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2019-2020年高中數(shù)學 第2章 圓錐曲線與方程 4.1拋物線的標準方程 蘇教版選修2-1 課時目標　1.掌握拋物線的定義、四種不同標準形式的拋物線方程、準線、焦點坐標及對應的幾何圖形.2.會利用定義求拋物線方程． 1．拋物線的定義 平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離________的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的________，直線l叫做拋物線的________． 2．拋物線的標準方程 (1)方程y2＝2px，x2＝2py(p>0)叫做拋物線的________方程． (2)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點坐標是__________，準線方程是__________，開口方向________． (3)拋物線y2＝－2px(p>0)的焦點坐標是________，準線方程是__________，開口方向________． (4)拋物線x2＝2py(p>0)的焦點坐標是________，準線方程是__________，開口方向________． (5)拋物線x2＝－2py(p>0)的焦點坐標是___________，準線方程是__________，開口方向________． 一、填空題 1．拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點到其準線的距離為________． 2．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在曲線－＝1上，則拋物線方程為______________． 3．與拋物線y2＝x關(guān)于直線x－y＝0對稱的拋物線的焦點坐標是________． 4．設(shè)拋物線y2＝2x的焦點為F，過點M(，0)的直線與拋物線相交于A，B兩點，與拋物線的準線相交于點C，BF＝2，則△BCF與△ACF的面積之比為________． 5．拋物線x2＋12y＝0的準線方程為__________． 6．若動點P在y＝2x2＋1上，則點P與點Q(0，－1)連線中點的軌跡方程是__________． 7．已知拋物線x2＝y(tǒng)＋1上一定點A(－1,0)和兩動點P，Q，當PA⊥PQ時，點Q的橫坐標的取值范圍是______________． 二、解答題 8．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，拋物線上的點M(－3，m)到焦點的距離等于5，求拋物線的方程和m的值，并寫出拋物線的焦點坐標和準線方程． 9.某大橋在漲水時有最大跨度的中央橋孔，已知上部呈拋物線形，跨度為20米，拱頂距水面6米，橋墩高出水面4米．現(xiàn)有一貨船欲過此孔，該貨船水下寬度不超過18米，目前吃水線上部分中央船體高5米，寬16米，且該貨船在現(xiàn)在狀況下還可多裝1000噸貨物，但每多裝150噸貨物，船體吃水線就要上升0.04米，若不考慮水下深度，問：該貨船在現(xiàn)在狀況下能否直接或設(shè)法通過該橋孔？為什么？ 能力提升 10．已知拋物線y2＝2px(p>0)的準線與圓(x－3)2＋y2＝16相切，則p的值為________． 11．已知拋物線y2＝2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3,2)，求PA＋PF的最小值，并求出取最小值時P點的坐標． 1．四個標準方程的區(qū)分：焦點在一次項字母對應的坐標軸上，開口方向由一次項系數(shù)的符號確定．當系數(shù)為正時，開口方向為坐標軸的正方向；系數(shù)為負時，開口方向為坐標軸的負方向． 2．焦點在y軸上的拋物線的標準方程x2＝2py通常又可以寫成y＝ax2，這與以前學習的二次函數(shù)的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y＝ax2來求其焦點和準線時，必須先化成標準形式． 2.4　拋物線 2．4.1　拋物線的標準方程 知識梳理 1．相等　焦點　準線 2．(1)標準　(2)(，0)　x＝－　向右 (3)(－，0)　x＝　向左 (4)(0，)　y＝－　向上 (5)(0，－)　y＝　向下 作業(yè)設(shè)計 1. 解析　因為y2＝ax，所以p＝，即該拋物線的焦點到其準線的距離為. 2．y2＝8x 解析　由題意知拋物線的焦點為雙曲線－＝1的頂點，即為(－2,0)或(2,0)，所以拋物線的方程為y2＝8x或y2＝－8x. 3．(0，) 解析　兩拋物線關(guān)于x－y＝0對稱，其焦點也關(guān)于x－y＝0對稱，y2＝x的焦點坐標為，故所求拋物線焦點為. 4. 解析　 如圖所示，設(shè)過點M(，0)的直線方程為y＝k(x－)，代入y2＝2x并整理， 得k2x2－(2k2＋2)x＋3k2＝0， 則x1＋x2＝. 因為BF＝2，所以BB′＝2. 不妨設(shè)x2＝2－＝是方程的一個根， 可得k2＝，所以x1＝2. ＝＝＝＝＝. 5．y＝3 解析　拋物線x2＋12y＝0，即x2＝－12y，故其準線方程是y＝3. 6．y＝4x2 解析　設(shè)PQ中點坐標為(x，y)，則P點坐標為(2x,2y＋1)． 又∵點P在y＝2x2＋1上，∴2y＋1＝8x2＋1， 即y＝4x2. 7．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析　由題意知，設(shè)P(x1，x－1)，Q(x2，x－1)， 又A（-1,0），PAPQ,∴＝0， 即(－1－x1,1－x)(x2－x1，x－x)＝0， 也就是(－1－x1)(x2－x1)＋(1－x)(x－x)＝0. ∵x1≠x2，且x1≠－1， ∴上式化簡得x2＝－x1＝＋(1－x1)－1，由基本不等式可得x2≥1或x2≤－3. 8．解　設(shè)拋物線方程為y2＝－2px (p>0)， 則焦點F，由題意， 得 解得或 故所求的拋物線方程為y2＝－8x，m＝2. 拋物線的焦點坐標為(－2,0)，準線方程為x＝2. 9．解　 如圖所示，建立直角坐標系，設(shè)拋物線方程為y＝ax2， 則A(10，－2)在拋物線上， 即－2＝a102，a＝－， 方程即為y＝－x2. 讓貨船沿正中央航行，船寬16米， 而當x＝8時，y＝－82＝－1.28(米)． 又船體在x＝8之間通過，即B(8，－1.28)，此時B點離水面高度為6＋(－1.28)＝4.72(米)，而船體水面高度為5米，所以無法直接通過；又5－4.72＝0.28(米)，0.280.04＝7，而1507＝1050(噸)． ∴用多裝貨物的方法也無法通過，只好等待水位下降． 10．2 解析　由拋物線的標準方程得準線方程為x＝－. ∵準線與圓相切，圓的方程為(x－3)2＋y2＝16， ∴3＋＝4，∴p＝2. 11．解　 由定義知，拋物線上點P到焦點F的距離等于點P到準線l的距離d，由圖可知，求PA＋PF的問題可轉(zhuǎn)化為求PA＋d的問題． 將x＝3代入拋物線方程y2＝2x，得y＝. ∵>2，∴A在拋物線內(nèi)部． 設(shè)拋物線上點P到準線l：x＝－的距離為d， 由定義知PA＋PF＝PA＋d， 由圖可知，當PA⊥l時，PA＋d最小，最小值為，即PA＋PF的最小值為， 此時P點縱坐標為2，代入y2＝2x，得x＝2. ∴點P坐標為(2,2)． 故PA＋PF的最小值為，且取最小值時P點坐標為(2,2)．