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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《數(shù)列的概念》教案14 北師大版必修5 教學(xué)目的： ⒈理解數(shù)列及其有關(guān)概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系. ⒉了解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會(huì)用通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列的任意一項(xiàng) ⒊對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列，會(huì)根據(jù)其前幾項(xiàng)寫(xiě)出它的個(gè)通項(xiàng)公式 教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列及其有關(guān)概念，通項(xiàng)公式及其應(yīng)用，前n 項(xiàng)和與an的關(guān)系 教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)一些數(shù)列的前幾項(xiàng)抽象、歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式 授課類(lèi)型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析： 本節(jié)主要介紹數(shù)列的概念、分類(lèi)，以及給出數(shù)列的兩種方法關(guān)于數(shù)列的概念，先給出了一個(gè)描述性定義，爾后又在此基礎(chǔ)上，給出了一個(gè)在映射、函數(shù)觀點(diǎn)下的定義，指出：“從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的有限子集)的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值”這樣就可以將數(shù)列與函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，不僅可以加深對(duì)數(shù)列概念的理解，而且有助于運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)去研究數(shù)列關(guān)于給出數(shù)列的兩種方法，其中數(shù)列的通項(xiàng)公式，教材已明確指出它就是相應(yīng)函數(shù)的解析式點(diǎn)破了這一點(diǎn)，數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系揭示得就更加清楚此外，正如并非每一函數(shù)均有解析表達(dá)式一樣，也并非每一數(shù)列均有通項(xiàng)公式(有通項(xiàng)公式的數(shù)列只是少數(shù)) 教學(xué)過(guò)程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1．函數(shù)的定義． 如果A、B都是非空擻 集，那么A到B的映射就叫做A到B的函數(shù)，記作：，其中 2．在學(xué)習(xí)第二章函數(shù)的基礎(chǔ)上，今天我們來(lái)學(xué)習(xí)第三章數(shù)列的有關(guān)知識(shí)，首先我們來(lái)看一些例子： 4，5，6，7，8，9，10． ① 1，，，，，…. ② 1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…. ③ 1，1.4，1.41，1.414，…. ④ -1，1，-1，1，-1，1，…. ⑤ 2，2，2，2，2，…. ⑥ 觀察這些例子，看它們有何共同特點(diǎn)？（啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列定義） 上述例子的共同特點(diǎn)是：⑴均是一列數(shù)；⑵有一定次序. 從而引出數(shù)列及有關(guān)定義 二、講解新課： ⒈ 數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列. 注意：⑴數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列； ⑵定義中并沒(méi)有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn). ⒉ 數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng). 各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），第2項(xiàng)，…，第n 項(xiàng)，…. 例如，上述例子均是數(shù)列，其中①中，“4”是這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），“9”是這個(gè)數(shù)列中的第6項(xiàng). ⒊數(shù)列的一般形式：，或簡(jiǎn)記為，其中是數(shù)列的第n項(xiàng) 結(jié)合上述例子，幫助學(xué)生理解數(shù)列及項(xiàng)的定義. ②中，這是一個(gè)數(shù)列，它的首項(xiàng)是“1”，“”是這個(gè)數(shù)列的第“3”項(xiàng)，等等 下面我們?cè)賮?lái)看這些數(shù)列的每一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號(hào)是否有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系？這一關(guān)系可否用一個(gè)公式表示？（引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)列與項(xiàng)的定義，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式）對(duì)于上面的數(shù)列②，第一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號(hào)有這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系： 項(xiàng) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序號(hào) 1 2 3 4 5 這個(gè)數(shù)的第一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號(hào)可用一個(gè)公式：來(lái)表示其對(duì)應(yīng)關(guān)系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出該數(shù)列相應(yīng)的各項(xiàng) 結(jié)合上述其他例子，練習(xí)找其對(duì)應(yīng)關(guān)系 如：數(shù)列①：=n+3(1≤n≤7)；數(shù)列③：≥1）； 數(shù)列⑤：（n≥1） ⒋ 數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 注意：⑴并不是所有數(shù)列都能寫(xiě)出其通項(xiàng)公式，如上述數(shù)列④； ⑵一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)是不唯一的，如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，…它的通項(xiàng)公式可以是，也可以是. ⑶數(shù)列通項(xiàng)公式的作用：①求數(shù)列中任意一項(xiàng)；②檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項(xiàng). 從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看，數(shù)列也可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式. 