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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2．2.1 對數(shù)與對數(shù)運算 第二課時教案精講 新人教A版必修1 [讀教材填要點] 1．對數(shù)的運算性質(zhì) 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)logaMN＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 2．對數(shù)換底公式 logab＝(a>0，a≠1，b>0，c>0，c≠1)． [小問題大思維] 1．如果將“M>0，N>0”改為“MN>0”，則性質(zhì)(1)和(2)還成立嗎？ 提示：不能．當(dāng)M<0，N<0時，性質(zhì)(1)和(2)都不成立． 2．若a>0，b>0，a≠1，b≠1，那么logablogba為何值？ 提示：logablogba＝＝1. 3．若logab有意義，如何用logab表示loganbn和logambn(其中m≠0，n≠0)? 提示：loganbn＝＝＝＝logab； logambn＝＝＝logab. 對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用 [例1]　求下列各式的值． (1)31＋log36－24＋log23＋103lg3＋()log34－1； (2)(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2lg5； (3)lg500＋lg－lg64＋50(lg2＋lg5)2. [自主解答]　(1)原式＝33log36－162log23＋10lg27＋32－log316＝18－48＋27＋＝－. (2)原式＝(lg2＋lg5)[(lg2)2－lg2lg5＋(lg5)2]＋3lg2lg5 ＝(lg2)2－lg2lg5＋(lg5)2＋3lg2lg5 ＝(lg2＋lg5)2＝1. (3)法一：原式＝lg(500)－lg＋50[lg(25)]2＝lg800－lg8＋50 ＝lg＋50＝lg100＋50 ＝2＋50＝52. 法二：原式＝lg5＋lg100＋lg8－lg5－lg82＋50＝lg100＋50＝52. —————————————————— (1)在應(yīng)用對數(shù)運算性質(zhì)時，應(yīng)注意保證每個對數(shù)式都有意義. (2)對于底數(shù)相同的對數(shù)式的化簡，常用的方法是： ①“收”，將同底的兩對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù)； ②“拆”，將積(商)的對數(shù)拆成對數(shù)的和(差). (3)對數(shù)的化簡求值一般是正用或逆用公式，對真數(shù)進行處理，選哪種策略化簡，取決于問題的實際情況，一般本著便于真數(shù)化簡的原則進行. ———————————————————————————————————————— 1．求下列各式的值． (1)log535－2log5＋log57－log51.8； (2)2log32－log3＋log38－5log53. 解：(1)原式＝log5(57)－2(log57－log53)＋log57－log5 ＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55 ＝2log55＝2. (2)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝5log32－(5log32－2log33)－3＝－1. 換底公式的應(yīng)用 [例2]　(1)計算：(log43＋log83)； (2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645. [自主解答]　(1)原式＝(＋) ＝＋＝＋＝. (2)因為log189＝a,18b＝5，所以log185＝b，于是 法一：log3645＝＝ ＝＝. 法二：lg9＝alg18，lg5＝blg18，所以log3645＝＝＝＝＝. 保持例2(2)條件不變，求log3036的值． 解：∵18b＝5，∴l(xiāng)og185＝b. ∴l(xiāng)og3036＝＝ ＝＝＝.　　　　 —————————————————— (1)利用換底公式可以把不同底的對數(shù)化為同底的對數(shù)，要注意換底公式的正用、逆用以及變形應(yīng)用. (2)題目中有指數(shù)式與對數(shù)式時，要注意將指數(shù)式與對數(shù)式進行互化，統(tǒng)一成一種形式. ———————————————————————————————————————— 2．求值：(log32＋log92)(log43＋log83) 解：(log32＋log92)(log43＋log83) ＝＝ ＝＝＝. 對數(shù)的綜合應(yīng)用 [例3]　已知x，y，z為正數(shù)，3x＝4y＝6z,2x＝py. (1)求p； (2)求證－＝. [自主解答]　設(shè)3x＝4y＝6z＝k(顯然k>0，且k≠1)， 則x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k， (1)由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p， ∵log3k≠0，∴p＝2log34. (2)－＝－＝logk6－logk3＝logk2 ＝logk4＝，∴－＝. —————————————————— 解決此類問題的關(guān)鍵是利用對數(shù)運算性質(zhì)，去掉對數(shù)符號，找出變量之間的關(guān)系或求出它們的值，再代入要求式，運算即可. ———————————————————————————————————————— 3．