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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 2.1第1課時 合情推理課時作業(yè) 新人教B版選修2-2 一、選擇題 1．下面使用類比推理正確的是(　　) A．“若a4＝b4，則a＝b”類比推出“若a0＝b0，則a＝b” B．“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“(ab)c＝acbc” C．“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“＝＋(c≠0)” D．“(ab)n＝anbn”類比推出“(a＋b)n＝an＋bn” [答案]　C 2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)，則a20＝(　　) A．0　　　　　　　 B．－ C. D． [答案]　B [解析]　∵a1＝0，∴a2＝－，a3＝＝，a4＝0，…，由此可以看出周期為3，∴a20＝a36＋2＝a2＝－. 3．下面幾種推理是合情推理的是(　　) ①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)； ②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180； ③教室內(nèi)有一把椅子壞了，則該教室內(nèi)的所有椅子都壞了； ④三角形內(nèi)角和是180，四邊形內(nèi)角和是360，五邊形內(nèi)角和是540，由此得凸多邊形內(nèi)角和是(n－2)180. A．①② B．①③④ C．①②④ D．②④ [答案]　C [解析]?、偈呛锨橥评碇械念惐确?，排除D；②是歸納推理，排除B；④是歸納推理．故選C. 4．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時，an＝2an－1＋1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的一個表達(dá)式是(　　) A．n2－1 B．(n－1)2＋1 C．2n－1 D．2n－1＋1 [答案]　C [解析]　a2＝2a1＋1＝21＋1＝3， a3＝2a2＋1＝23＋1＝7， a4＝2a3＋1＝27＋1＝15，利用歸納推理，猜想an＝2n－1，故選C. 5．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝(　　) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) [答案]　D [解析]　本題考查了推理證明及函數(shù)的奇偶性內(nèi)容，由例子可看出偶函數(shù)求導(dǎo)后都變成了奇函數(shù)，∴g(－x)＝－g(x)，選D，體現(xiàn)了對學(xué)生觀察能力，概括歸納推理能力的考查． 6．我們把4,9,16,25，…這些數(shù)稱做正方形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)子可以排成一個正方形(如下圖)，則第n－1個正方形數(shù)是(　　) A．n(n－1) B．n(n＋1) C．n2 D．(n＋1)2 [答案]　C [解析]　第n－1個正方形數(shù)的數(shù)目點(diǎn)子可排成n行n列，即每邊n個點(diǎn)子的正方形，∴點(diǎn)數(shù)為n2.故選C. 7．根據(jù)給出的數(shù)塔猜測1234569＋7等于(　　) 19＋2＝11 129＋3＝111 1239＋4＝1111 12349＋5＝11111 123459＋6＝111111 … A．1111110 B．1111111 C．1111112 D．1111113 [答案]　B [解析]　由數(shù)塔猜測應(yīng)是各位都是1的七位數(shù)，即1111111. 8.觀察圖所示圖形規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為(　　) A. B．△ C. D．○ [答案]　A [解析]　由每行或每列均有2個黑色圖形知，本題選A. 二、填空題 9．甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B，C三個城市時， 甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市； 乙說：我沒去過C城市； 丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市； 由此可判斷乙去過的城市為________． [答案]　A [解析]　利用邏輯推理的知識求解． 由題意可推斷：甲沒去過B城市，但比乙去的城市多，而丙說“三人去過同一城市”，說明甲去過A，C城市，而乙“沒去過C城市”，說明乙去過城市A，由此可知，乙去過的城市為A. 10．對于等差數(shù)列{an}有如下命題：“若{an}是等差數(shù)列，a1＝0，s、t是互不相等的正整數(shù)，則有(s－1)at－(t－1)as＝0”．類比此命題，給出等比數(shù)列{bn}相應(yīng)的一個正確命題是________． [答案]　若{bn}是等比數(shù)列，b1＝1，s、t是互不相等的正整數(shù)，則有＝1 [解析]　這是一個從等差數(shù)列到等比數(shù)列的平行類比，等差數(shù)列中的加、減、乘、除類比到等比數(shù)列經(jīng)常是乘、除、乘方、開方，類比方法的關(guān)鍵在于善于發(fā)現(xiàn)不同對象之間的“相似”，“相似”是類比的基礎(chǔ)．∴＝＝1. 11．觀察下列等式： (1＋1)＝21； (2＋1)(2＋2)＝2213； (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23135； …… 照此規(guī)律，第n個等式可為______________________． [答案]　(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1) [解析]　觀察規(guī)律，等號左側(cè)第n個等式共有n項(xiàng)相乘，從n＋1到n＋n，等式右端是2n與等差數(shù)列{2n－1}前n項(xiàng)的乘積，故第n個等式為(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)． 