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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 平面向量數(shù)量積 新人教A版必修4 ◆ 考情分析 1. 向量的數(shù)量積仍然是高考考查的熱點(diǎn)，經(jīng)常以選擇題，填空題的形式出現(xiàn)，難度適中，但靈活多變。以重點(diǎn)考查平行、垂直關(guān)系的判定或夾角、長(zhǎng)度問(wèn)題為主。 2. 向量的數(shù)量積還經(jīng)常與三角函數(shù)、解三角形、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合，一解答題形式出現(xiàn)，命題的空間較大，且形式靈活，全面考查能力，突出向量的工具性，在知識(shí)的交匯處命題是高考的熱點(diǎn)之一。 ◆ 復(fù)習(xí)要求 1. 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。 2. 了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。 3. 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。 4. 能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。 ◆ 復(fù)習(xí)重點(diǎn) 1. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示與數(shù)量積的運(yùn)算 2. 夾角與模的相關(guān)問(wèn)題 3. 與三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)的綜合應(yīng)用 ◆ 復(fù)習(xí)難點(diǎn) 1. 數(shù)量積的幾何意義的理解 2. 夾角與模的相關(guān)問(wèn)題 3. 與三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)的綜合應(yīng)用 ◆ 教學(xué)過(guò)程 平面向量的數(shù)量積 兩向量的夾角 向量的數(shù)量積 兩向量的夾角 兩向量的夾角 性質(zhì) ^ = 0 = ||2， || ≤ |||| cosq = 性質(zhì) 運(yùn)算律 A．考點(diǎn)梳理 ☆ 考點(diǎn)解讀 1．兩個(gè)非零向量夾角的概念 已知非零向量與，作＝，＝，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫與的夾角 2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義： 已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是θ，則數(shù)量||||cosq 叫與的數(shù)量積，記作，即有 = ||||cosq，（０≤θ≤π）并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0 B 3. 幾何意義：“投影”的概念：作圖 B B A O B1 (B1) O A B1 O A 定義：||cosq 叫做向量在方向上的投影 思考：投影是否是長(zhǎng)度？投影是否是向量？投影是否是實(shí)數(shù)？ 投影是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)q為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時(shí)投影為0；當(dāng)q = 0時(shí)投影為 ||；當(dāng)q = 180時(shí)投影為 -|| 幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上投影||cosq的乘積 4．代數(shù)性質(zhì)（兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)）： （1）兩個(gè)非零向量與，^ = 0（此性質(zhì)可以解決幾何中的垂直問(wèn)題）； （2）兩個(gè)非零向量與，當(dāng)與同向時(shí)， = ||||； 當(dāng)與反向時(shí)， = -|||| （此性質(zhì)可以解決直線的平行、點(diǎn)共線、向量的共線問(wèn)題）； （3）cosq =（此性質(zhì)可以解決向量的夾角問(wèn)題）； （4） = ||2，，（此性質(zhì)可以解決長(zhǎng)度問(wèn)題即向量的模的問(wèn)題）； （5）|| ≤ ||||（此性質(zhì)要注意和絕對(duì)值的性質(zhì)區(qū)別，可以解決不等式的有關(guān)問(wèn)題）； 5．任何一種運(yùn)算都滿足一定的運(yùn)算律，以方便運(yùn)算，數(shù)量積的運(yùn)算律： 實(shí)數(shù)的運(yùn)算律 向量數(shù)量積運(yùn)算律 （交換律） ab=ba √ （結(jié)合律）(ab)c=a(bc) （分配律）a(b+c)=ab+ac √ √ 5．兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 B．考點(diǎn)典例 1.平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算 例1. （1）在直角三角形ABC中，,AB =5,AC =4.求 (2) 若 =（3，-4）， = （2，1）。試求（-2）（2+3） 解：（1）在△ABC中，，AB =5,AC =4 故而B(niǎo)C =3 所以 cos∠ABC = ,即＜＞ = -- ABC ∴= - cos∠ABC = -53= - 9 （2）-2=（-1，-6）， 2+3=（12，-5） ∴（-2）（2+3）=-112+（-6）（-5）= 18 【評(píng)析】本例強(qiáng)調(diào)數(shù)量積的基本運(yùn)算，特別是夾角范圍的判斷，對(duì)（2）小題還可以利用運(yùn)算律展開(kāi)與實(shí)數(shù)中的多項(xiàng)式乘法法則類比，借此強(qiáng)調(diào)不是所有乘法法則都可以推廣到向量數(shù)量積的運(yùn)算中，如： ； 等。 Ex1 已知 =1 , =, =0,點(diǎn)C在∠AOB 內(nèi)，且∠AOB =，設(shè)=+,(,∈R) , 則= 3 2. 夾角與模 例2. 已知：，是兩個(gè)非零向量，且==∣-∣， 求：與+的夾角 解：設(shè)與+的夾角為，由= 得 = 又由 ==-2+ ∴ = 而 =+2+=3 ∴ = ∴cosq === C A ∵０≤≤π ∴ = 方法二：如圖，以O(shè)為起點(diǎn)做向量=， =， O B 連接AB , 得-，=+， 顯然△AOB為正三角形，∠AOB = ,故而與+的夾角為 。 【評(píng)析】熟悉夾角公式的結(jié)構(gòu)形式，了解夾角與模的關(guān)系，借助幾何意義處理問(wèn)題的簡(jiǎn)便性，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想。 Ex2 如圖在Rt△ABC中，已知BC =a,若長(zhǎng)為2a的線段PQ以點(diǎn)A位中點(diǎn)， 問(wèn)與的夾角取何值時(shí)，的值最大？并求其最大值。 C 解：∵ ∴ = 0 Q 又∵=-,=- A B =- P ∴=(-)(-) =--+ =--+=--(-) =-+=-+ cosq 故而當(dāng)cosq = 1 ，即=時(shí)，最大，其最大值為0 【評(píng)析】 3. 與三角函數(shù)的綜合 例3．（09江蘇T15）設(shè)向量 （1）若與垂直，求的值； （2）求的最大值; （3）若，求證：∥. 解 【評(píng)析】向量與三角函數(shù)結(jié)合主要體現(xiàn)其工具性，特別是借助坐標(biāo)運(yùn)算其代數(shù)形式的應(yīng)用。還可以通過(guò)向量的代數(shù)性簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題，如課本第108頁(yè)有道數(shù)學(xué)題： Ex3 證明：任意實(shí)數(shù)a、b、c、d，恒有不等式成立。 證明：令：=(a,b) , =(c,d) = cosq (其中為向量，的夾角) 所以ac+bd= 故而= 4. 與解析幾何綜合 例4.（08四川T21）設(shè)橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率，右準(zhǔn)線為，、是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，． （Ⅰ）若，求、的值； （Ⅱ）證明：當(dāng)取最小值時(shí)，與共線． 【評(píng)析】體現(xiàn)向量的工具性。 C.課堂小結(jié)： D.教學(xué)反思: