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2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 等差數(shù)列教案 理 教材分析 等差數(shù)列是高中階段研究的兩種最常見的數(shù)列之一．這節(jié)內(nèi)容在一些具體實例的基礎(chǔ)上，歸納、抽象、概括出了等差數(shù)列的定義及其通項公式．教學(xué)重點是等差數(shù)例的定義及通項公式的發(fā)現(xiàn)過程及有關(guān)知識的應(yīng)用．教學(xué)難點是理解公式的實質(zhì)并加以靈活運用． 教學(xué)目標(biāo) 1. 理解等差數(shù)列的概念，掌握其通項公式及實質(zhì)并會熟練應(yīng)用． 2. 通過對等差數(shù)列概念及通項公式的歸納、抽象和概括，體驗等差數(shù)列概念的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象、概括能力． 3. 培養(yǎng)從特殊到一般，再從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想，并鍛煉學(xué)生歸納、猜想、論證的能力． 任務(wù)分析 這節(jié)課是在實例的基礎(chǔ)上，采用從特殊到一般，再從一般到特殊的思想，對此，學(xué)生接受起來并不太困難．對于等差數(shù)列的定義及通項公式的發(fā)現(xiàn)，要完全地放給學(xué)生自己討論，探究，以便于充分調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，使其充分體驗到成功的樂趣．對于通項公式，不要只看表面，更要看到公式的實質(zhì)———四個量之間的一個等量關(guān)系，以便于以后運用方程思想靈活解決有關(guān)問題． 教學(xué)設(shè)計 一、問題情景 在現(xiàn)實生活中，經(jīng)常會遇到下面的特殊數(shù)列． 1. 我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5個數(shù)一次，可以得到數(shù)列： 0.5， ______________ ， ______________ ， ______________ ， ______________ ，… 2. 水庫的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚．如果一個水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m，那么從開始放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位：m）： 18， ______________ ， ______________ ， ______________ ， ______________ ，5.5． 3. 我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計算下一期的利息．按照單利計算本利和的公式是： 本利和＝本金（1＋利率存期）． 例如，按活期存入10000元錢，年利率是0.72%，那么按照單利，5年內(nèi)各年末的本利和組成的數(shù)列是 ______________ ， ______________ ， ______________ ， ______________ ， ______________ ． 問題：上面的數(shù)列有什么共同特點？ 你能用數(shù)學(xué)語言（符號）描述這些特點嗎？ 二、建立模型 一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫作等差數(shù)列，這個常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，即ａn＋1－ａn＝d（n∈N＋）． ［問　題］ （1）如果三個數(shù)ａ，A，ｂ成等差數(shù)列，那么A叫ａ，ｂ的等差中項．你能用ａ，ｂ表示A嗎？ （2）你能猜想出問題情景中的3個數(shù)列各自的通項公式嗎？ （3）一般地，對于等差數(shù)列｛ａn｝，你能用基本量ａ1，ｄ來表示其通項嗎？ 