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2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 平面向量的數(shù)量積教案 理 教材分析 兩個(gè)向量的數(shù)量積是中學(xué)代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過的一種新的乘法，它區(qū)別于數(shù)的乘法．這篇案例從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā)，引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義，介紹向量數(shù)量積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示．向量的數(shù)量積把向量的長度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，這為解決三角形的有關(guān)問題提供了方便，特別是能有效解決線段的垂直等問題．這節(jié)內(nèi)容是整個(gè)向量部分的重要內(nèi)容之一，對它的理解與掌握將直接影響向量其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)．這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)難點(diǎn)是對平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和對平面向量數(shù)量積的應(yīng)用． 教學(xué)目標(biāo) 1. 理解并掌握平面向量的數(shù)量積、幾何意義和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會初步使用平面向量的數(shù)量積來處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件． 2. 通過對數(shù)量積的引入和應(yīng)用，初步體會知識發(fā)生、發(fā)展的過程和運(yùn)用過程，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維習(xí)慣． 任務(wù)分析 兩個(gè)向量的數(shù)量積從形式和實(shí)質(zhì)上都與數(shù)的乘法有區(qū)別，這就給理解和掌握這個(gè)概念帶來了一些困難．在學(xué)習(xí)時(shí)，要充分讓學(xué)生理解、明白兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量．兩個(gè)向量的數(shù)量積的值是這兩個(gè)向量的模與兩個(gè)向量夾角余弦的乘積，其符號由夾角余弦值的正負(fù)而確定． 兩向量的數(shù)量積“ab”不同于兩實(shí)數(shù)之積“ab”． 通過實(shí)例理解ab＝bc與a＝c的關(guān)系，ab＝0與a＝0或b＝0的關(guān)系，以及（ab）c＝a（bc）與（ab）c＝a（bc）的不同． 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問題情景 如圖40-1所示，一個(gè)力f作用于一個(gè)物體，使該物體發(fā)生了位移s，如何計(jì)算這個(gè)力所做的功．由于圖示的力f的方向與前進(jìn)方向有一個(gè)夾角θ，真正使物體前進(jìn)的力是f在物體前進(jìn)方向上的分力，這個(gè)分力與物體位移的乘積才是力f做的功．即力f使物體位移x所做的功W可用下式計(jì)算． W＝｜s｜｜f｜c(diǎn)osθ． 其中｜f｜c(diǎn)osθ就是f在物體前進(jìn)方向上的分量，也就是力f在物體前進(jìn)方向上正射影的數(shù)量． 問題：像功這樣的數(shù)量值，它由力和位移兩個(gè)向量來確定．我們能否從中得到啟發(fā)，把“功”看成這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢？ 二、建立模型 1. 引導(dǎo)學(xué)生從“功”的模型中得到如下概念： 已知兩個(gè)非零向量a與b，把數(shù)量｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ叫a與b的數(shù)量積（內(nèi)積），記作ab＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ．其中θ是a與b夾角，｜a｜c(diǎn)osθ（｜b｜c(diǎn)osθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影． 規(guī)定0與任一向量的數(shù)量積為０． 由上述定義可知，兩個(gè)向量ａ與ｂ的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)． 說明：向量a與b的夾角θ是指把a(bǔ)，b起點(diǎn)平移到一起所成的夾角，其中0≤θ≤π．當(dāng)θ＝時(shí)，稱a和b垂直，記作a⊥b．為方便起見，a與b的夾角記作〈a，b〉． 2. 引導(dǎo)學(xué)生思考討論 根據(jù)向量數(shù)量積的定義，可以得出 （1）設(shè)e是單位向量，ae＝｜a｜c(diǎn)os〈a，e〉． （2）設(shè)ab是非零向量，則a⊥bab＝0． （3）aa＝｜a｜2，于是｜a｜＝. （4）cos〈a，b〉＝. （5）｜ab｜≤｜a｜｜b｜（這與實(shí)數(shù)｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）． 三、解釋應(yīng)用 ［例　題］ 已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120，求ab． 解：ab＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os〈a，b〉＝54cos120＝－10． ［練　習(xí)］ 1. 已知｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影為－2，求：（1）aｂ．　　?。?）a在b上的投影． 2. 已知：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60，求． 四、建立向量數(shù)量積的運(yùn)算律 1. 出示問題：從數(shù)學(xué)的角度考慮，我們希望向量的數(shù)量積運(yùn)算，也能像數(shù)量乘法那樣滿足某些運(yùn)算律，這樣數(shù)量積運(yùn)算才更富有意義．回憶實(shí)數(shù)的運(yùn)算律，你能類比和歸納出向量數(shù)量積的一些運(yùn)算律嗎？它們成立嗎？為什么？ 2. 運(yùn)算律及其推導(dǎo) 已知：向量a，b，c和λ∈R，則 （1）ab＝ba（交換律）． 證明：左＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝右． （2）（λa）b＝λ（ab）＝a（λb）（數(shù)乘結(jié)合律）． 