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2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識(shí)精要 24.排列、組合和二項(xiàng)式定理教案 新人教A版 1.兩個(gè)原理. （1）分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理是排列組合的基礎(chǔ)和核心，既可用來推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式，也可用來直接解題。它們的共同點(diǎn)都是把一個(gè)事件分成若干個(gè)分事件來進(jìn)行計(jì)算。只不過利用分類計(jì)算原理時(shí)，每一種方法都可能獨(dú)立完成事件；如需連續(xù)若干步才能完成的則是分步。利用分類計(jì)數(shù)原理，重在分“類”，類與類之間具有獨(dú)立性和并列性；利用分步計(jì)數(shù)原理，重在分步；步與步之間具有相依性和連續(xù)性。比較復(fù)雜的問題，常先分類再分步,分類相加，分步相乘. （2）一個(gè)模型： 影射個(gè)數(shù) 若A有年n個(gè)元素，B有m個(gè)元素，則從A到B能建立個(gè)不同的影射 ①n件不同物品放入m個(gè)抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？ （解：種） ②四人去爭(zhēng)奪三項(xiàng)冠軍，有多少種方法？ ③從集合A={1，2，3}到集合B={3，4}的映射f中滿足條件f（3）=3的影射個(gè)數(shù)是多少？ ④求一個(gè)正整數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù) （3）含有可重元素的排列問題. 對(duì)含有相同元素求排列個(gè)數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個(gè)不同元素a1，a2,…...an其中限重復(fù)數(shù)為n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 則S的排列個(gè)數(shù)等于. 如：已知數(shù)字3、2、2，求其排列個(gè)數(shù)又例如：數(shù)字5、5、5、求其排列個(gè)數(shù)？其排列個(gè)數(shù). 2.排列數(shù)中、組合數(shù)中. (1)排列數(shù)公式 ；。 如（1）1！+2！+3！+…+n！（）的個(gè)位數(shù)字為 （答：3）； （2）滿足的＝ （答：8） (2)組合數(shù)公式 ；規(guī)定，. 如已知，求 n，m的值（答：m＝n＝2） (3)排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì)： ①； ②； 從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后就剩下n-m個(gè)元素，因此從n個(gè)不同元素中取出 n-m個(gè)元素的方法是一一對(duì)應(yīng)的，因此是一樣多的就是說從n個(gè)不同元素中取出n-m個(gè)元素的唯一的一個(gè)組合.（或者從n+1個(gè)編號(hào)不同的小球中，n個(gè)白球一個(gè)紅球，任取m個(gè)不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有一類是不含紅球的選法有） 根據(jù)組合定義與加法原理得；在確定n+1個(gè)不同元素中取m個(gè)元素方法時(shí)，對(duì)于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個(gè)元素中再取m-1個(gè)元素，所以有C，如果不取這一元素，則需從剩余n個(gè)元素中取出m個(gè)元素，所以共有C種，依分類原理有. ③； ④；⑤；⑥. (4)常用的證明組合等式方法. ① 裂項(xiàng)求和法. 如：（利用）n.n!=(n+1)!-n! ② 導(dǎo)數(shù)法. ③ 數(shù)學(xué)歸納法. ④倒序求和法. 一般地：已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1，公差為d，a1C＋a2C＋a3C＋…＋an＋1C=（2a1＋nd)2n-1． ⑤ 遞推法（即用遞推）如：. ⑥ 構(gòu)造二項(xiàng)式. 如： 證明：這里構(gòu)造二項(xiàng)式其中的系數(shù)，左邊為 ，而右邊. 更一般地： A C B D 3.解排列組合問題的依據(jù)是：分類相加（每類方法都能獨(dú)立地完成這件事，它是相互獨(dú)立的，一次的且每次得出的是最后的結(jié)果，只需一種方法就能完成這件事），分步相乘（一步得出的結(jié)果都不是最后的結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立地完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了，才能完成這件事，各步是關(guān)聯(lián)的），有序排列，無序組合． 如（1）將5封信投入3個(gè)郵筒，不同的投法共有 種（答：）； （2）從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要甲型與乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有 種（答：70）； （3）從集合和中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中能確定不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是___（答：23）； （4）72的正約數(shù)（包括1和72）共有 個(gè)（答：12）； （5）的一邊AB上有4個(gè)點(diǎn)，另一邊AC上有5個(gè)點(diǎn)，連同的頂點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以構(gòu)成_____個(gè)三角形（答：90）； （6）用六種不同顏色把右圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開，允許同一顏色涂不同區(qū)域，但相鄰區(qū)域不能是同一種顏色，則共有 種不同涂法（答：480）； （7）同室4人各寫1張賀年卡，然后每人從中拿1張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式有 種（答：9）； （8）是集合到集合的映射，且 ，則不同的映射共有 個(gè)（答：7）；（9）滿足的集合A、B、C共有 組（答：） 3.