設(shè)7a＝8b＝k，且＋＝1，則k＝________. 解析：∵7a＝k，∴a＝log7k,8b＝k，∴b＝log8k. ∴＋＝logk7＋logk8＝logk56＝1.∴k＝56. 答案：56 解題高手 易錯題 審題要嚴，做題要細，一招不慎，滿盤皆輸，試試能否走出迷宮！　 已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求log 的值． [錯解]　∵lg x＋lg y＝2lg(x－2y) ∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0. 即(x－y)(x－4y)＝0，∴x＝y(tǒng)或x＝4y. 即＝1或＝4.∴l(xiāng)og＝0或log＝4. [錯因]　忽略了對數(shù)的真數(shù)必須大于0這一前提，因而出現(xiàn)了0和4這兩個結(jié)果． [正解]　由已知得xy＝(x－2y)2， 即(x－y)(x－4y)＝0， 得x＝y(tǒng)或x＝4y. ∵x>0，y>0，x－2y>0， ∴x>2y>0. ∴x＝y(tǒng)應(yīng)舍去，∴x＝4y即＝4. ∴l(xiāng)og＝log4＝4. 1．若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，則下列各式不恒成立的是(　　) ①logax2＝2logax；②logax2＝2loga|x|； ③loga(xy)＝logax＋logay； ④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|. A．②④　　　　　　 B．①③ C．①④ D．②③ 解析：∵xy>0.∴①中若x<0則不成立；③中若x<0，y<0也不成立． 答案：B 2．(log29)(log34)＝(　　) A. B. C．2 D．4 解析：(log29)(log34)＝＝＝4. 答案：D 3．已知lg2＝a，lg3＝b，則log36＝(　　) A. B. C. D. 解析：log36＝＝＝. 答案：B 4．已知log23＝a,3b＝7，則log1256＝________. 解析：∵3b＝7，∴b＝log37， ∴l(xiāng)og1256＝＝＝ 又∵log23＝a，∴l(xiāng)og32＝. 原式＝＝＝. 答案： 5．若lgx－lgy＝a，則lg()3－lg()3＝________. 解析：∵lgx－lgy＝a， ∴l(xiāng)g()3－lg()3＝3(lg－lg) ＝3(lgx－lgy)＝3a. 答案：3a 6．計算下列各式的值． (1)log2＋log212－log242； (2)log225log34log59. 解：(1)原式＝log2＝log2＝－. (2)原式＝log252log322log532 ＝8log25log32log53 ＝8＝8. 一、選擇題 1．lg 8＋3lg 5的值為(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析：lg 8＋3lg 5＝3lg 2＋3lg 5＝3(lg 2＋lg 5)＝3lg 10＝3. 答案：D 2．若log34log8m＝log416，則m等于(　　) A．3 B．9 C．18 D．27 解析：原式可化為：log8m＝ ∴l(xiāng)og2m＝2log43，∴m＝3.m＝27. 答案：D 3．已知a＝log32，用a來表示log38－2log36(　　) A．a(chǎn)－2 B．5a－2 C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1 解析：log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33) ＝3a－2(a＋1)＝a－2. 答案：A 4．已知方程x2＋xlog26＋log23＝0的兩根為α、β，則()α()β＝(　　) A. B．36 C．－6 D．6 解析：由題意知：α＋β＝－log26，()α()β＝()α＋β＝()－log26＝4log26＝22log26＝36. 答案：B 二、填空題 5．2(lg)2＋lglg 5＋＝________. 解析：原式＝2(lg)2＋lglg 5＋1－lg ＝2(lg)2＋lg(lg 5－1)＋1 ＝2(lg )2－2(lg)2＋1＝1. 答案：1 6．設(shè)g(x)＝，則g(g())＝________. 解析：∵>0，∴g()＝ln. 而g(g())＝g(ln)＝eln＝. 答案： 7．方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________． 解析：由題意知解之得x＝4. 答案：x＝4 8．已知x3＝3，則3log3x－logx23＝________. 解析：3log3x＝log3x3＝log33＝1， 而logx23＝logx33＝log33＝， ∴3log3x－logx23＝1－＝－. 答案：－ 三、解答題 9．計算下列各式的值： (1)； (2)lg2＋lg50＋31－log92； (3)2log2＋()＋lg20－lg2－(log32)(log23)＋(－1)lg1. 解：(1)原式＝＝＝. (2)原式＝lg2＋lg＋33－log322 ＝lg2＋(2－lg2)＋33log32 ＝2＋33log32 ＝2＋32＝2＋. (3)原式＝＋[()2] ＋lg－＋1 ＝＋()－1＋lg10－1＋1＝2. 10．設(shè)3x＝4y＝36，求＋的值． 解：由已知分別求出x和y， ∵3x＝36,4y＝36， ∴x＝log336，y＝log436， 由換底公式得：x＝＝， y＝＝， ∴＝log363，＝log364， ∴＋＝2log363＋log364 ＝log36(324)＝log3636＝1.