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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何 2.1直線的方向向量與平面的法向量 蘇教版選修2-1 課時(shí)目標(biāo)　1.理解直線的方向向量與平面的法向量.2.理解直線的方向向量與平面的法向量在確定直線與平面時(shí)的作用． 1．直線的方向向量 直線l上的向量e(e≠0)以及與e共線的非零向量叫做直線l的______________． 2．平面的法向量 如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面α，那么稱向量n__________平面α，記作________，此時(shí)把向量n叫做平面α的__________． 3．平面法向量與平面內(nèi)點(diǎn)之間的關(guān)系 在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)平面α經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0，z0)，平面α的法向量n＝(A，B，C)，M(x，y，z)為平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，則x，y，z滿足的關(guān)系式為_(kāi)_____________________． 一、填空題 1.已知A（3,5,2），B（-1,2,1），把按向量a＝(2,1,1)平移后所得的向量是________． 2．從點(diǎn)A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取線段長(zhǎng)AB＝34，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 3．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分別是直線l1、l2的方向向量，若l1∥l2，則x＝________；y＝________. 4．設(shè)平面α的法向量為(1,2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k＝________. 5．已知l∥α，且l的方向向量為(2，m,1)，平面α的法向量為，則m＝________. 6．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則l的一個(gè)方向向量＝ ________________________________________________________________________. 7. 如圖所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個(gè)點(diǎn)Q滿足PQ⊥QD，則a＝________. 8．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則平面ABC的單位法向量坐標(biāo)為_(kāi)_______________________． 二、解答題 9．已知平面α經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，試求平面α的一個(gè)法向量． 10．△ABC中，A(1，－1,2)，B(3,3,1)，C(3,1,3)，設(shè)M(x，y，z)是平面ABC上任一點(diǎn)． (1)求平面ABC的一個(gè)法向量； (2)求x，y，z滿足的關(guān)系式． 能力提升 11. 在三棱錐S—ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)，如圖所示，求平面CMN的一個(gè)法向量． 12. 如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)． 求證：是平面AB1C的法向量． 1．直線的方向向量是一個(gè)很重要的概念．由定點(diǎn)A和方向向量a不僅可以確定直線l的位置，還可具體表示出l上的任意點(diǎn)；還可確定直線共線的條件，計(jì)算兩條直線所成的角等． 2．求解平面的法向量 若要求出一個(gè)平面的法向量的坐標(biāo)，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解． 3．由平面的法向量和平面內(nèi)一點(diǎn)可得到平面上任一點(diǎn)坐標(biāo)滿足的關(guān)系式． 3.2　空間向量的應(yīng)用 3．2.1　直線的方向向量與平面的法向量 知識(shí)梳理 1．方向向量 2．垂直于　n⊥α　法向量 3．A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0 作業(yè)設(shè)計(jì) 1．(－4，－3，－1) 解析?。?－4，－3，－1)．平移后向量的模和方向是不改變的，所以平移后的向量和向量相等． 2．(18,17，－17) 解析　設(shè)B(x，y，z)，＝(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，λ>0. 故x－2＝8λ，y＋1＝9λ，z－7＝－12λ，又(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－7)2＝342， 得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.∴x＝18，y＝17，z＝－17，即B(18,17，－17)． 3．6　 解析　∵l1∥l2，∴a∥b，則有2x＝12且2y＝15， 解方程得x＝6，y＝. 4．4 解析　α∥β(－2，－4，k)＝λ(1,2，－2)， ∴λ＝－2，k＝4. 5．－8 解析　(2，m,1)＝0，得m＝－8. 6.或 7．2 解析　以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)Q(1，y,0)，P(0,0，b)，D(0，a,0)，所以＝(1，y，－b)，＝(－1，a－y,0)，由PQ⊥QD得－1＋y(a－y)＋0＝0，即y2－ay＋1＝0有等根，所以Δ＝0，即a2－4＝0，得a＝2. 8.或 9．解　∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)， ∴＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)， 設(shè)平面α的法向量為n＝(x，y，z)．依題意，應(yīng)有n＝0，n＝0. 即，解得. 令y＝1，則x＝2. ∴平面α的一個(gè)法向量為n＝(2,1,0)． 10．解　(1)設(shè)平面ABC的法向量n＝(a，b，c)， ∵＝(2,4，－1)，＝(2,2,1)， ∴，∴. 故可取n＝(－3,2,2)． ∴平面ABC的一個(gè)法向量為n＝(－3,2,2)． (2)∵點(diǎn)M(x，y，z)是平面ABC上任一點(diǎn)， ∴－3(x－1)＋2(y＋1)＋2(z－2)＝0. ∴3x－2y－2z－1＝0. 這就是所求的x、y、z滿足的關(guān)系式． 11． 解　取AC中點(diǎn)O，連結(jié)OS、OB. ∵SA＝SC，AB＝BC， ∴CA⊥SO且AC⊥BO. ∵平面SAC⊥平面ABC， 平面SAC∩平面ABC＝AC， ∴SO⊥平面ABC， ∴SO⊥BO. 如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz， 則A(2,0,0)，B(0,2，0)， C(－2,0,0)，S(0,0,2)， M(1，，0)，N(0，，)． ∴＝(3，，0)，＝(－1,0，)． 設(shè)n＝(x，y，z)為平面CMN的一個(gè)法向量， 則，取z＝1， 則x＝，y＝－，∴n＝(，－，1)． 因此平面CMN的一個(gè)法向量為(，－，1)． 12． 證明　分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，不妨設(shè)||＝2， 則E(2,2,1)，F(xiàn)(1,1,2)， A(2,0,0)，B1(2,2,2)，C(0,2,0)． ∴＝(－1，－1,1)，＝(0,2,2)，＝(－2,2,0)， ＝－2＋2＝0，＝2－2＝0. ∴⊥平面AB1C. ∴是平面AB1C的法向量．