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2019-2020年高三數(shù)學總復習 基本不等式教案 理 教材分析 “”的證明學生比較容易理解，學生難理解的是“當且僅當ａ＝ｂ時取‘＝’號”的真正數(shù)學內(nèi)涵，所謂“當且僅當”就是“充分必要”． 教學重點是定理及其應用，難點是利用定理求函數(shù)的最值問題，進而解決一些實際問題． 教學目標 1. 理解兩個實數(shù)的平方和不小于它們積的2倍這一重要不等式的證明，并能從幾何意義的角度去解釋，形成數(shù)形結(jié)合的完美統(tǒng)一． 2. 理解兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理的證明，及其幾何意義，會用這兩個重要不等式解決簡單的實際應用題． 3. 通過定理的證明培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，通過定理的應用揭示數(shù)學的應用價值． 任務分析 這節(jié)內(nèi)容從實際問題情境展開探討，“如要圍成面積為16ｍ2的一個矩形，所需繩子最短是多少？即設長為ｘ，寬為，則周長為l＝2ｘ＋2，求當ｘ取何值時，l最?。弊寣W生去猜測，去思考，充分調(diào)動學生的積極性，激發(fā)學生的想象和猜想能力．當學生猜想它應為正方形這一結(jié)論時，教師適時引導如何去證明猜想的正確性，激發(fā)學生的求知欲望，從而達到由問題到結(jié)論的證明，開闊學生的思路，陶冶學生的情操． 教學設計 一、問題情境 教師出示問題，引導學生分析、思考：某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為4800ｍ3，深為3ｍ．如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，怎樣設計水池能使總造價最低？最低總造價是多少元？ 二、建立模型 1. 通過比較ａ2＋ｂ2與2ａｂ的大小，引入重要不等式． ∵ａ2＋ｂ2－2ａｂ＝（ａ－ｂ）2， ∴當ａ≠ｂ時，（ａ－ｂ）2＞0； 當ａ＝ｂ時，（ａ－ｂ）2＝0． 即（ａ－ｂ）2≥0，從而有ａ2＋ｂ2≥2ａｂ． 2. 結(jié)論明晰 定理1　如果ａ，ｂ∈Ｒ，那么ａ2＋ｂ2≥2ａｂ（當且僅當ａ＝ｂ時，取“＝”號）． 思考：對于定理1和定理2，當且僅當ａ＝ｂ時取“＝”號的具體含義是什么？ 三、解釋應用 ［例　題］ 1. 已知ｘ，ｙ都是正數(shù)，求證： 小結(jié)；上述結(jié)論是我們用定理求最值的依據(jù)，可簡述為和為定值積最大，積為定值和最?。? 2. 設法解決本節(jié)課開始提出的問題． 因此，當水池的底面是邊長為40ｍ的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價為297600元． 3.0求證：在直徑為ｄ的圓內(nèi)接矩形中，面積最大的是正方形，并且這個正方形的面積等于ｄ2． 2. 設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840ｃｍ2，畫面的寬與高的比為λ（λ＜１），畫面的上、下各留8ｃｍ的空白，左、右各留5ｃｍ的空白．問：怎樣確定畫面的高與寬的尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最?。? 答：當畫面高為88ｃｍ、寬為55ｃｍ時，所用紙張面積最?。? 3. 用一段長為L（ｍ）的籬笆圍成一個邊靠墻的矩形菜園，問：當這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？ 上述兩種解答的答案不同，哪一種方法是錯誤的，為什么？ 四、拓展延伸 點　評 這篇案例由實際問題引入課題，既自然，又能引起學生的興趣，激發(fā)起學生的求知欲望，為本節(jié)重點的突破打下良好的基礎．由學生已有知識歸納和總結(jié)得到這節(jié)課的兩個定理，使學生易于理解和接受．由典型例題的證明，歸納出一般結(jié)論，培養(yǎng)了學生的邏輯推理能力．由練習的變形培養(yǎng)了學生靈活處理問題的能力．對實際問題的解決體現(xiàn)了數(shù)學的應用價值．重要不等式靈活變形的使用不僅加深了對推理的理解，同時突破了對本節(jié)難點“等號成立的條件”的理解．“拓展延伸”給學生以發(fā)揮的空間，啟發(fā)學生由已知到未知的探索能力． 總之，關(guān)注基本不等式與現(xiàn)實的聯(lián)系是這篇案例的突出特點，“問題驅(qū)動式”的設計是這篇案例成功的關(guān)鍵，而“從問題出發(fā)構(gòu)建模型，反過來，又利用建立的模型解決開始的問題”的設計又可以使學生領(lǐng)略到學習數(shù)學的成功和勝利喜悅．