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2019-2020年高三數學 第40課時 均值不等式教案 教學目標：掌握兩個正數的算術平均數不小于它們的的定理，并會簡單運用； 利用不等式求最值時要注意到“一正”“二定”“三相等”． 教學重點：均值不等式的靈活應用。 （一） 主要知識： 兩個數的均值不等式：若，則≥（等號僅當時成立） 三個數的均值不等式：若，則≥（等號僅當時成立） 幾個重要的不等式： ① ≤≤ ②≤； ③如果，則≥≥≥ 最值定理：當兩個正數的和一定時，其乘積有最大值；當兩個正數的乘積一定時，其和 有最小值。 （二）主要方法： 常見構造條件的變換：加項變換，系數變換，平方變換，拆項變換，常量代換，三角代換等.當使用均值定理時等號不能成立時，應考慮函數的單調性（例如“對號”函數，導數法）. （三）典例分析： 問題1．求下列函數的最值： ；；； ； ； 已知（為常數），，求的最小值 問題2．已知，，且，求 的最大值. 問題3．求最小值； 問題4．設，，且，則 已知≥，≥，且，求證：≤ 若, 求的最小值 （四）課后作業(yè)： 已知那么的最小值是 已知：，求證： 若，則的最大值是 此時， 已知，則的最小值為 已知實數滿足則的最小值和最大值分別為 ， ， ， ，無最大值 求的最小值 當時，求證：． 已知正數、滿足,則的最大值是 下列函數中，的最小值為的是 若，且，則的最大值是 （內江二中）已知，則的最小值是 若是正實數，，則的最大值是 要使不等式對所有正數都成立，試問的最小值是 （屆高三西安市第一次質檢），由不等式≥，≥， ≥，…，啟發(fā)我們得到推廣結論： ≥，則 已知：、，，求的最小值 （五）走向高考： (湖南)設則以下不等式中不恒成立的是 （重慶）若是正數，則的最小值是 (福建文)下列結論正確的是 當且時，則 當時， 當≥時，的最小值為 當時，無最大值 （陜西）已知不等式≥對任意正實數恒成立,則正實數的 最小值為 （重慶文）若且，則的最小值是 （重慶）若且,則的最小值為 （山東）函數（，）的圖象恒過定點，若點在直線上，其中，則的最小值為 （山東文）當時，不等式恒成立，則的取值范圍是 （上海）若，且，則的最大值是 （上海）若關于的不等式≤的解集是，則對任意實常數，總有 ， ，， ， （上海）已知函數＝有如下性質：如果常數＞0，那么該函數在上是減函數，在上是增函數． 如果函數＝（）的值域為，求的值； 研究函數＝（常數）在定義域內的單調性，并說明理由； 對函數＝和＝（常數）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數的特例．研究推廣后的函數的單調性（只須寫出結論，不必證明），并求函數＝＋（是正整數）在區(qū)間上的最大值和最小值（可利用你的研究結論）．