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2019-2020年高中數(shù)學 2.3《數(shù)學歸納法》教案 新人教A版選修2-2 第一課時 2.3 數(shù)學歸納法（一） 教學要求：了解數(shù)學歸納法的原理，并能以遞推思想作指導，理解數(shù)學歸納法的操作步驟，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題，并能嚴格按照數(shù)學歸納法證明問題的格式書寫. 教學重點：能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題. 教學難點：數(shù)學歸納法中遞推思想的理解. 教學過程： 一、復習準備： 1. 問題1： 在數(shù)列中，，先算出a2，a3，a4的值，再推測通項an的公式. （過程：，，，由此得到：） 2. 問題2：，當n∈N時，是否都為質數(shù)？ 過程：=41，=43，=47，=53，=61，=71，=83，=97，=113，=131，=151，… =1 601．但是=1 681=412是合數(shù) 3. 問題3：多米諾骨牌游戲. 成功的兩個條件：（1）第一張牌被推倒；（2）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒. 二、講授新課： 1. 教學數(shù)學歸納法概念： ① 給出定義：歸納法：由一些特殊事例推出一般結論的推理方法. 特點：由特殊→一般. 不完全歸納法：根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結論的推理方法叫不完全歸納法. 完全歸納法：把研究對象一一都考查到了而推出結論的歸納法稱為完全歸納法. ② 討論：問題1中，如果n=k猜想成立，那么n=k+1是否成立？對所有的正整數(shù)n是否成立？ ③ 提出數(shù)學歸納法兩大步：（i）歸納奠基：證明當n取第一個值n0時命題成立；（ii）歸納遞推：假設n=k（k≥n0， k∈N*）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立. 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立. 原因：在基礎和遞推關系都成立時，可以遞推出對所有不小于n0的正整數(shù)n0+1，n0+2，…，命題都成立. 關鍵：從假設n=k成立，證得n=k+1成立. 2. 教學例題： ① 出示例1：. 分析：第1步如何寫？n=k的假設如何寫？ 待證的目標式是什么？如何從假設出發(fā)？ 小結：證n=k+1時，需從假設出發(fā)，對比目標，分析等式兩邊同增的項，朝目標進行變形. ② 練習： 求證：. ③ 出示例2：設a＝++…+ (n∈N*)，求證：a<(n＋1). 關鍵：a<(k＋1)+＝(k+1)+<(k+1)+(k+)＝(k+2) 小結：放縮法，對比目標發(fā)現(xiàn)放縮途徑. 變式：求證a>n(n＋1) 3. 小結：書寫時必須明確寫出兩個步驟與一個結論，注意“遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉”；從n=k到n=k+1時，變形方法有乘法公式、因式分解、添拆項、配方等. 三、鞏固練習： 1. 練習：教材108 練習1、2題 2. 作業(yè)：教材108 B組1、2、3題. 第二課時 2.3 數(shù)學歸納法（二） 教學要求：了解數(shù)學歸納法的原理，并能以遞推思想作指導，理解數(shù)學歸納法的操作步驟，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題，并能嚴格按照數(shù)學歸納法證明問題的格式書寫. 教學重點：能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題. 教學難點：經(jīng)歷試值、猜想、歸納、證明的過程來解決問題. 教學過程： 一、復習準備： 1. 練習：已知，猜想的表達式，并給出證明？ 過程：試值，，…，→ 猜想 → 用數(shù)學歸納法證明. 2. 提問：數(shù)學歸納法的基本步驟？ 二、講授新課： 1. 教學例題： ① 出示例1：已知數(shù)列，猜想的表達式，并證明. 分析：如何進行猜想？（試值→猜想） → 學生練習用數(shù)學歸納法證明 → 討論：如何直接求此題的？ （裂項相消法） 小結：探索性問題的解決過程（試值→猜想、歸納→證明） ② 練習：是否存在常數(shù)a、b、c使得等式對一切自然數(shù)n都成立，試證明你的結論. 解題要點：試值n=1,2,3， → 猜想a、b、c → 數(shù)學歸納法證明 2. 練習： ① 已知 ，考察；；之后，歸納出對也成立的類似不等式，并證明你的結論. ② （89年全國理科高考題）是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式 （答案：a=3,b=11,c=10） 1對一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結論 3. 小結：探索性問題的解決模式為“一試驗→二歸納→三猜想→四證明”. 三、鞏固練習： 1. 平面內(nèi)有n個圓，任意兩個圓都相交于兩點，任何三個圓都不相交于同一點，求證這n個圓將平面分成f(n)=n2－n+2個部分. 2. 是否存在正整數(shù)m，使得f（n）=（2n+7）3n+9對任意正整數(shù)n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并證明你的結論；若不存在，請說明理由. （答案：m=36） 3. 試證明面值為3分和5分的郵票可支付任何的郵資. 證明：（1）當時，由可知命題成立； （2）假設時，命題成立. 則 當時，由（1）及歸納假設，顯然時成立.根據(jù)（1）和（2），可知命題成立. 小結：新的遞推形式，即（1）驗證 成立；（2）假設成立，并在此基礎上,推出成立. 根據(jù)(1)和(2)，對一切自然數(shù),命題都成立. 2. 作業(yè)：