解排列組合問題的方法有： 一般先選再排，即先組合再排列，先分再排。弄清要完成什么樣的事件是前提，解決這類問題通常有三種途徑 (1)以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素 (2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置即采用“先特殊后一般”的解題原則. (3)先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù) 前兩種方式叫直接解法，后一種方式叫間接(剔除)解法 注：數(shù)量不大時(shí)可以逐一排出結(jié)果。 如（1）某單位準(zhǔn)備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的外墻，現(xiàn)有編號(hào)為1到6的6種不同花色的石材可選擇，其中1號(hào)石材有微量的放射性，不可用于辦公室內(nèi)，則不同的裝飾效果有_____種（答：300）；（2）某銀行儲(chǔ)蓄卡的密碼是一個(gè)4位數(shù)碼，某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位個(gè)位上的數(shù)字（如2816）的方法設(shè)計(jì)密碼，當(dāng)積為一位數(shù)時(shí)，十位上數(shù)字選0. 千位、百位上都能取0. 這樣設(shè)計(jì)出來的密碼共有_______種（答：100）； （3）用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字，可以組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)_______個(gè)（答：156）； （4）某班上午要上語、數(shù)、外和體育4門課，如體育不排在第一、四節(jié)；語文不排在第一、二節(jié)，則不同排課方案種數(shù)為_____（答：6）； （5）四個(gè)不同的小球全部放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒中。①恰有兩個(gè)空盒的放法有__________種；②甲球只能放入第2或3號(hào)盒，而乙球不能放入第4號(hào)盒的不同放法有_________種（答：84；96）； （6）設(shè)有編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)茶杯和編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)杯蓋，將五個(gè)杯蓋蓋在五個(gè)茶杯上，至少有兩個(gè)杯蓋和茶杯的編號(hào)相同的蓋法有_________種（答：31） (7)在平面直角坐標(biāo)系中，由六個(gè)點(diǎn)(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以確定三角形的個(gè)數(shù)為_____（答：15）。 4.常見的題目類型 （1）相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）。 如（1）把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法種數(shù)為_____（答：2880）； （2）某人射擊８槍，命中４槍，４槍命中中恰好有３槍連在一起的情況的不同種數(shù)為_____（答：20）； （3）把一同排6張座位編號(hào)為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個(gè)人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是_____（答：144） （2）不相鄰(相間)問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）。如（1）3人坐在一排八個(gè)座位上,若每人的左右兩邊都有空位,則不同的坐法種數(shù)有_______種（答：24）； （2）某班新年聯(lián)歡晚會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目。如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為_____（答：42）。 （3）多排問題單排法。如若2n個(gè)學(xué)生排成一排的排法數(shù)為x，這2 n個(gè)學(xué)生排成前后兩排，每排各n個(gè)學(xué)生的排法數(shù)為y，則x,y的大小關(guān)系為_____（答：相等）； （4）多元問題分類法。 如（1）某化工廠實(shí)驗(yàn)生產(chǎn)中需依次投入2種化工原料，現(xiàn)有5種原料可用，但甲、乙兩種原料不能同時(shí)使用，且依次投料時(shí)，若使用甲原料，則甲必須先投放. 那么不同的實(shí)驗(yàn)方案共有_______種（答：15）； （2）某公司新招聘進(jìn)8名員工，平均分給下屬的甲、乙兩個(gè)部門.其中兩名英語翻譯人員不能同給一個(gè)部門；另三名電腦編程人員也不能同給一個(gè)部門，則不同的分配方案有______種（答：36）；（3）9名翻譯中，6個(gè)懂英語，4個(gè)懂日語，從中選撥5人參加外事活動(dòng)，要求其中3人擔(dān)任英語翻譯，選撥的方法有____________種（答：90）； （5）有序問題組合法。 