證明：設(shè)a，b夾角為θ，當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與b的夾角為θ， ∴（λa）b＝（λa）｜b｜c(diǎn)osθ＝λ｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝λ（ab）； 當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與b的夾角為（π－θ）， ∴（λa）b＝｜λa｜｜b｜c(diǎn)os（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝λ（ab）； 當(dāng)λ＝0時(shí)，（λa）b＝0b＝0＝λ（ab）． 總之，（λa）b＝λ（ab）； 同理a（λb）＝λ（ab）． （3）（a＋b）c＝ac＋bc（乘法對加法的分配律）． 證明：如圖40-2，任取一點(diǎn)O，作＝a，＝ｂ，＝c． ∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即 ｜a＋b｜c(diǎn)osθ＝｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜b｜c(diǎn)osθ2， ∴｜c(diǎn)｜｜a＋b｜c(diǎn)osθ＝｜c(diǎn)｜（｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜b｜c(diǎn)osθ2）＝ ｜c(diǎn)｜｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜c(diǎn)｜｜b｜c(diǎn)osθ2＝ca＋cb， ∴（a＋b）c＝ac＋bc． 思考：（1）向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律，即（ab）c＝a（bc）嗎？ （2）向量的數(shù)量積滿足消去律，即如果ab＝cb，那么a＝c嗎？ 五、應(yīng)用與深化 ［例　題］ 1. 對實(shí)數(shù)a，b，有（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a＋b）（a－b）＝a2－b2．類似地，對任意向量a，b，也有類似結(jié)論嗎？為什么？ 解：類比完全平方和公式與平方差公式，有 （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a＋b）（a－b）＝a2－b2． 其證明是：（a＋b）2＝（a＋b）（a＋b）＝ aa＋ab＋ba＋bb＝ a2＋2ab＋b2， （a＋b）（a－b）＝aa－ab＋ba－bb＝ a2－b2． ∴有類似結(jié)論． 2. 已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60，求（a＋2b）（a－3b）． 解：（a＋2b）（a－3b）＝ a2－3ab＋2ba－6b2＝ ｜a｜2－｜a｜｜b｜c(diǎn)os60－6｜b｜2＝－72． 3. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a與b不共線．當(dāng)k為何值時(shí)，（a＋kb）⊥（a－kb）？ 解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k216＝0，k＝． 因此，當(dāng)k＝時(shí)，有（a＋kb）⊥（a－kb）． 4. 已知：正方形ABCD的邊長為1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜． 解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2， ∴｜a＋b＋c｜＝2＝2． 解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝1＋1＋2＋211cos90＋21 ＋21＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2． ［練　習(xí)］ 1. ｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）（2a＋b）＝61，求a與b的夾角θ． 2. 在邊長為2的正三角形ABC中，求＋＋． 六、拓展延伸 1. 當(dāng)向量a，b的夾角為銳角時(shí)，你能說明ab的幾何意義嗎？ 如圖40-3，ab，即以b在a上射影的長和ａ的長為兩鄰邊的矩形面積（OA＝OA1）． 2. 平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型，如圖40-4，＝＋，＝－．試說明平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關(guān)系． 3. 三個(gè)單位向量a，b，c有相同終點(diǎn)且a＋b＋c＝0，問：它們的起點(diǎn)連成怎樣的三角形？ 解法1：如圖40-5，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c(diǎn)｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）2＝（－c）2， ∴a2＋b2＋2ab＝c2，∴2｜a｜｜b｜c(diǎn)os∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120． 同理∠BOC＝∠AOC＝120，故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即該△ABC為等邊三角形． 解法2：如圖40-6，＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋． ∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB為菱形． 又｜｜＝1，∴∠AOB＝120． 同理∠AOC＝∠BOC＝120，… 4. 在△ABC中，＝＝，問：O點(diǎn)在△ABC的什么位置？ 解：由＝，即（－）＝0，即＝0，∴⊥，同理⊥，⊥．故O是△ABC的垂心． 點(diǎn)　評 這篇案例的一個(gè)突出特點(diǎn)是使用類比方法，即在研究向量的數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律時(shí)，經(jīng)常以實(shí)數(shù)為對象進(jìn)行類比．以物理學(xué)中的力對物體做功的實(shí)例，引入數(shù)量積的過程比較自然，學(xué)生容易接受．在“拓展延伸”中，較多地展示了向量的綜合應(yīng)用．這都充分體現(xiàn)了向量是數(shù)形結(jié)合的重要載體．運(yùn)用向量方法解決與向量有關(guān)的綜合問題，越來越成為考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的一個(gè)重要方面．認(rèn)識向量并會使用向量是這一部分的基礎(chǔ)，也是重點(diǎn)．總之，這篇案例較好地實(shí)現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)，同時(shí)，關(guān)注類比方法的運(yùn)用，以及學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的提高．美中不足的是，對學(xué)生的自主探究的引導(dǎo)似乎有所欠缺．