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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第20講 隨機(jī)事件的概率與古典概型教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： 1．在具體情境中，了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，進(jìn)一步了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別； 2．通過實例，了解兩個互斥事件的概率加法公式； 3．通過實例，理解古典概型及其概率計算公式，會用列舉法計算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率。 二．命題走向 本講內(nèi)容在高考中所占比重不大，縱貫近幾年的高考形式對涉及到有關(guān)概念的某些計算要求降低，但試題中具有一定的靈活性、機(jī)動性。 預(yù)測07年高考： （1）對于理科生來講，對隨機(jī)事件的考察，結(jié)合選修中排列、組合的知識進(jìn)行考察，多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)； （2）對概率考察的重點為互斥事件、古典概型的概率事件的計算為主，而以實際應(yīng)用題出現(xiàn)的形式多以選擇題、填空題為主。 三．要點精講 1．隨機(jī)事件的概念 在一定的條件下所出現(xiàn)的某種結(jié)果叫做事件。 （1）隨機(jī)事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件； （2）必然事件：在一定條件下必然要發(fā)生的事件； （3）不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件。 2．隨機(jī)事件的概率 事件A的概率：在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗時,事件A發(fā)生的頻率總接近于某個常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率,記作P（A）。 由定義可知0≤P（A）≤1，顯然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。 3．事件間的關(guān)系 （1）互斥事件：不能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件； （2）對立事件：不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件； （3）包含：事件A發(fā)生時事件B一定發(fā)生，稱事件A包含于事件B（或事件B包含事件A）； 4．事件間的運(yùn)算 （1）并事件（和事件） 若某事件的發(fā)生是事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則此事件稱為事件A與事件B的并事件。 注：當(dāng)A和B互斥時，事件A+B的概率滿足加法公式： P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥）；且有P（A+）=P（A）+P（）=1。 （2）交事件（積事件） 若某事件的發(fā)生是事件A發(fā)生和事件B同時發(fā)生，則此事件稱為事件A與事件B的交事件。 5．古典概型 （1）古典概型的兩大特點：1）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等； （2）古典概型的概率計算公式：P（A）=； 一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件,通常此試驗中的某一事件A由幾個基本事件組成.如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個,即此試驗由n個基本事件組成,而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是。如果某個事件A包含的結(jié)果有m個,那么事件A的概率P（A）=。 四．典例解析 題型1：隨機(jī)事件的定義 例1．判斷下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機(jī)事件？ （1）“拋一石塊，下落”. （2）“在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0℃時，冰融化”； （3）“某人射擊一次，中靶”； （4）“如果a＞b,那么a－b＞0”; （5）“擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面”； （6）“導(dǎo)體通電后，發(fā)熱”； （7）“從分別標(biāo)有號數(shù)1，2，3，4，5的5張標(biāo)簽中任取一張，得到4號簽”； （8）“某電話機(jī)在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫”； （9）“沒有水份，種子能發(fā)芽”； （10）“在常溫下，焊錫熔化”． 解析：根據(jù)定義，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是隨機(jī)事件。 點評：熟悉必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的聯(lián)系與區(qū)別。針對不同的問題加以區(qū)分。 例2．（1）如果某種彩票中獎的概率為，那么買1000張彩票一定能中獎嗎？請用概率的意義解釋。 解析：不一定能中獎，因為，買1000張彩票相當(dāng)于做1000次試驗，因為每次試驗的結(jié)果都是隨機(jī)的，即每張彩票可能中獎也可能不中獎，因此，1000張彩票中可能沒有一張中獎，也可能有一張、兩張乃至多張中獎。 