如（1）書架上有3本不同的書，如果保持這些書的相對(duì)順序不便，再放上2本不同的書，有 種不同的放法（答：20）； （2）百米決賽有6名運(yùn)動(dòng)A、B、C、D、E、F參賽，每個(gè)運(yùn)動(dòng)員的速度都不同，則運(yùn)動(dòng)員A比運(yùn)動(dòng)員F先到終點(diǎn)的比賽結(jié)果共有_____種（答：360）； （3）學(xué)號(hào)為1，2，3，4的四名學(xué)生的考試成績(jī)且滿足，則這四位同學(xué)考試成績(jī)的所有可能情況有_____種（答：15）； （4）設(shè)集合，對(duì)任意，有，則映射的個(gè)數(shù)是_____（答：）； （5）如果一個(gè)三位正整數(shù)形如“”滿足，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如120、363、374等），那么所有凸數(shù)個(gè)數(shù)為_____（答：240）； （6）離心率等于(其中且)的不同形狀的的雙曲線的個(gè)數(shù)為_____（答：26）。 （6）選取問題先選后排法。如某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品，每只產(chǎn)品均不相同且可區(qū)分，今每次取出一只測(cè)試，直到4只次品全測(cè)出為止，則最后一只次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)，被發(fā)現(xiàn)的不同情況種數(shù)是_____（答：576）。 （7）至多至少問題間接法。如從7名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選出5人，至少有2名女同學(xué)當(dāng)選的選法有_______種（答：596） 提醒：亦可分類來求. （8）相同元素分組可采用隔板法。 如（1）10個(gè)相同的球各分給3個(gè)人，每人至少一個(gè)，有多少種分發(fā)？每人至少兩個(gè)呢？（答：36；15）； （2）某運(yùn)輸公司有7個(gè)車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)的車都多于4輛且型號(hào)相同，要從這7個(gè)車隊(duì)中抽出10輛車組成一運(yùn)輸車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)至少抽1輛車，則不同的抽法有多少種？（答：84） *小球入筐型* 5個(gè)小球放入三個(gè)不同的 筐子 有多少放法 每筐至少一個(gè)，有多少放法？ 小球相同 小球不同 注意：小球相同還是不同，是至少一個(gè)還是隨便，多元一次方程的不定正整數(shù)（還是非負(fù)整數(shù)）解的個(gè)數(shù)（隔板法）. 如的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個(gè)空隙中任選三個(gè)插入3塊摸板，把球分成4個(gè)組.每一種方法所得球的數(shù)目依次為顯然，故（）是方程的一組解.反之，方程的任何一組解，對(duì)應(yīng)著惟一的一種在12個(gè)球之間插入隔板的方式 （如圖所示）故方程的解和插板的方法一一對(duì)應(yīng). 即方程的解的組數(shù)等于插隔板的方法數(shù). 注意：若為非負(fù)數(shù)解的x個(gè)數(shù)，即用中等于，有，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求a的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 . 注：不定方程的解的個(gè)數(shù) ①方程（）的正整數(shù)解有個(gè). ② 方程（）的非負(fù)整數(shù)解有 個(gè). ③ 方程（）滿足條件(,)的非負(fù)整數(shù)解有個(gè). ④方程（）滿足條件(,)的正整數(shù)解有 （9）分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問題別忘除以n！。 如4名醫(yī)生和6名護(hù)士組成一個(gè)醫(yī)療小組，若把他們分配到4所學(xué)校去為學(xué)生體檢，每所學(xué)校需要一名醫(yī)生和至少一名護(hù)士的不同選派方法有_______種（答：37440）； （10）“錯(cuò)位問題”及其推廣 貝努利裝錯(cuò)箋問題:信封信與個(gè)信封全部錯(cuò)位的組合數(shù)為 .推廣: 個(gè)元素與個(gè)位置,其中至少有個(gè)元素錯(cuò)位的不同組合總數(shù)為提醒: 在求解排列與組合應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng) (1)把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題； (2)通過分析確定運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理； (3)分析題目條件，避免“選取”時(shí)重復(fù)和遺漏； (4)列出式子計(jì)算和作答 5.二項(xiàng)式定理：，其中組合數(shù)叫做第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；展開式共有n+1項(xiàng)，其中第r+l項(xiàng)稱為二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的主要用途是求指定的項(xiàng)（特定項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)）等有關(guān)問題。 二項(xiàng)式定理有兩個(gè)特殊形式：在解題時(shí)經(jīng)常用到，且很方便，需熟記。 。 特別提醒：①項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)、奇數(shù)項(xiàng)與奇次項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)與偶次項(xiàng)的區(qū)別分別是不同的兩個(gè)概念，但當(dāng)二項(xiàng)式的兩個(gè)項(xiàng)的系數(shù)都為1時(shí)，系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù)。