對(duì)于函數(shù)，我們可以根據(jù)其函數(shù)解析式畫(huà)出其對(duì)應(yīng)圖象，看來(lái)，數(shù)列也可根據(jù)其通項(xiàng)公式畫(huà)出其對(duì)應(yīng)圖象，下面同學(xué)們練習(xí)畫(huà)數(shù)列①，②的圖象，并總結(jié)其特點(diǎn). 在畫(huà)圖時(shí)，為方便起見(jiàn)，直角坐標(biāo)系兩條坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度可以不同. 數(shù)列①、②的圖象分別如圖1，圖2所示. 5．?dāng)?shù)列的圖像都是一群孤立的點(diǎn). 6．?dāng)?shù)列有三種表示形式： 列舉法，通項(xiàng)公式法和圖象法. 7． 有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.例如，數(shù)列①是有窮數(shù)列. 8．無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列. 例如，數(shù)列②、③、④、⑤、⑥都是無(wú)窮數(shù)列. 三、講解范例： 例1 根據(jù)下面數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫(xiě)出前5項(xiàng)： （1） 分析：由通項(xiàng)公式定義可知，只要將通項(xiàng)公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到數(shù)列的前5項(xiàng) 解：（1） (2) 例2寫(xiě)出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)： （1）1，3，5，7； （2） （3）-，，-，. 解： （1）項(xiàng)1=21-1 3=22-1 5=23-1 7=24-1 ↓ ↓ ↓ ↓ 序號(hào) 1 2 3 4 即這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)都是序號(hào)的2倍減去1， ∴它的一個(gè)通項(xiàng)公式是： ； （2）序號(hào)：1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 項(xiàng)分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 ↓ ↓ ↓ ↓ 項(xiàng)分子： 22-1 32-1 42-1 52-1 即這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的分母都是序號(hào)加上1，分子都是分母的平方減去1，∴它的一個(gè)通項(xiàng)公式是： ； （3）序號(hào) ‖ ‖ ‖ ‖ 這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是： 四、課堂練習(xí)： 課本P112練習(xí)：1—4. 學(xué)生板演1，2；教師提問(wèn)評(píng)析3，4. 答案：⒈⑴1,4,9,16,25；⑵10,20,30,40,50； ⑶5,-5,5,-5,5；⑷3/2，1，7/10，9/17，11/26. ⒉⑴a7=1/343，a10=1/1000；⑵a7=63，a10=120； ⑶a7=1/7，a10=-1/10；⑷a7=-125，a10=-1021. ⒊⑴=2n；⑵=1/5n；⑶=(-1)n/2n；⑷=(1/n)-[1/(n+1)]. ⒋⑴8，64，=2n；⑵1，36，=n2；⑶-1/3，-1/7，=(-1)n/n； ⑷，，an=. 五、小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：數(shù)列及有關(guān)定義，會(huì)根據(jù)通項(xiàng)公式求其任意一項(xiàng)，并會(huì)根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)求一些簡(jiǎn)單數(shù)列的通項(xiàng)公式 六、課后作業(yè)：課本P114習(xí)題3.1：1，2. 答案：⒈ ⑴ =3n；⑵ =-2(n-1)；⑶ =(n+1)/n；⑷=(-1)n/2n； ⑸ =1/n2；⑹ =(-1)n+1 . ⒉ ⑴a10=110，a31=992，a48=2352；⑵求n(n+1)=420的正整數(shù)解得n=20. 補(bǔ)充作業(yè)：根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： (1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) , , , , , ……； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……； (5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,……. 解：(1) ＝； (2) ＝； (3) ＝； (4) 將數(shù)列變形為1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……, ∴＝n＋； (5) 將數(shù)列變形為12, －23, 34, －45, 56,……， ∴ ＝(－1)n(n＋1). 七、板書(shū)設(shè)計(jì)（略） 八、課后記： 課 題：數(shù)列的概念（二） 教學(xué)目的： 1．了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同； 2．會(huì)根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)； 3．理解數(shù)列的前n項(xiàng)和與的關(guān)系； 4．會(huì)由數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出其通項(xiàng)公式. 教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng) 教學(xué)難點(diǎn)：理解遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系 授課類(lèi)型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析： 由于并非每一函數(shù)均有解析表達(dá)式一樣，也并非每一數(shù)列均有通項(xiàng)公式(有通項(xiàng)公式的數(shù)列只是少數(shù))，因而研究遞推公式給出數(shù)列的方法可使我們研究數(shù)列的范圍大大擴(kuò)展。遞推是數(shù)學(xué)里的一個(gè)非常重要的概念和方法。在數(shù)列的研究中，不僅很多重要的數(shù)列是用遞推公式給出的，而且它也是獲得一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的途徑：先得出較為容易寫(xiě)出的數(shù)列的遞推公式，然后再根據(jù)它推得通項(xiàng)公式。但是，這項(xiàng)內(nèi)容也是極易膨脹的，例如研究用遞推公式給出的數(shù)列的性質(zhì)，從數(shù)列的遞推公式推導(dǎo)通項(xiàng)公式等，這樣就會(huì)加重學(xué)生負(fù)擔(dān)?？紤]到學(xué)生是在高一學(xué)習(xí)，我們必須牢牢把握教學(xué)要求，只要能初步體會(huì)一下用遞推方法給出數(shù)列的思想，能根據(jù)遞推公式寫(xiě)出一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)就行了。 教學(xué)過(guò)程： 一、復(fù)習(xí)引入：上節(jié)學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)如下 ⒈ 數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列. 