.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020年高中數學《指數與指數冪的運算》教案13（第二課時）蘇教版必修1.doc（7頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

2019-2020年高中數學《指數與指數冪的運算》教案13（第二課時）蘇教版必修1 導入新課 思路1.碳14測年法.原來宇宙射線在大氣層中能夠產生放射性碳14,并與氧結合成二氧化碳后進入所有活組織,先為植物吸收,再為動物吸收,只要植物和動物生存著,它們就會不斷地吸收碳14在機體內保持一定的水平.而當有機體死亡后,即會停止吸收碳14,其組織內的碳14便以約5 730年的半衰期開始衰變并消失.對于任何含碳物質只要測定剩下的放射性碳14的含量,便可推斷其年代(半衰期:經過一定的時間,變?yōu)樵瓉淼囊话?.引出本節(jié)課題:指數與指數冪的運算之分數指數冪. 思路2.同學們,我們在初中學習了整數指數冪及其運算性質,那么整數指數冪是否可以推廣呢？答案是肯定的.這就是本節(jié)的主講內容,教師板書本節(jié)課題——指數與指數冪的運算之分數指數冪. 推進新課 新知探究 提出問題 (1)整數指數冪的運算性質是什么？ (2)觀察以下式子,并總結出規(guī)律：a＞0, ①==a2=a; ②==a4=a; ③==a3=a; ④==a5=a. (3)利用(2)的規(guī)律,你能表示下列式子嗎？ ,,,(x>0,m,n∈N*,且n>1). (4)你能用方根的意義來解釋(3)的式子嗎？ (5)你能推廣到一般的情形嗎？ 活動：學生回顧初中學習的整數指數冪及運算性質,仔細觀察,特別是每題的開始和最后兩步的指數之間的關系,教師引導學生體會方根的意義,用方根的意義加以解釋,指點啟發(fā)學生類比(2)的規(guī)律表示,借鑒(2)(3),我們把具體推廣到一般,對寫正確的同學及時表揚,其他學生鼓勵提示. 討論結果：(1)整數指數冪的運算性質：an=aaa…a,a0=1(a≠0);00無意義; a-n=(a≠0);aman=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn. (2)①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根.實質上①=a,②=a,③=a,④=a結果的a的指數是2,4,3,5分別寫成了,,,,形式上變了,本質沒變. 根據4個式子的最后結果可以總結：當根式的被開方數的指數能被根指數整除時,根式可以寫成分數作為指數的形式（分數指數冪形式）. (3)利用(2)的規(guī)律,=5,=7,=a,=x. (4)53的四次方根是5,75的三次方根是7,a7的五次方根是a,xm的n次方根是x. 結果表明方根的結果和分數指數冪是相通的. (5)如果a>0,那么am的n次方根可表示為m=a,即a=m(a>0,m,n∈N*,n>1). 綜上所述,我們得到正數的正分數指數冪的意義,教師板書: 規(guī)定:正數的正分數指數冪的意義是a=m(a>0,m,n∈N*,n>1). 提出問題 ①負整數指數冪的意義是怎樣規(guī)定的? ②你能得出負分數指數冪的意義嗎? ③你認為應怎樣規(guī)定零的分數指數冪的意義? ④綜合上述,如何規(guī)定分數指數冪的意義? ⑤分數指數冪的意義中,為什么規(guī)定a＞0,去掉這個規(guī)定會產生什么樣的后果? ⑥既然指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數,那么整數指數冪的運算性質是否也適用于有理數指數冪呢? 活動：學生回想初中學習的情形,結合自己的學習體會回答,根據零的整數指數冪的意義和負整數指數冪的意義來類比,把正分數指數冪的意義與負分數指數冪的意義融合起來,與整數指數冪的運算性質類比可得有理數指數冪的運算性質,教師在黑板上板書,學生合作交流,以具體的實例說明a＞0的必要性,教師及時作出評價. 討論結果：①負整數指數冪的意義是:a-n=(a≠0),n∈N*. ②既然負整數指數冪的意義是這樣規(guī)定的,類比正數的正分數指數冪的意義可得正數的負分數指數冪的意義. 規(guī)定:正數的負分數指數冪的意義是a==(a>0,m,n∈N*,n>1). ③規(guī)定:零的分數指數冪的意義是:零的正分數次冪等于零,零的負分數指數冪沒有意義. ④教師板書分數指數冪的意義.