如在的展開式中，第ｒ＋１項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，第ｒ＋１項(xiàng)的系數(shù)為；而的展開式中的系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù)；②當(dāng)n的數(shù)值不大時(shí)往往借助楊輝三角直接寫出各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；③審題時(shí)要注意區(qū)分所求的是項(xiàng)還是第幾項(xiàng)？求的是系數(shù)還是二項(xiàng)式系數(shù)？④注意展開式的逆用，注意展開式中的項(xiàng)是否去首、少尾；必須關(guān)注n是正整數(shù)，r是非負(fù)整數(shù)(r=0的情形容易忽視)，且r≤n。 如（1）的展開式中常數(shù)項(xiàng)是____（答：14）； （2）的展開式中的的系數(shù)為______ （答：330）； （3）數(shù)的末尾連續(xù)出現(xiàn)零的個(gè)數(shù)是____（答：3）； (4)展開后所得的的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有____項(xiàng)（答：7）； (5)若 的值能被5整除，則的可取值的個(gè)數(shù)有____個(gè)（答：5）； (6)若二項(xiàng)式按降冪展開后，其第二項(xiàng)不大于第三項(xiàng)，則 的取值范圍是 （答：）； (7)函數(shù)的最大值是_______（答：1024）. （8） 已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q．求和：a1C＋a2C＋a3C＋…＋an＋1C． 解：a1C＋a2C＋a3C＋…＋an＋1C＝a1C＋a1qC＋a1q2C＋…＋a1qnC ＝a1(C＋qC＋q2C＋…＋qnC)＝a1(1＋q)n． 6、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)： （1）對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即； （2）增減性與最大值：當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)C的值逐漸增大，當(dāng)時(shí),C的值逐漸減小，且在中間取得最大值。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)（第＋1項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)（第和＋1項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等并同時(shí)取最大值。 如（1）在二項(xiàng)式的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為______（答：－426）； （2）在的展開式中，第十項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，則＝____（答：17,18或19）。 （3）二項(xiàng)式系數(shù)的和：；。 如（1）如果，則 （答：128）；（2）化簡(jiǎn)（答：） 7、賦值法：應(yīng)用“賦值法”可求得二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為、“奇數(shù) (偶次)項(xiàng)”系數(shù)和為，以及“偶數(shù) (奇次)項(xiàng)”系數(shù)和為。 （4）F(x)=(ax+b)n展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為f(1);奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為；偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為； ①.②. 證明組合恒等式或二項(xiàng)展開式系數(shù)求和時(shí)通常用構(gòu)造法和賦值法：構(gòu)造一個(gè)相應(yīng)的二項(xiàng)展開式，再對(duì)該二項(xiàng)展開式進(jìn)行賦值，或者構(gòu)造同一問題的不同解法，通過變更問題解決。 如（1）已知，則等于_____（答：）；（2），則＋ ＝_____（答：xx）；（3）設(shè),則_____（答：）。 8、系數(shù)最大項(xiàng)的求法： 系數(shù)若就是二項(xiàng)式系數(shù)，利用二項(xiàng)式系數(shù)的最大值性質(zhì)來求，否則 設(shè) 的系數(shù)為 ，那么 為最大的必要而不充分的條件是： 且（若比商的話，注意的正負(fù)） 如（1）求的展開式中，系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)。（答：系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為，系數(shù)最大的項(xiàng)為） （2）二項(xiàng)式的展開式系數(shù)最大的項(xiàng)是（ ） A.第2n+1項(xiàng) B. 第2n+2項(xiàng) C. 第2n項(xiàng) D第2n+1項(xiàng)或2n+2項(xiàng) 注：若通過系數(shù)絕對(duì)值來求時(shí)，注意系數(shù)的正負(fù) 9、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：二項(xiàng)式定理的主要應(yīng)用有近似計(jì)算、證明整除性問題或求余數(shù)、應(yīng)用其首尾幾項(xiàng)進(jìn)行放縮證明不等式。 如（1）(0.998)5精確到0.001近似值為________（答：0.990）； （2）被4除所得的余數(shù)為_____（答：0）； （3）今天是星期一，10045天后是星期_____（答：二）； （4）求證：能被64整除； （5）求證：