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2019-2020年高中數(shù)學 2.3 圓的方程 2.3.1 圓的標準方程教案 新人教B版必修2 教學分析　　　　　 本節(jié)內(nèi)容是學習圓的起始課，由于圓是學生比較熟悉的曲線，在初中已學習了圓的幾何性質(zhì)，所以學習本節(jié)的難度不大．教材利用兩點間距離公式推導(dǎo)出了圓的標準方程，并討論了點與圓的位置關(guān)系．在教學中，應(yīng)引導(dǎo)學生自己探究，避免教師直接給出圓的標準方程． 三維目標　　　　　 1．使學生掌握圓的標準方程，能根據(jù)圓心、半徑寫出圓的標準方程，能根據(jù)圓的標準方程寫出圓的圓心、半徑，進一步培養(yǎng)學生能用解析法研究幾何問題的能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想，注意培養(yǎng)學生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力． 2．會用待定系數(shù)法求圓的標準方程，通過圓的標準方程解決實際問題的學習，形成用代數(shù)方法處理幾何問題的能力，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情和興趣，培養(yǎng)學生分析、概括的思維能力． 重點難點　　　　　 教學重點：圓的標準方程． 教學難點：會根據(jù)不同的已知條件，利用待定系數(shù)法求圓的標準方程． 課時安排　　　　　 1課時 導(dǎo)入新課　　　　　 設(shè)計1.如左下圖，已知隧道的截面是半徑為4 m的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛．一輛寬為2.7 m，高為3 m的貨車能不能安全駛?cè)脒@個隧道？ 　　　　　　　　　 如右上圖，以某一截面半圓的圓心為坐標原點，半圓的直徑AB所在直線為x軸，建立直角坐標系，問題可以轉(zhuǎn)化為求圓上的點的縱坐標，這就需要建立圓的方程．為此我們學習圓的標準方程． 設(shè)計2.同學們，我們知道直線可以用一個方程表示，那么，圓可以用一個方程表示嗎？圓的方程怎樣來求呢？這就是本堂課的主要內(nèi)容，教師板書本節(jié)課題：圓的標準方程． 推進新課　　　　　 討論結(jié)果： (1)平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的軌跡是圓．定點是圓心，定長是圓的半徑． (2)只要圓心和半徑確定了，就可以確定一個圓． (3)如果點M在⊙C上，則|CM|＝r，反之，如果|CM|＝r，則點M在⊙C上．如下圖所示． 由兩點間的距離公式，得x，y滿足的等式， ＝r. 兩邊平方，得 (x－a)2＋(y－b)2＝r2.① 顯然，⊙C上任意一點M的坐標(x，y)適合方程①；如果平面上一點M的坐標(x，y)適合方程①，可得|CM|＝r，則點M在⊙C上．因此方程①是以點C(a，b)為圓心，r為半徑的圓的方程，叫做圓的標準方程． 特別地，如果圓心在坐標原點(如下圖)，這時a＝0，b＝0，圓的標準方程就是 x2＋y2＝r2. (4)容易看出，如果點M1(x1，y1)在圓外，則點到圓心的距離大于圓的半徑r，即 (x1－a)2＋(y1－b)2>r2. 如果點M2(x2，y2)在圓內(nèi)，則點到圓心的距離小于圓的半徑r，即 (x2－a)2＋(y2－b)20，代入圓方程，得(－2)2＋(y0＋10.5)2＝14.52， 解得y0＝－10.5≈14.36－10.5＝3.86(m)． 即支柱A2P2的長度約為3.86 m. 思路2 例4圓(x－1)2＋(y＋2)2＝9關(guān)于直線x－y＝0對稱的圓的標準方程是________． 解析：圓心(1，－2)關(guān)于直線x－y＝0的對稱點是(－2,1)，則對稱圓的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝9. 答案：(x＋2)2＋(y－1)2＝9 點評：圓關(guān)于點或直線對稱的圓，其半徑不變，只是圓心位置發(fā)生了變化．本題利用點關(guān)于直線對稱點求得對稱圓的圓心． 變式訓(xùn)練 1．圓x2＋(y＋3)2＝7關(guān)于原點對稱的圓的方程是________． 答案：x2＋(y－3)2＝7 2．圓x2＋y2＝4與圓(x－a)2＋y2＝4關(guān)于直線x＝6對稱，則a＝________. 答案：12 3．