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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 第八章 8.7 圓錐曲線的綜合問題教案 新人教A版 鞏固夯實基礎(chǔ) 一、自主梳理 解析幾何考查的重點(diǎn)是圓錐曲線，在歷年的高考中，占解析幾何總分值的四分之三以上.解析幾何的綜合問題也主要以圓錐曲線為載體，通常從以下幾個方面進(jìn)行考查： 1.位置問題，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，是研究解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，常涉及直線與曲線交點(diǎn)的判斷、弦長、面積、對稱、共線等問題.其解法是充分利用方程思想以及韋達(dá)定理. 2.最值問題，最值問題是從動態(tài)角度去研究解析幾何中的數(shù)學(xué)問題的主要內(nèi)容.其解法是設(shè)變量、建立目標(biāo)函數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值. 3.范圍問題，范圍問題主要是根據(jù)條件，建立含有參變量的函數(shù)關(guān)系式或不等式，然后確定參數(shù)的取值范圍，其解法主要有運(yùn)用圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍，運(yùn)用求函數(shù)的值域、最值以及二次方程實根的分布等知識. 以上這些問題由于綜合性較強(qiáng)，所以備受的青睞.常用來綜合考查學(xué)生在數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類轉(zhuǎn)化、邏輯推理等多方面的能力. 二、點(diǎn)擊雙基 1.方程=|x-y+3|表示的曲線是( ) A.直線 B.雙曲線 C.橢圓 D.拋物線 解析：原方程變形為=.它表示點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)(-2,2)與定直線x-y+3=0的距離比是.故選B. 答案：B 2.若點(diǎn)（x,y）在橢圓4x2+y2=4上，則的最小值為（ ） A.1 B.-1 C.- D.以上都不對 解析：的幾何意義是橢圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)（2，0）連線的斜率.顯然直線與橢圓相切時取得最值，設(shè)直線y=k(x-2),代入橢圓方程消去y得(4+k2)x2-4k2x+4k2-4=0. 令Δ=0，k=. ∴kmin=-. 答案：C 3.雙曲線-=1的離心率為e1，雙曲線-=1的離心率為e2，則e1+e2的最小值為( ) A.4 B.2 C.2 D.4 解析：(e1+e2)2=e12+e22+2e1e2 =++2 =2+++2(+) ≥2+2+22=8. 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.故選C. 答案：C 4.若橢圓x2+a2y2=a2的長軸長是短軸長的2倍，則a=___________________. 解析：方程化為+y2=1, 若a2>1,∴2|a|=22,a=2. 當(dāng)00,b≠0),且交拋物線y2=2px(p>0)于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點(diǎn). (1)寫出直線l的截距式方程; (2)證明+=; (3)當(dāng)a=2p時,求∠MON的大小. 剖析：易知直線l的方程為+=1,欲證+=,即求的值,為此只需求直線l與拋物線y2=2px交點(diǎn)的縱坐標(biāo).由根與系數(shù)的關(guān)系易得y1+y2、y1y2的值,進(jìn)而證得+=.由=0易得∠MON=90.亦可由kOMkON=-1求得∠MON=90. (1)解：直線l的截距式方程為+=1. ① (2)證明：由①及y2=2px消去x可得by2+2pay-2pab=0. ② 點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)y1、y2為②的兩個根,故y1+y2=,y1y2=-2pa. 所以+===. (3)解：設(shè)直線OM、ON的斜率分別為k1、k2, 則k1=,k2=. 當(dāng)a=2p時,由(2)知,y1y2=-2pa=-4p2, 由y12=2px1,y22=2px2,相乘得 (y1y2)2=4p2x1x2, x1x2===4p2,因此k1k2===-1. 所以O(shè)M⊥ON,即∠MON=90. 講評：本題主要考查直線、拋物線等基本知識,考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力. 【例2】已知橢圓C的方程為+=1(a>b>0),雙曲線-=1的兩條漸近線為l1、l2,過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l,使l⊥l1,又l與l2交于P點(diǎn),設(shè)l與橢圓C的兩個交點(diǎn)由上至下依次為A、B.(如圖) (1)當(dāng)l1與l2夾角為60,雙曲線的焦距為4時,求橢圓C的方程; (2)當(dāng)=λ時,求λ的最大值. 剖析：(1)求橢圓方程即求a、b的值,由l1與l2的夾角為60易得=,由雙曲線的距離為4易得a2+b2=4,進(jìn)而可求得a、b. (2)由=λ,欲求λ的最大值,需求A、P的坐標(biāo),而P是l與l1的交點(diǎn),故需求l的方程.將l與l2的方程聯(lián)立可求得P的坐標(biāo),進(jìn)而可求得點(diǎn)A的坐標(biāo).將A的坐標(biāo)代入橢圓方程可求得λ的最大值. 解：(1)∵雙曲線的漸近線為y=x,兩漸近線夾角為60, 又<1, ∴∠POx=30,即=tan30=. ∴a=b. 又a2+b2=4, ∴a2=3,b2=1. 故橢圓C的方程為+y2=1. (2)由已知l:y=(x-c),與y=x解得P(,), 由=λ得A(,). 將A點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得 (c2+λa2)2+λ2a4=(1+λ)2a2c2. ∴(e2+λ)2+λ2=e2(1+λ)2. ∴λ2==-［(2-e2)+］+3≤3-2. ∴λ的最大值為-1. 講評：本題考查了橢圓、雙曲線的基礎(chǔ)知識,及向量、定比分點(diǎn)公式、重要不等式的應(yīng)用.解決本題的難點(diǎn)是通過恒等變形,利用重要不等式解決問題的思想.本題是培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題能力的一道好題. 【例3】 已知直線y=-2上有一個動點(diǎn)Q，過Q作直線l垂直于x軸，動點(diǎn)P在直線l上，且⊥，記點(diǎn)P的軌跡為C1. (1)求曲線C1的方程. (2)設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)A，且=(≠0).試判斷直線PB與曲線C1的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論. (3)已知圓C2：x2+(y-a)2=2,若C1、C2在交點(diǎn)處的切線互相垂直，求a的值. 解：(1)設(shè)P的坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,-2). ∵⊥,∴=0. ∴x2-2y=0. ∴點(diǎn)P的軌跡方程為x2=2y(x≠0). (2)直線PB與曲線C1相切，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0,0). ∵=,∴=(0,-y0). ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,-y0). ∵≠0,∴直線PB的斜率為k=. ∵x02=2y0,∴k=x0. ∴直線PB的方程為y=x0x-y0. 代入x2=2y,得x2-2x0x+2y0=0. ∵Δ=4x02-8y0=0, ∴直線PB與曲線C1相切. (3)不妨設(shè)C1、C2的一個交點(diǎn)為N(x1,y1),C1的解析式即為y=x2，則在C1上N處切線的斜率為k′=x1，圓C2過N點(diǎn)的半徑的斜率為k=. ① 又∵點(diǎn)N(x1,y1)在C1上，所以y1=x12. ② 由①②得y1=-a,x12=-2a, ∵N(x1,y1)在圓C2上， ∴-2a+4a2=2. ∴a=-或a=1. ∵y1>0,∴a<0. ∴a=-.