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2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 對(duì)數(shù)函數(shù)教案 理 教材分析 對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型，它與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．教材是在學(xué)生學(xué)過(guò)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)及其運(yùn)算的基礎(chǔ)上引入對(duì)數(shù)函數(shù)的概念的．須要說(shuō)明的是，這里與傳統(tǒng)的教材有所不同，即沒(méi)有先學(xué)習(xí)反函數(shù)，這對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì)有較大影響，使指數(shù)函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)不能直接應(yīng)用于對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，但從對(duì)數(shù)的定義中知道：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式可互化．因此，在某些方面，如在畫對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖像列表時(shí)，可以把畫指數(shù)函數(shù)y＝2x圖像時(shí)列的表中的x與y的值對(duì)調(diào)．這節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì)，難點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系． 教學(xué)目標(biāo) 1. 通過(guò)具體實(shí)例，直觀了解對(duì)數(shù)函數(shù)模型刻畫的數(shù)量關(guān)系，初步理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，并能畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)． 2. 知道指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)（a＞0且a≠1）． 3. 能應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解有關(guān)問(wèn)題． 任務(wù)分析 首先復(fù)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)的定義及對(duì)數(shù)的性質(zhì)，這也是學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)．解析式x＝logay是函數(shù)，叫作對(duì)數(shù)函數(shù)，為了符合習(xí)慣，常寫成y＝logax．這些內(nèi)容學(xué)生較難理解，教學(xué)時(shí)要引起重視．教學(xué)中，要注意從實(shí)例出發(fā)，使學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)提高到理性認(rèn)識(shí)；要注意運(yùn)用對(duì)比的方法；要結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像抽象概括對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．注意：不要求討論形式化的函數(shù)定義，也不要求求已知函數(shù)的反函數(shù)，只須知道對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)． 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問(wèn)題情境 同指數(shù)函數(shù)中的細(xì)胞分裂問(wèn)題，即：某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，4個(gè)分裂成8個(gè)……1個(gè)這樣的細(xì)胞分裂x次后，得到的細(xì)胞的個(gè)數(shù)為y． 我們已經(jīng)知道，個(gè)數(shù)y是分裂次數(shù)x的函數(shù)，解析式是y＝2x．形式上是指數(shù)函數(shù)（這里的定義域是N）． 思考：在這個(gè)問(wèn)題中，細(xì)胞分裂的次數(shù)x是不是細(xì)胞分裂個(gè)數(shù)y的函數(shù)？若是，這個(gè)函數(shù)的解析式是什么？ x也是y的函數(shù)，由對(duì)數(shù)的定義得到這個(gè)新函數(shù)是x＝log2y．其中，細(xì)胞的個(gè)數(shù)y是自變量，細(xì)胞分裂的次數(shù)x是函數(shù)． 二、建立模型 1. 學(xué)生討論 （1）函數(shù)x＝log2y與指數(shù)函數(shù)y＝2x有何關(guān)系？ （2）函數(shù)ｘ＝log2y中的自變量、字母與我們以前所學(xué)的函數(shù)有何區(qū)別？ 結(jié)論：?jiǎn)栴}（1）：兩函數(shù)中的x表示的都是細(xì)胞分裂的次數(shù)，y表示的都是細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)法則都是以2為底數(shù)，一個(gè)是取對(duì)數(shù)，一個(gè)是取指數(shù)，正好相逆． 注意：這里不能說(shuō)它們互為反函數(shù)，因?yàn)檫€沒(méi)有學(xué)習(xí)反函數(shù)的概念． 問(wèn)題（2）：這里的自變量所用字母是y，以前學(xué)習(xí)的函數(shù)的自變量常用字母x，即這里的用法不合習(xí)慣． 2. 教師明晰 定義：函數(shù)x＝long2y，（a＞0，且a≠1）叫作對(duì)數(shù)函數(shù)，它的定義域是（0，＋∞），值域是（－∞，＋∞）． 由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可知，在指數(shù)函數(shù)y＝ax和對(duì)數(shù)函數(shù)x＝logay中，x，y兩個(gè)變量之間的關(guān)系是一樣的．不同的只是在指數(shù)函數(shù)y＝ax里，x是自變量，y是因變量，而在對(duì)數(shù)函數(shù)x＝logay中，y是自變量，x是因變量．習(xí)慣上，我們常用x表示自變量，y表示因變量，因此，對(duì)數(shù)函數(shù)通常寫成y＝logay，（a＞0且a≠1，x＞0）． 3. 練　習(xí) 在同一坐標(biāo)系中畫出下列函數(shù)的圖像． （1）y＝long2x．　?。?）y＝． 解：列表： 　表12-1 思考：上表中的x，y的對(duì)應(yīng)值與指數(shù)函數(shù)中所列表的對(duì)應(yīng)值有何關(guān)系？ 描點(diǎn)，畫圖： 4. 觀察上面的函數(shù)圖像，結(jié)合列表，仿照指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，歸納總結(jié)出對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì) （1）定義域是（0，＋∞），值域是（－∞，＋∞）． （2）函數(shù)圖像在y軸的右側(cè)且過(guò)定點(diǎn)（1，0）． （3）當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，且當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0． 