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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《數(shù)列的概念》教案19 北師大版必修5 教學(xué)目的： 1．了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同； 2．會(huì)根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)； 3．理解數(shù)列的前n項(xiàng)和與的關(guān)系； 4．會(huì)由數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出其通項(xiàng)公式. 教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng) 教學(xué)難點(diǎn)：理解遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系 授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析： 由于并非每一函數(shù)均有解析表達(dá)式一樣，也并非每一數(shù)列均有通項(xiàng)公式(有通項(xiàng)公式的數(shù)列只是少數(shù))，因而研究遞推公式給出數(shù)列的方法可使我們研究數(shù)列的范圍大大擴(kuò)展遞推是數(shù)學(xué)里的一個(gè)非常重要的概念和方法在數(shù)列的研究中，不僅很多重要的數(shù)列是用遞推公式給出的，而且它也是獲得一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的途徑：先得出較為容易寫出的數(shù)列的遞推公式，然后再根據(jù)它推得通項(xiàng)公式但是，這項(xiàng)內(nèi)容也是極易膨脹的，例如研究用遞推公式給出的數(shù)列的性質(zhì)，從數(shù)列的遞推公式推導(dǎo)通項(xiàng)公式等，這樣就會(huì)加重學(xué)生負(fù)擔(dān)考慮到學(xué)生是在高一學(xué)習(xí)，我們必須牢牢把握教學(xué)要求，只要能初步體會(huì)一下用遞推方法給出數(shù)列的思想，能根據(jù)遞推公式寫出一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)就行了 教學(xué)過(guò)程： 一、復(fù)習(xí)引入：上節(jié)學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)如下 ⒈ 數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列. 注意：⑴數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列； ⑵定義中并沒(méi)有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn). ⒉ 數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng). 各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），第2項(xiàng)，…，第n 項(xiàng)，…. ⒊數(shù)列的一般形式：，或簡(jiǎn)記為，其中是數(shù)列的第n項(xiàng) ⒋ 數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 5．?dāng)?shù)列的圖像都是一群孤立的點(diǎn). 6．?dāng)?shù)列有三種表示形式：列舉法，通項(xiàng)公式法和圖象法. 7． 有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.例如，數(shù)列①是有窮數(shù)列. 8． 無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列. 二、講解新課： 知識(shí)都來(lái)源于實(shí)踐，最后還要應(yīng)用于生活用其來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題． 觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型． 模型一：自上而下： 第1層鋼管數(shù)為4；即：14＝1+3 第2層鋼管數(shù)為5；即：25＝2+3 第3層鋼管數(shù)為6；即：36＝3+3 第4層鋼管數(shù)為7；即：47＝4+3 第5層鋼管數(shù)為8；即：58＝5+3 第6層鋼管數(shù)為9；即：69＝6+3 第7層鋼管數(shù)為10；即：710＝7+3 若用表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且≤n≤7） 運(yùn)用每一層的鋼筋數(shù)與其層數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，運(yùn)用這一關(guān)系，會(huì)很快捷地求出每一層的鋼管數(shù)這會(huì)給我們的統(tǒng)計(jì)與計(jì)算帶來(lái)很多方便 讓同學(xué)們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？（啟發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律） 模型二：上下層之間的關(guān)系 自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1 即；； 依此類推：（2≤n≤7） 對(duì)于上述所求關(guān)系，若知其第1項(xiàng)，即可求出其他項(xiàng)，看來(lái)，這一關(guān)系也較為重要 定義： 1．遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前n項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公 式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式 說(shuō)明：遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法 如下數(shù)字排列的一個(gè)數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89 遞推公式為： 2．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和： 數(shù)列中，稱為數(shù)列的前n項(xiàng)和，記為. 表示前1項(xiàng)之和：= 表示前2項(xiàng)之和：= …… 表示前n-1項(xiàng)之和：= 表示前n項(xiàng)之和：=. ∴當(dāng)n≥1時(shí)才有意義；當(dāng)n-1≥1即n≥2時(shí)才有意義. 3．與之間的關(guān)系： 由的定義可知，當(dāng)n=1時(shí)，=；當(dāng)n≥2時(shí)，=-， 即=. 說(shuō)明：數(shù)列的前n項(xiàng)和公式也是給出數(shù)列的一種方法. 三、例題講解 例1已知數(shù)列的第1項(xiàng)是1，以后的各項(xiàng)由公式給出，寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng) 分析：題中已給出的第1項(xiàng)即，遞推公式： 解：據(jù)題意可知： 例2已知數(shù)列中，≥3），試寫出數(shù)列的前4項(xiàng) 解：由已知得 例3已知， 寫出前5項(xiàng)，并猜想． 法一： ，觀察可得 法二：由 ∴ 即 ∴ ∴ 例4 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式： ⑴ =n+2n； ⑵ =n-2n-1. 解：⑴①當(dāng)n≥2時(shí)，=-=(n+2n)-[(n-1)+2(n-1)]=2n+1； ②當(dāng)n=1時(shí)，==1+21=3； ③經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n=1時(shí)，2n+1=21+1=3， ∴=2n+1為所求. ⑵①當(dāng)n≥2時(shí)，=-=(n-2n-1)-[(n-1)+2(n-1)-1]=2n-3； ②當(dāng)n=1時(shí)，==1-21-1=-2； ③經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n=1時(shí)，2n-3=21-3=-1≠-2， ∴=為所求. 四、練習(xí)： 1．根據(jù)各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，寫出它的前五項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式 (1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)； (2) ＝1, ＝ (n∈N)； (3) ＝3, ＝3－2 (n∈N). 解：(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴ ＝(n－1); (2) ＝1,＝,＝, ＝, ＝, ∴ ＝; (3) ＝3＝1+2, ＝7＝1+2, ＝19＝1+2, ＝55＝1+2, ＝163＝1+2, ∴ ＝1＋23; 2． ．已知下列各數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，求的通項(xiàng)公式 (1) ＝2n－3n; (2) ＝－2. 解：(1) ＝－1, =-＝2n－3n－[2(n－1)－3(n－1)]＝4n－5, 又符合＝41－5, ∴ ＝4n－5; (2) ＝1, =-＝－2－(－2)＝2, ∴＝ 五、小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容： 1．遞推公式及其用法； 2．通項(xiàng)公式反映的是項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相鄰兩項(xiàng)（或n項(xiàng)）之間的關(guān)系. 3．的定義及與之間的關(guān)系 六、課后作業(yè)： 1．根據(jù)各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，寫出它的前五項(xiàng) =1, =+（n≥2） 解：由=1, =+（n≥2）, 得=1, =+=2, =+, =+,=+ 2．已知=an+bn+c，求數(shù)列的通項(xiàng)公式 答案：= 七、板書(shū)設(shè)計(jì)（略） 八、課后記：