分數指數冪的意義就是: 正數的正分數指數冪的意義是a=(a>0,m,n∈N*,n>1),正數的負分數指數冪的意義是a==(a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分數次冪等于零,零的負分數指數冪沒有意義. ⑤若沒有a＞0這個條件會怎樣呢? 如(-1)=3-1=-1,(-1)=6(-1)2=1具有同樣意義的兩個式子出現(xiàn)了截然不同的結果,這只說明分數指數冪在底數小于零時是無意義的.因此在把根式化成分數指數時,切記要使底數大于零,如無a＞0的條件,比如式子3a2=|a|,同時負數開奇次方是有意義的,負數開奇次方時,應把負號移到根式的外邊,然后再按規(guī)定化成分數指數冪,也就是說,負分數指數冪在有意義的情況下總表示正數,而不是負數,負數只是出現(xiàn)在指數上. ⑥規(guī)定了分數指數冪的意義后,指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數. 有理數指數冪的運算性質:對任意的有理數r,s,均有下面的運算性質: （1）aras=ar+s(a>0,r,s∈Q), （2）(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q), （3）(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). 我們利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質可以解決一些問題,來看下面的例題. 應用示例 思路1 例1求值:①8;②25③()-5;④(). 活動：教師引導學生考慮解題的方法,利用冪的運算性質計算出數值或化成最簡根式,根據題目要求,把底數寫成冪的形式,8寫成23,25寫成52, 寫成2-1,寫成()4,利用有理數冪的運算性質可以解答,完成后,把自己的答案用投影儀展示出來. 解：①8=(23)=2=22=4; ②25=(52)=5=5-1=; ③()-5=(2-1)-5=2-1(-5)=32; ④()=()=()-3=. 點評：本例主要考查冪值運算,要按規(guī)定來解.在進行冪值運算時,要首先考慮轉化為指數運算,而不是首先轉化為熟悉的根式運算,如8===4. 例2用分數指數冪的形式表示下列各式. a3;a2;(a>0). 活動：學生觀察、思考,根據解題的順序,把根式化為分數指數冪,再由冪的運算性質來運算,根式化為分數指數冪時,要由里往外依次進行,把握好運算性質和順序,學生討論交流自己的解題步驟,教師評價學生的解題情況,鼓勵學生注意總結. 解：a3=a3a=a=a; a2=a2a=a=a; =(aa)=(a)=a. 點評：利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質進行根式運算時,其順序是先把根式化為分數指數冪,再由冪的運算性質來運算.對于計算的結果,不強求統(tǒng)一用什么形式來表示,沒有特別要求,就用分數指數冪的形式來表示,但結果不能既有分數指數又有根式,也不能既有分母又有負指數. 例3計算下列各式（式中字母都是正數）: （1）(2ab)(-6ab)(-3ab); （2）(mn)8. 活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征,然后分析,四則運算的順序是先算乘方,再算乘除,最后算加減,有括號的先算括號內的,整數冪的運算性質及運算規(guī)律擴充到分數指數冪后,其運算順序仍符合我們以前的四則運算順序,再解答,把自己的答案用投影儀展示出來,相互交流,其中要注意到（1）小題是單項式的乘除運算,可以用單項式的乘除法運算順序進行,要注意符號,第（2）小題是乘方運算,可先按積的乘方計算,再按冪的乘方進行計算,熟悉后可以簡化步驟. 解：（1）原式=［2(-6)(-3)］ab=4ab0=4a; （2）(mn)8=(m)8(n)8=mn=m2n-3=. 點評：分數指數冪不表示相同因式的積,而是根式的另一種寫法.有了分數指數冪,就可把根式轉化成分數指數冪的形式,用分數指數冪的運算法則進行運算了. 本例主要是指數冪的運算法則的綜合考查和應用. 變式訓練 求值: (1)3; (2). 解：(1)3=3333=3=32=9； (2)=(=(===. 例4計算下列各式: （1）(); （2）(a＞0）. 