注意：⑴數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列； ⑵定義中并沒(méi)有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn). ⒉ 數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng). 各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），第2項(xiàng)，…，第n 項(xiàng)，…. ⒊數(shù)列的一般形式：，或簡(jiǎn)記為，其中是數(shù)列的第n項(xiàng) ⒋ 數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 5．?dāng)?shù)列的圖像都是一群孤立的點(diǎn). 6．?dāng)?shù)列有三種表示形式：列舉法，通項(xiàng)公式法和圖象法. 7． 有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.例如，數(shù)列①是有窮數(shù)列. 8． 無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列. 二、講解新課： 知識(shí)都來(lái)源于實(shí)踐，最后還要應(yīng)用于生活。用其來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題． 觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型． 模型一：自上而下： 第1層鋼管數(shù)為4；即：14＝1+3 第2層鋼管數(shù)為5；即：25＝2+3 第3層鋼管數(shù)為6；即：36＝3+3 第4層鋼管數(shù)為7；即：47＝4+3 第5層鋼管數(shù)為8；即：58＝5+3 第6層鋼管數(shù)為9；即：69＝6+3 第7層鋼管數(shù)為10；即：710＝7+3 若用表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且≤n≤7） 運(yùn)用每一層的鋼筋數(shù)與其層數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，運(yùn)用這一關(guān)系，會(huì)很快捷地求出每一層的鋼管數(shù)。這會(huì)給我們的統(tǒng)計(jì)與計(jì)算帶來(lái)很多方便。 讓同學(xué)們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？（啟發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律） 模型二：上下層之間的關(guān)系 自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1。 即；； 依此類(lèi)推：（2≤n≤7） 對(duì)于上述所求關(guān)系，若知其第1項(xiàng)，即可求出其他項(xiàng)，看來(lái)，這一關(guān)系也較為重要。 定義： 1．遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前n項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公 式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。 說(shuō)明：遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。 如下數(shù)字排列的一個(gè)數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89 遞推公式為： 2．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和： 數(shù)列中，稱(chēng)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，記為. 表示前1項(xiàng)之和：= 表示前2項(xiàng)之和：= …… 表示前n-1項(xiàng)之和：= 表示前n項(xiàng)之和：=. ∴當(dāng)n≥1時(shí)才有意義；當(dāng)n-1≥1即n≥2時(shí)才有意義. 3．與之間的關(guān)系： 由的定義可知，當(dāng)n=1時(shí)，=；當(dāng)n≥2時(shí)，=-， 即=. 說(shuō)明：數(shù)列的前n項(xiàng)和公式也是給出數(shù)列的一種方法. 三、例題講解 例1已知數(shù)列的第1項(xiàng)是1，以后的各項(xiàng)由公式給出，寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)。 分析：題中已給出的第1項(xiàng)即，遞推公式： 解：據(jù)題意可知： 例2已知數(shù)列中，≥3），試寫(xiě)出數(shù)列的前4項(xiàng) 解：由已知得 例3已知， 寫(xiě)出前5項(xiàng)，并猜想． 法一： ，觀察可得 法二：由 ∴ 即 ∴ ∴ 例4 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式： ⑴ =n+2n； ⑵ =n-2n-1. 解：⑴①當(dāng)n≥2時(shí)，=-=(n+2n)-[(n-1)+2(n-1)]=2n+1； ②當(dāng)n=1時(shí)，==1+21=3； ③經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n=1時(shí)，2n+1=21+1=3， ∴=2n+1為所求. ⑵①當(dāng)n≥2時(shí)，=-=(n-2n-1)-[(n-1)+2(n-1)-1]=2n-3； ②當(dāng)n=1時(shí)，==1-21-1=-2； ③經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n=1時(shí)，2n-3=21-3=-1≠-2， ∴=為所求. 四、練習(xí)： 1．根據(jù)各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，寫(xiě)出它的前五項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式 (1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)； (2) ＝1, ＝ (n∈N)； (3) ＝3, ＝3－2 (n∈N). 解：(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴ ＝(n－1); (2) ＝1,＝,＝, ＝, ＝, ∴ ＝; (3) ＝3＝1+2, ＝7＝1+2, ＝19＝1+2, ＝55＝1+2, ＝163＝1+2, ∴ ＝1＋23; 2． ．已知下列各數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，求的通項(xiàng)公式。 (1) ＝2n－3n; (2) ＝－2. 解：(1) ＝－1, =-＝2n－3n－[2(n－1)－3(n－1)]＝4n－5, 又符合＝41－5, ∴ ＝4n－5; (2) ＝1, =-＝－2－(－2)＝2, ∴＝ 五、小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容： 1．遞推公式及其用法； 2．通項(xiàng)公式反映的是項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相鄰兩項(xiàng)（或n項(xiàng)）之間的關(guān)系. 3．的定義及與之間的關(guān)系 六、課后作業(yè)： 1．根據(jù)各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，寫(xiě)出它的前五項(xiàng) =1, =+（n≥2） 解：由=1, =+（n≥2）, 得=1, =+=2, =+, =+,=+ 2．已知=an+bn+c，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 答案：= 七、板書(shū)設(shè)計(jì)（略） 八、課后記：