直線l與圓(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a(a<3)相交于兩點A，B，弦AB的中點為(0,1)，則直線l的方程為________． 解析：圓心為(－1,2)． 弦中點與圓心連線的斜率為＝－1， 由圓的性質(zhì)知，弦AB所在直線即l的斜率為k＝1. 故l的方程為x－y＋1＝0. 答案：x－y＋1＝0 例5寫出圓心為A(2，－3)，半徑長等于5的圓的方程，并判斷點M1(5，－7)，M2(－5，－1)是否在這個圓上． 解：圓的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝25. ∵(5－2)2＋(－7＋3)2＝25， ∴點M1在圓上． ∵(－5－2)2＋(－1＋3)2＝53>25， ∴點M2在圓外． 點評：本題要求首先根據(jù)坐標與半徑大小寫出圓的標準方程，然后給一個點，判斷該點與圓的關(guān)系，這里體現(xiàn)了坐標法的思想，根據(jù)圓的坐標及半徑寫方程——從幾何到代數(shù)；根據(jù)坐標滿足方程來看點在不在圓上——從代數(shù)到幾何． 變式訓(xùn)練 1．經(jīng)過圓(x＋1)2＋y2＝1的圓心C，且與直線x＋y＝0垂直的直線方程是________． 解析：圓心(－1,0)． 與直線x＋y＝0垂直的直線斜率為1， ∴所求的方程為y＝x＋1. 答案：x－y＋1＝0 2．已知兩點P1(4,9)和P2(6,3)，求以P1P2為直徑的圓的方程，并判斷點M(6,9)， Q(5,3)是在圓上、圓外，還是圓內(nèi)？ 解：由已知條件可得圓心坐標為C(5,6)，半徑為r＝|P1P2|＝＝.所以以P1P2為直徑的圓的方程為(x－5)2＋(y－6)2＝10.因為|CM|＝＝＝r，|CQ|＝＝3<＝r， ∴點M在圓上，點Q在圓內(nèi)． 1．已知圓C與圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于直線y＝－x對稱，則圓C的方程是(　　) A．(x－1)2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1 C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1 解析：圓C與圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于直線y＝－x對稱，其半徑不變，只求出圓心即可，而關(guān)于直線y＝－x對稱，則橫、縱坐標交換位置，并取相反數(shù)，由圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為(1,0)，知對稱的圓心為(0，－1)． 答案：C 2．以點(2，－1)為圓心且與直線3x－4y＋5＝0相切的圓的方程為(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 解析：r＝＝3. 答案：C 3．已知直線5x＋12y＋a＝0與圓x2－2x＋y2＝0相切，則a的值為________． 解析：圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝1，所以圓心坐標為(1,0)，半徑為1.由已知可得＝1|5＋a|＝13，所以a的值為－18或8. 答案：－18或8 4．已知圓(x－2)2＋y2＝8的圓心是點P，則點P到直線x－y－1＝0的距離是________． 解析：由已知得圓心為P(2,0)，由點P到直線距離公式，得d＝＝. 答案： 5.已知圓C：(x＋1)2＋(y＋)2＝4＋(a為實數(shù))上任意一點關(guān)于直線l：x－y＋2＝0的對稱點都在圓C上，則a＝__________. 解析：圓心C(－1，－)由題意知圓心C在直線l上即－1＋＋2＝0，解得a＝－2. 答案：－2 6．已知圓心為C的圓經(jīng)過點A(1,1)和B(2，－2)，且圓心在直線l：x－y＋1＝0上，求圓心為C的圓的標準方程． 分析：(1)利用圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，只要能構(gòu)造三個方程求出a、b、r便可． (2)確定一個圓只需確定圓心位置與半徑大?。? 圓心為C的圓經(jīng)過點A(1,1)和B(2，－2)，由于圓心C與A，B兩點的距離相等，所以圓心C在線段AB的垂直平分線m上，又圓心C在直線l上，因此圓心C是直線l與直線m的交點，半徑長等于|CA|或|CB|. 