活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征,然后分析,化為同底.利用分數指數冪計算,在第（1）小題中,只含有根式,且不是同次根式,比較難計算,但把根式先化為分數指數冪再計算,這樣就簡便多了,第（2）小題也是先把根式轉化為分數指數冪后再由運算法則計算,最后寫出解答. 解：（1）原式=(25-125)25=(5-5)5 =5-5=5-5=-5; （2）==a=a=. 思路2 例1比較,,的大小. 活動：學生努力思考,積極交流,教師引導學生解題的思路,由于根指數不同,應化成統(tǒng)一的根指數,才能進行比較,又因為根指數最大的是6,所以我們應化為六次根式,然后,只看被開方數的大小就可以了. 解：因為==,=,而125＞123＞121,所以>>. 所以>>. 點評：把根指數統(tǒng)一是比較幾個根式大小的常用方法. 例2求下列各式的值: (1); (2)2. 活動：學生觀察以上幾個式子的特征,既有分數指數冪又有根式,應把根式轉化為分數指數冪后再由運算法則計算,如果根式中根指數不同,也應化成分數指數冪,然后分析解答,對(1)應由里往外=,對(2)化為同底的分數指數冪,及時對學生活動進行評價. 解：(1)=［34(3)］=(3)=(3)=3=; (2)=23()(322)=23=23=6. 例3計算下列各式的值: （1）［(ab2)-1(ab-3)(b)7］; （2）; (3). 活動：先由學生觀察以上三個式子的特征,然后交流解題的方法,把根式用分數指數冪寫出,利用指數的運算性質去計算,教師引導學生,強化解題步驟,對(1)先進行積的乘方,再進行同底數冪的乘法,最后再乘方,或先都乘方,再進行同底數冪的乘法,對（2）把分數指數化為根式,然后通分化簡,對（3）把根式化為分數指數,進行積的乘方,再進行同底數冪的運算. 解：(1)原式=(ab2)(ab-3)(b)=ababb=ab=ab0=a; 另解：原式=(ab-2abb) =(ab)=(a2b0)=a; （2）原式===== =; （3）原式=（ab）-3(b-4a-1)=ab-2b-2a=ab-2+2=a-1=. 例4已知a＞0,對于0≤r≤8,r∈N*,式子()8-rr能化為關于a的整數指數冪的情形有幾種？ 活動：學生審題,考慮與本節(jié)知識的聯(lián)系,教師引導解題思路,把根式轉化為分數指數冪后再由運算法則計算,即先把根式轉化為分數指數冪,再進行冪的乘方,化為關于a的指數冪的情形,再討論,及時評價學生的作法. 解：()8-rr=aa=a=a. 16-3r能被4整除才行,因此r=0,4,8時上式為關于a的整數指數冪. 點評：本題中確定整數的指數冪時,可由范圍的從小到大依次驗證,決定取舍.利用分數指數冪進行根式運算時,結果可以化為根式形式或保留分數指數冪的形式. 例5已知f（x）=ex－e-x,g（x）=ex+e-x. （1）求［f（x）］2－［g（x）］2的值； （2）設f（x）f（y）=4,g（x）g（y）=8,求的值. 活動：學生觀察題目的特點,說出解題的辦法,整體代入或利用公式,建立方程,求解未知,如果學生有難度,教師可以提示引導,對（1）為平方差,利用公式因式分解可將代數式化簡,對(2)難以發(fā)現(xiàn)已知和未知的關系,可寫出具體算式,予以探求. 解：(1)［f（x）］2－［g（x）］2=［f（x）+g（x）］［f（x）－g（x）］ =（ex－e-x+ex+e-x）（ex－e-x－ex－e-x）=2ex（－2e-x）=－4e0=－4; 另解：(1)［f（x）］2－［g（x）］2=(ex-e-x)2-(ex+e-x)2 =e2x-2exe-x+e-2x-e2x-2exe-x-e-2x =-4ex-x=-4e0=-4; (2)f（x）f（y）=（ex－e-x）（ey－e-y）=ex+y+e-(x+y)－ex-y－e-(x-y)=g（x+y）－g（x－y）=4, 同理可得g（x）g（y）=g（x+y）+g（x－y）=8, 得方程組解得g（x+y）=6,g（x－y）=2. 所以==3. 點評：將已知條件變形為關于所求量g（x+y）與g（x－y）的方程組,從而使問題得以解決,這種處理問題的方法在數學上稱之為方程法,方程法所體現(xiàn)的數學思想即方程思想,是數學中重要的數學思想. 知能訓練 課本P54練習 1、2、3. ［補充練習］ 教師用實物投影儀把題目投射到屏幕上讓學生解答,教師巡視,啟發(fā),對做得好的同學給予表揚鼓勵. 1.