點評：買1000張彩票，相當(dāng)于1000次試驗，因為每次試驗的結(jié)果都是隨機(jī)的，所以做1000次試驗的結(jié)果也是隨機(jī)的，也就是說，買1000張彩票有可能沒有一張中獎。 （2）在一場乒乓球比賽前，裁判員利用抽簽器來決定由誰先發(fā)球，請用概率的知識解釋其公平性。 解析：這個規(guī)則是公平的，因為抽簽上拋后，紅圈朝上與綠圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名運(yùn)動員猜中的概率都是0.5，也就是每個運(yùn)動員取得先發(fā)球權(quán)的概率都是0.5。 點評：這個規(guī)則是公平的，因為每個運(yùn)動員先發(fā)球的概率為0.5，即每個運(yùn)動員取得先發(fā)球權(quán)的概率是0.5。事實上，只能使兩個運(yùn)動員取得先發(fā)球權(quán)的概率都是0.5的規(guī)則都是公平的。 題型2：頻率與概率 例3．某種菜籽在相同在相同的條件下發(fā)芽試驗結(jié)果如下表：（求其發(fā)芽的概率） 種子粒數(shù) 2 5 10 70 130 310 700 1500 xx 3000 發(fā)芽粒數(shù) 2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715 解析：我們根據(jù)表格只能計算不同情況下的種子發(fā)芽的頻率分別是：1，0.8，0.9，0.857，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903，0.905。隨著種子粒數(shù)的增加，菜籽發(fā)芽的頻率越接近于0.9，且在它附近擺動。故此種子發(fā)芽的概率為0.9。 點評：我們可以用頻率的趨向近似值表示隨機(jī)事件發(fā)生的概率。 例4．進(jìn)行這樣的試驗：從0、1、2、…、9這十個數(shù)字中隨機(jī)取一個數(shù)字，重復(fù)進(jìn)行這個試驗10000次，將每次取得的數(shù)字依次記下來，我們就得到一個包括10000個數(shù)字的“隨機(jī)數(shù)表”．在這個隨機(jī)數(shù)表里，可以發(fā)現(xiàn)0、1、2、…、9這十個數(shù)字中各個數(shù)字出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在0.1附近．現(xiàn)在我們把一個隨機(jī)數(shù)表等分為10段，每段包括1000個隨機(jī)數(shù)，統(tǒng)計每1000個隨機(jī)數(shù)中數(shù)字“7”出現(xiàn)的頻率，得到如下的結(jié)果： 段序：n=1000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 出現(xiàn)“7”的頻數(shù) 95 88 95 112 95 99 82 89 111 102 出現(xiàn)“7”的頻率 0.095 0.088 0.095 0.112 0.095 0.099 0.082 0.089 0.111 0.102 由上表可見，每1000個隨機(jī)數(shù)中“7”出現(xiàn)的頻率也穩(wěn)定在0.1的附近．這就是頻率的穩(wěn)定性．我們把隨機(jī)事件A的頻率P(A)作為隨機(jī)事件A的概率P(A)的近似值。 點評：利用概率的統(tǒng)計定義，在計算每一個隨機(jī)事件概率時都要通過大量重復(fù)的試驗，列出一個表格，從表格中找到某事件出現(xiàn)頻率的近似值作為所求概率。這從某種意義上說是很繁瑣的。 題型3：隨機(jī)事件間的關(guān)系 例5．（1）某戰(zhàn)士在打靶中，連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對立事件是（ ） （A）至多有一次中靶 （B）兩次都中靶 （C）兩次都不中靶 （D）只有一次中靶 答案：C。 點評：根據(jù)實際問題分析好對立事件與互斥事件間的關(guān)系。 （2）把標(biāo)號為1，2，3，4的四個小球隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四個人，每人分得一個。事件“甲分得1號球”與事件“乙分得1號球”是（ ） （A）互斥但非對立事件 （B）對立事件 （C）相互獨立事件 （D）以上都不對 答案：A。 點評：一定要區(qū)分開對立和互斥的定義，互斥事件：不能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件；對立事件：不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件。 例6．（xx天津文，18）甲、乙兩臺機(jī)床相互沒有影響地生產(chǎn)某種產(chǎn)品，甲機(jī)床產(chǎn)品的正品率是乙機(jī)床產(chǎn)品的正品率是。 （I）從甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用數(shù)字作答）； （II）從甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用數(shù)字作答）。 （I）解：任取甲機(jī)床的3件產(chǎn)品恰有2件正品的概率為 （II）解法一：記“任取甲機(jī)床的1件產(chǎn)品是正品”為事件A，“任取乙機(jī)床的1件產(chǎn)品是正品”為事件B。則任取甲、乙兩臺機(jī)床的產(chǎn)品各1件，其中至少有1件正品的概率為： 解法二：運(yùn)用對立事件的概率公式，所求的概率為： 點評：本小題考查互斥事件、相互獨立事件的概率等基礎(chǔ)知識，及分析和解決實際問題的能力。 題型4：古典概率模型的計算問題 例7．從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率。 