解法一：設(shè)所求的圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，將點A(1,1)和B(2，－2)代入得 又圓心在l：x－y＋1＝0上， 所以a－b＋1＝0.聯(lián)立方程組 解得a＝－3，b＝－2，r＝5. 所以所求的圓的標準方程為(x＋3)2＋(y＋2)2＝25. 解法二：因為A(1,1)和B(2，－2)，所以線段AB的中點坐標為(，－)，直線AB的斜率為kAB＝＝－3，故線段AB的垂直平分線方程為y＋＝(x－)，即x－3y－3＝0.由解得 因此圓心C的坐標為(－3，－2)，半徑r＝|AC|＝＝5，所以所求的圓的方程為(x＋3)2＋(y＋2)2＝25. 已知直線l1：mx－y＝0，l2：x＋my－m－2＝0，且l1⊥l2. 求證：對m∈R，l1與l2的交點P在一個定圓上． 證明：∵l1與l2分別過定點(0,0)、(2,1)，且兩直線垂直， ∴l(xiāng)1與l2的交點必在以(0,0)、(2,1)為一條直徑的圓上． ∴圓心為(1，)，半徑為，(x－1)2＋(y－)2＝()2. 本節(jié)課學習了： 1．圓的標準方程． 2．求圓的標準方程的方法：直接法和待定系數(shù)法； 3．判定點與圓的位置關(guān)系； 本節(jié)練習B　1,2題． 圓是學生比較熟悉的曲線，求圓的標準方程既是本節(jié)課的教學重點也是難點，為此本節(jié)布設(shè)了由淺入深的學習環(huán)境，先讓學生熟悉圓心、半徑與圓的標準方程之間的關(guān)系，逐步理解三個參數(shù)的重要性，自然形成待定系數(shù)法的解題思路，在突出重點的同時突破了難點．利用圓的標準方程由淺入深的解決問題，并通過圓的方程在實際問題中的應(yīng)用，增強學生應(yīng)用數(shù)學的意識．另外，為了培養(yǎng)學生的理性思維，在例題中，設(shè)計了由特殊到一般的學習思路，培養(yǎng)學生的歸納概括能力．在問題的設(shè)計中，利用一題多解的探究，縱向挖掘知識深度，橫向加強知識間的聯(lián)系，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新精神，并且使學生的有效思維量加大，隨時對所學知識和方法產(chǎn)生有意注意，能力與知識的形成相伴而行，這樣的設(shè)計不但突出了重點，更使難點的突破水到渠成． 備選習題 1．寫出下列各圓的方程； (1)圓心在原點，半徑是3； 答案：x2＋y2＝9. (2)圓心在點C(3,4)，半徑是； 答案：(x－3)2＋(y－4)2＝5. 2．圓(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圓心和半徑分別是(　　) A．(2，－3)、 B．(2，－3)、2 C．(－2,3)、1 D．(－2,3)、 答案：A 3．點P(m2,5)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是(　　) A．在圓外 B．在圓內(nèi) C．在圓上 D．不確定 答案：A 4．直線x－2y－2k＝0與2x－y－k＝0的交點在圓x2＋y2＝25上，求k的值． 答案：5 5．圓(x－3)2＋(y＋4)2＝1關(guān)于直線x＋y＝0對稱的圓的方程是(　　) A．(x＋3)2＋(y－4)2＝1 B．(x－4)2＋(y＋3)2＝1 C．(x＋4)2＋(y－3)2＝1 D．(x－3)2＋(y－4)2＝1 解析：與圓心(3，－4)關(guān)于直線x＋y＝0對稱的點是(4，－3)，于是，與已知圓關(guān)于直線x＋y＝0對稱的圓的方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝1.選B. 答案：B 6．求下列圓的方程： (1)圓心在直線y＝－2x上且與直線y＝1－x相切于點(2，－1)； (2)圓心在點(2，－1)，且截直線y＝x－1所得弦長為2. 解：(1)設(shè)圓心坐標為(a，－2a)，由題意知圓與直線y＝1－x相切于點(2，－1)，所以＝，解得a＝1.所以所求圓心坐標為(1，－2)，半徑r＝＝.所以所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝2. (2)設(shè)圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)，由題意知圓心到直線y＝x－1的距離為d＝＝.又直線y＝x－1被圓截得弦長為2，所以r2－d2＝2，即r＝2.所以所求圓的標準方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝4.