(1)下列運算中,正確的是( ) A.a2a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2 C.(-1)0=0 D.(-a2)3=-a6 (2)下列各式①,②③,④（各式的n∈N,a∈R）中,有意義的是( ) A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④ (3)等于( ) A.a B.a2 C.a3 D.a4 (4)把根式－2改寫成分數指數冪的形式為( ) A.-2(a-b) B.-2(a-b) C.-2(a-b) D.-2(a-b) (5)化簡（ab）（-3ab）（ab）的結果是( ) A.6a B.-a C.-9a D.9a 2.計算：(1)0.027－（－）-2+256－3-1+（2－1）0=________. (2)設5x=4,5y=2,則52x-y=________. 3.已知x+y=12,xy=9且x＜y,求的值. 答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)8 3.解：==. 因為x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=427. 又因為x＜y,所以x-y=-233=-63.所以原式=. 拓展提升 1.化簡. 活動：學生觀察式子特點,考慮x的指數之間的關系可以得到解題思路,應對原式進行因式分解,根據本題的特點,注意到: x-1=(x)3-13=(x-1)(x+x+1); x+1=(x)3+13=(x+1)(x-x+1); x-x=x［(x)2-1］=x(x-1)(x+1). 構建解題思路教師適時啟發(fā)提示. 解：= = =x-1+x-x+1-x-x=-x. 點撥:解這類題目,要注意運用以下公式, (a-b)(a+b)=a-b, (ab)2=a2ab+b, (ab)(aab+b)=ab. 2.已知a+a=3,探究下列各式的值的求法. (1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3). 解：(1)將a+a=3,兩邊平方,得a+a-1+2=9,即a+a-1=7; (2)將a+a-1=7兩邊平方,得a2+a-2+2=49,即a2+a-2=47; (3)由于a-a=(a)3-(a)3, 所以有==a+a-1+1=8. 點撥:對“條件求值”問題,一定要弄清已知與未知的聯(lián)系,然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值. 課堂小結 活動：教師,本節(jié)課同學們有哪些收獲?請把你的學習收獲記錄在你的筆記本上,同學們之間相互交流.同時教師用投影儀顯示本堂課的知識要點: (1)分數指數冪的意義就是:正數的正分數指數冪的意義是a=m(a>0,m,n∈N*,n>1),正數的負分數指數冪的意義是a==(a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分數次冪等于零,零的負分數指數冪沒有意義. (2)規(guī)定了分數指數冪的意義后,指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數. (3)有理數指數冪的運算性質:對任意的有理數r、s,均有下面的運算性質: ①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q), ②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q), ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (4)說明兩點: ①分數指數冪的意義是一種規(guī)定,我們前面所舉的例子只表明這種規(guī)定的合理性,其中沒有推出關系. ②整數指數冪的運算性質對任意的有理數指數冪也同樣適用.因而分數指數冪與根式可以互化,也可以利用(an)==am來計算. 作業(yè) 課本P59習題2.1A組 2、4. 設計感想 本節(jié)課是分數指數冪的意義的引出及應用,分數指數是指數概念的又一次擴充,要讓學生反復理解分數指數冪的意義,教學中可以通過根式與分數指數冪的互化來鞏固加深對這一概念的理解,用觀察、歸納和類比的方法完成,由于是硬性的規(guī)定,沒有合理的解釋,因此多安排一些練習,強化訓練,鞏固知識,要輔助以信息技術的手段來完成大容量的課堂教學任務.