解析：每次取出一個，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有6個，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)用A表示“取出的兩種中，恰好有一件次品”這一事件， 則A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]， 事件A由4個基本事件組成，因而，P（A）==。 點評：利用古典概型的計算公式時應(yīng)注意兩點：（1）所有的基本事件必須是互斥的；（2）m為事件A所包含的基本事件數(shù)，求m值時，要做到不重不漏。 例8．現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件，其中8件為正品，2件為次品： （1）如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù)3次取出的都是正品的概率； （2）如果從中一次取3件，求3件都是正品的概率。 分析：（1）為返回抽樣；（2）為不返回抽樣。 解析：（1）有放回地抽取3次，按抽取順序（x,y,z）記錄結(jié)果，則x,y,z都有10種可能，所以試驗結(jié)果有101010=103種；設(shè)事件A為“連續(xù)3次都取正品”，則包含的基本事件共有888=83種，因此，P(A)= =0.512。 （2）解法1：可以看作不放回抽樣3次，順序不同，基本事件不同，按抽取順序記錄（x,y,z），則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，所以試驗的所有結(jié)果為1098=720種．設(shè)事件B為“3件都是正品”，則事件B包含的基本事件總數(shù)為876=336, 所以P(B)= ≈0.467。 解法2：可以看作不放回3次無順序抽樣，先按抽取順序（x,y,z）記錄結(jié)果，則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以試驗的所有結(jié)果有10986=120，按同樣的方法，事件B包含的基本事件個數(shù)為8766=56，因此P(B)= ≈0.467。 點評：關(guān)于不放回抽樣，計算基本事件個數(shù)時，既可以看作是有順序的，也可以看作是無順序的，其結(jié)果是一樣的，但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會導(dǎo)致錯誤。 題型5：利用排列組合知識解古典概型問題 例9．（xx山東文，19）盒中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的卡片各2張，從盒中任意任取3張，每張卡片被抽出的可能性都相等，求： (Ⅰ)抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4的概率； (Ⅱ)抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3的概念； (Ⅲ)抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率。 解析：（I）“抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4”的事件記為A， 由題意得：； （II）“抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3”的事件記為B， 則； （III）“抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同”的事件記為C，“抽出的3張卡片上有兩個數(shù)字相同”的事件記為D，由題意，C與D是對立事件， 因為， 所以. 點評：該題通過排列、組合知識完成了古典概型的計算問題，同時要做到所有的基本事件必須是互斥的，要做到不重不漏。 例10．（xx安徽文，19）在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑。現(xiàn)有芳香度分別為0，1，2，3，4，5的六種添加劑可供選用。根據(jù)試驗設(shè)計原理，通常首先要隨機(jī)選取兩種不同的添加劑進(jìn)行搭配試驗。 （Ⅰ）求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4的概率； （Ⅱ）求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3的概率； 解析：設(shè)“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4”的事件為A，“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3”的事件為B （Ⅰ）芳香度之和等于4的取法有2種：、，故。 （Ⅱ）芳香度之和等于1的取法有1種：；芳香度之和等于2的取法有1種：，故。 點評：高考對概率內(nèi)容的考查，往往以實際應(yīng)用題出現(xiàn)。這既是這類問題的特點，也符合高考發(fā)展方向，考生要以課本概念和方法為主，以熟練技能，鞏固概念為目標(biāo)，查找知識缺漏，總結(jié)解題規(guī)律。 題型6：易錯題辨析 例11．?dāng)S兩枚骰子，求所得的點數(shù)之和為6的概率。 錯解：擲兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和不同情況為{2，3，4，…，12}，故共有11種基本事件，所以概率為P=； 剖析：以上11種基本事件不是等可能的，如點數(shù)和2只有(1，1)，而點數(shù)之和為6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5種．事實上，擲兩枚骰子共有36種基本事件，且是等可能的，所以“所得點數(shù)之和為6”的概率為P=。 