三、解答題 12．已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，有如下的性質(zhì)： (1)通項(xiàng)an＝am＋(n－m)d(n>m，n，m∈N*) (2)若m＋n＝p＋q，其中，m、n、p、q∈N*，則am＋an＝ap＋aq. (3)若m＋n＝2p，m，n，p∈N*，則am＋an＝2ap. (4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構(gòu)成等差數(shù)列． 類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，寫出相類似的性質(zhì)． [解析]　等比數(shù)列{bn}中，設(shè)公比為q，前n項(xiàng)和為Sn. (1)an＝amqn－m(n>m，n，m∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q，其中m，n，p，q∈N*， 則aman＝apaq. (3)若m＋n＝2p，其中，m，n，p∈N*，則a＝aman. (4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n(各項(xiàng)均不為零)構(gòu)成等比數(shù)列． 一、選擇題 1．設(shè)0<θ<，已知a1＝2cosθ，an＋1＝，則猜想an＝(　　) A．2cos B．2cos C．2cos D．2sin [答案]　B [解析]　∵a1＝2cosθ，a2＝＝2＝2cos，a3＝＝2＝2cos……，猜想an＝2cos.故選B. 2．類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?　　) ①各棱長相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等； ②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等； ③各個面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等． A．① B．①② C．①②③ D．③ [答案]　C [解析]　正四面體的面(或棱)可與正三角形的邊類比，正四面體的相鄰兩面成的二面角(或共頂點(diǎn)的兩棱的夾角)可與正三角形相鄰兩邊的夾角類比，故①②③都對．故選C. 3．把3、6、10、15、21、…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)子可以排成一個正三角形(如下圖)，試求第六個三角形數(shù)是(　　) A．27 B．28 C．29 D．30 [答案]　B [解析]　觀察歸納可知第n－1個三角形數(shù)共有點(diǎn)數(shù)：1＋2＋3＋4＋…＋n＝個，∴第六個三角形數(shù)為＝28.故選B. 4．(xx甘肅省會寧一中高二期中)如圖，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)⊥時，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”，類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率為(　　) A. B． C.＋1 D．－1 [答案]　A [解析]　類比“黃金橢圓”，在黃金雙曲線中，|OA|＝a，|OB|＝b，|OF|＝c， 當(dāng)⊥時，|BF|2＋|AB|2＝|AF|2， ∴b2＋c2＋c2＝a2＋c2＋2ac， ∵b2＝c2－a2，整理得c2＝a2＋ac， ∴e2－e－1＝0，解得e＝，或e＝(舍去)． 故黃金雙曲線的離心率e＝. 二、填空題 5．在平面上，若兩個正三角形的邊長比為12，則它們的面積比為14.類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長比為12，則它們的體積比為________． [答案]　18 [解析]?。剑剑剑? 6．(xx陜西文，16)觀察下列等式 1－＝ 1－＋－＝＋ 1－＋－＋－＝＋＋ …… 據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為_________________________________． [答案]　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ [解析]　觀察等式知：第n個等式的左邊有2n個數(shù)相加減，奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，且分子為1，分母是1到2n的連續(xù)正整數(shù)，等式的右邊是＋＋…＋.故答案為1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ 三、解答題 7．在△ABC中，不等式＋＋≥成立， 在四邊形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立， 在五邊形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立，猜想在n邊形A1A2…An中，有怎樣的不等式成立？ [解析]　根據(jù)已知特殊的數(shù)值：、、，…，總結(jié)歸納出一般性的規(guī)律：(n≥3且n∈N*)． ∴在n邊形A1A2…An中：＋＋…＋≥(n≥3且n∈N*)． 8．已知等式sin210＋cos240＋sin10cos40＝，sin26＋cos236＋sin6cos36＝.請寫出一個具有一般性的等式，使你寫出的等式包含已知的等式，并證明結(jié)論的正確性． [解析]　等式為sin2α＋cos2(30＋α)＋sinαcos(30＋α)＝.證明如下： sin2α＋cos2(30＋α)＋sinαcos(30＋α) ＝sin2α＋＋sinα(cos30cosα－sin30sinα)＝＋sin2α＋＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋(cos2α－sin2α)＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋cos2α－sin2α＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋(1－2sin2α)＝.