解法1：歸納：ａ1＝ａ1，ａ2＝ａ1＋ｄ，ａ3＝ａ1＋2ｄ，…， ａn＝ａ1＋（ｎ－1）d． 解法2：累加：ａ2－ａ1＝ｄ，ａ3－ａ2＝ｄ，…，ａn－ａn-1＝ｄ，各式相加，得ａn－ａ1＝（ｎ－1）ｄ， ∴ａn＝ａ1＋（ｎ－1）ｄ． ［思　考］ （1）這個通項公式有何特點？是關(guān)于n的幾次式的形式？ｄ可以等0嗎？ （2）此公式中有幾個量？ ［結(jié)　論］ （1）等差數(shù)列通項公式是關(guān)于n的一次式的形式，ｎ的系數(shù)為ｄ．當(dāng)ｄ＝0時，該數(shù)列為常數(shù)列． （2）此公式中有四個量，即ａn，ａ1，ｎ，ｄ，知道其中任何三個可求另外一個，所以，通項公式實質(zhì)是四個量之間的關(guān)系． 三、解釋應(yīng)用 ［例　題］ 1. （1）求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項． （2）－401是不是等差數(shù)列－5，－9，－13，…的項？如果是，是第幾項？ 2. 某市出租車的計價標(biāo)準(zhǔn)為1.2元／千米，起步價為10元，即最初的4km（不含4km）計費10元．如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，須要支付多少車費？ 解：根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客須要支付1.2元．所以，可建立一個等差數(shù)列｛ａn｝來計算車費． 令ａ1＝11.2，表示4km處的車費，公差ｄ＝1.2．那么，當(dāng)出租車行至14km處時，ｎ＝11，此時須要支付車費ａ11＝11.2＋（11－1）1.2＝23.2（元）． 答：須要支付車費23.2元． 3. 已知數(shù)列｛ａn｝的通項公式為ａn＝pn＋ｑ，其中ｐ，ｑ為常數(shù)，且ｐ≠０，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？ 分析：判定｛ａn｝是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，也就是看ａn－ａn-1（ｎ＞1）是不是一個與ｎ無關(guān)的常數(shù)． 解：取數(shù)列｛ａn｝中的任意相鄰兩項ａn與ａn-1（ｎ＞1），求差，得 ａn－ａn-1＝（ｐｎ＋ｑ）－［ｐ（ｎ－１）＋ｑ］＝ ｐｎ＋ｑ－（ｐｎ－ｐ＋ｑ）＝ｐ． 它是一個與ｎ無關(guān)的數(shù)．所以｛ａn｝是等差數(shù)列． ［練　習(xí)］ 1. 在等差數(shù)列中， （1）已知ａ5＝－1，ａ8＝2，求ａ1與ｄ． （2）已知ａ1＋ａ6＝12，ａ4＝7，求ａ9． 2. 已知｛ａn｝是等差數(shù)列． （1）2ａ5＝ａ3＋ａ7是否成立？2ａ5＝ａ1＋ａ9是否成立？ （2）2ａn＝ａn－2＋ａn＋２（ｎ＞2）是否成立？2ａn＝ａn－k＋ａn＋k（ｎ＞ｋ＞0）是否成立？ 3. 已知數(shù)列｛ａn｝，｛bn｝的通項公式分別為ａn＝ａn＋2，bn＝bn＋1（ａ，ｂ是常數(shù)），且ａ＞ｂ，那么這兩個數(shù)列中的序號與數(shù)值均相等的項的個數(shù)有幾個？ 四、拓展延伸 （1）在直角坐標(biāo)系中，畫出通項公式為ａn＝3n－5的數(shù)列的圖像，并說出這個數(shù)列的圖像有什么特點．該圖像與ｙ＝3ｘ－5的圖像有什么關(guān)系？據(jù)此，你能得出一般性的結(jié)論嗎？ （2）通項公式的四個量中知道其中三個量可求另一個量，你能據(jù)此編出一些不同的題目嗎？ （3）對于兩個次數(shù)相同的等差數(shù)列｛ａn｝和｛bn｝，｛ａn＋bn｝，｛ａnbn｝，（ｂｎ≠0）是否為等差數(shù)列？ 點　評 教師能否調(diào)動學(xué)生的積極性和能否真正培養(yǎng)學(xué)生能力，提高課堂效率，很大程度上取決于教師能否設(shè)計出既符合教材要求又符合學(xué)生的認(rèn)知水平的問題．這節(jié)課正是通過恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計一系列問題，層層遞進(jìn)，使問題得到了全面解決，這樣不僅鍛煉了學(xué)生思維，培養(yǎng)了學(xué)生能力，而且也充分體現(xiàn)了新課程的理念． 值得一提的是，利用歸納的方式引導(dǎo)學(xué)生建立概念并及時在應(yīng)用中深化，是這篇案例的突出特點．