我們經(jīng)常見的錯里還有“投擲兩枚硬幣的結(jié)果”，劃分基本事件“兩正、一正一反、兩反”，其中“一正一反”與“兩正”、“兩反”的機(jī)會是不均等。 類型四：基本事件 “不可數(shù)” 由概率求值公式，求某一事件發(fā)生的概率時，要求試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個。 如果試驗所包含的基本事件是無限多個，那根本就不會得到基本事件的總數(shù)，也就不能用公式來解決問題。 例12．（xx年天津、山西、江西高考試題） 甲、乙二人參加普法知識競賽，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個，甲、乙二人一次各抽取一題， （1）甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是多少？ 錯解：甲從選擇題中抽到一題的可能結(jié)果有個，乙從判斷題中抽到一題的的可能結(jié)果是，故甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的可能結(jié)果為；又甲、乙二人一次各抽取一題的結(jié)果有，所以概率值為。 剖析：錯把分步原理當(dāng)作分類原理來處理。 正解：甲從選擇題中抽到一題的可能結(jié)果有個，乙從判斷題中抽到一題的的可能結(jié)果是，故甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的可能結(jié)果為；又甲、乙二人一次各抽取一題的結(jié)果有，所以概率值為。 （2）甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是多少？ 錯解：甲、乙中甲抽到判斷題的種數(shù)是69種，乙抽到判斷題的種數(shù)69種，故甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的種數(shù)為129；又甲、乙二人一次各抽取一題的種數(shù)是109，故甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是。 剖析：顯然概率值不會大于1，這是錯解。該問題對甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的計數(shù)是重復(fù)的，兩人都抽取到選擇題這種情況被重復(fù)計數(shù)。 正解：甲、乙二人一次各抽取一題基本事件的總數(shù)是109=90； 方法一：分類計數(shù)原理 （1）只有甲抽到了選擇題的事件數(shù)是：64=24； （2）只有乙抽到了選擇題的事件數(shù)是：64=24； （3）甲、乙同時抽到選擇題的事件數(shù)是：65=30； 故甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是。 方法二：利用對立事件 事件“甲、乙二人至少有一個抽到選擇題”與事件“甲、乙兩人都未抽到選擇題”是對立事件。 事件“甲、乙兩人都未抽到選擇題”的基本事件個數(shù)是43=12； 故甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是。 五．思維總結(jié) 本講概念性強(qiáng)、抽象性強(qiáng)、思維方法獨特。因此要立足于基礎(chǔ)知識、基本方法、基本問題的練習(xí)，恰當(dāng)選取典型例題，構(gòu)建思維模式，造就思維依托和思維的合理定勢。 1．使用公式P（A）=計算時，確定m、n的數(shù)值是關(guān)鍵所在,其計算方法靈活多變,沒有固定的模式，可充分利用排列組合知識中的分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理，必須做到不重復(fù)不遺漏。 復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容及解答此類問題首先必須使學(xué)生明確判斷兩點：（1）對于每個隨機(jī)實驗來說，所有可能出現(xiàn)的實驗結(jié)果數(shù)n必須是有限個；（2）出現(xiàn)的所有不同的實驗結(jié)果數(shù)m其可能性大小必須是相同的。只有在同時滿足（1）、（2）的條件下，運(yùn)用的古典概型計算公式P(A)=m/n得出的結(jié)果才是正確的。 2．對于互斥事件要抓住如下的特征進(jìn)行理解： 第一，互斥事件研究的是兩個事件之間的關(guān)系； 第二，所研究的兩個事件是在一次試驗中涉及的； 第三，兩個事件互斥是從試驗的結(jié)果不能同時出現(xiàn)來確定的。 3．對立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗中有且僅有一個發(fā)生的兩個事件，集合A的對立事件記作，從集合的角度來看，事件所含結(jié)果的集合正是全集U中由事件A所含結(jié)果組成集合的補(bǔ)集，即A∪=U，A∩=.對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件。 事件A、B的和記作A+B，表示事件A、B至少有一個發(fā)生。當(dāng)A、B為互斥事件時，事件A+B是由“A發(fā)生而B不發(fā)生”以及“B發(fā)生而A不發(fā)生”構(gòu)成的。 當(dāng)計算事件A的概率P（A）比較困難時，有時計算它的對立事件的概率則要容易些，為此有P（A）=1－P（）。 對于n個互斥事件A1，A2，…，An，其加法公式為P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。 分類討論思想是解決互斥事件有一個發(fā)生的概率的一個重要的指導(dǎo)思想。 4．在應(yīng)用題背景條件下，能否把一個復(fù)雜事件分解為若干個互相排斥或相互獨立、既不重復(fù)又不遺漏的簡單事件是解答這類應(yīng)用題的關(guān)鍵，也是考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力的重要環(huán)節(jié)。