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，且當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0． 三、解釋應(yīng)用 ［例　題］ 1. 求下列函數(shù)的定義域． （1）y＝log2x2．　?。?）y＝loga（4－x）．　?。?）y＝． 解：（1）｛x｜x≠0｝．　?。?）（－∞，4）．　?。?）（0，1）． 2. 比較下列各組數(shù)的大?。? （1）log23與log23.5． （2）loga5.1與loga5.9，（a＞0且a≠1）． （3）log67與log76． 解：（1）考查對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x． ∵2＞1，∴它在（0，＋∞）上是增函數(shù)． 又3＜3.5， ∴l(xiāng)og23＜log23.5． （2）當(dāng)a＞1時(shí)，loga5.1＜loga5.9； 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，loga5.1＞loga5.9． （3）log67＞1＞log76． 總結(jié)：本例是利用對(duì)數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)對(duì)數(shù)的大小，當(dāng)?shù)讛?shù)與1的大小不確定時(shí)，要分類討論；當(dāng)不能直接進(jìn)行比較時(shí)，可在兩個(gè)數(shù)中間插入一個(gè)已知數(shù)間接比較兩個(gè)數(shù)的大?。? 3. 溶液的酸堿度是通過(guò)pH值來(lái)刻畫的，pH值的計(jì)算公式為pH＝－lg［H+］，其中［H+］表示溶液中氫離子的濃度，單位是mol／L． （1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)及上述pH值的計(jì)算公式，說(shuō)明溶液的酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間的變化關(guān)系． （2）已知純凈水中氫離子的濃度為［H+］＝10-7mol／L，計(jì)算純凈水的pH值． 解：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，有 pH＝－lg［H+］＝lg［H+］－1＝lg， 所以溶液中氫離子的濃度越大，溶液的酸度就越?。? （2）當(dāng)［H+］＝10-7時(shí)，pH＝－lg10-7＝7，所以，純凈水的pH值是7． 4. 設(shè)函數(shù)f（x）＝lg（ax－bx），（a＞1＞b＞0），問(wèn)：當(dāng)a，b滿足什么關(guān)系時(shí)，f（x）在（1，＋∞）上恒取正值？ 解：當(dāng)x∈（1，＋∞）時(shí)，lg（ax－bx）＞0恒成立ax－bx＞1恒成立． 令g（x）＝ax－bx． ∵a＞1＞b＞0， ∴g（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)， ∴當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞g（1）＝a－b， ∴當(dāng)a－b≥1時(shí)，f（x）在（1，＋∞）上恒取正值． ［練　習(xí)］ 1. 求函數(shù)y＝的定義域． 2. 比較log0.50.2與log0.50.3的大?。? 3. 函數(shù)y＝lg（x2－2x）的增區(qū)間是 ____________ ． 4. 已知a＞0，且a≠1，則在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝a-x和y＝loga（－x）的圖像有可能是（　?。? 5. 大西洋鮭魚每年都要逆流而上xxm，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵．研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，一歲鮭魚的游速可以表示為函數(shù)，單位是m／s，其中Q表示鮭魚的耗氧量． （1）當(dāng)一條鮭魚的耗氧量是2700個(gè)單位時(shí)，它的游速是多少？ （2）計(jì)算一條鮭魚的最低耗氧量． 四、拓展延伸 1. 作出對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax，（a＞1）與y＝logax，（0＜a＜1）的草圖． 2. 說(shuō)出指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系． 以指數(shù)函數(shù)y＝2x與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x為代表加以說(shuō)明． （1）對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x是把指數(shù)函數(shù)y＝2x中自變量與因變量對(duì)調(diào)位置而得出的． 教師明晰：當(dāng)一個(gè)函數(shù)是一一映射時(shí)，可以把這個(gè)函數(shù)的因變量作為一個(gè)新的函數(shù)的自變量，而把這個(gè)函數(shù)的自變量作為新的函數(shù)的因變量．我們稱這兩個(gè)函數(shù)互為函數(shù)．函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)記作：y＝f-1（x）． 對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x與指數(shù)函數(shù)y＝2x互為反函數(shù)． （2）對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x與指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱． （3）指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)照表． 表12-2 點(diǎn)　評(píng) 這篇案例首先通過(guò)細(xì)胞分裂問(wèn)題說(shuō)明了對(duì)數(shù)函數(shù)的意義，這樣安排既有利于學(xué)生理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，又有利于學(xué)生了解了它與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．其次通過(guò)畫具體的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，歸納總結(jié)出對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了由特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，知識(shí)傳授較為自然．性質(zhì)的列舉模仿了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．通過(guò)對(duì)比，便于學(xué)生理解、記憶．例題、練習(xí)的選配注意了題目的代表性，并且由易到難，注重學(xué)生解題能力的提高．拓展延伸側(cè)重于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像、性質(zhì)方面的關(guān)系，加深了學(xué)生對(duì)這兩個(gè)函數(shù)的理解，并使學(xué)生從中了解了反函數(shù)的概念．