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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第01講 集合教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： 1．集合的含義與表示 （1）通過實(shí)例，了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系； （2）能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用； 2．集合間的基本關(guān)系 （1）理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集； （2）在具體情境中，了解全集與空集的含義； 3．集合的基本運(yùn)算 （1）理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡單集合的并集與交集； （2）理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集； （3）能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會(huì)直觀圖示對(duì)理解抽象概念的作用。 二．命題走向 有關(guān)集合的高考試題，考查重點(diǎn)是集合與集合之間的關(guān)系，近年試題加強(qiáng)了對(duì)集合的計(jì)算化簡的考查，并向無限集發(fā)展，考查抽象思維能力，在解決這些問題時(shí)，要注意利用幾何的直觀性，注意運(yùn)用Venn圖解題方法的訓(xùn)練，注意利用特殊值法解題，加強(qiáng)集合表示方法的轉(zhuǎn)換和化簡的訓(xùn)練?？荚囆问蕉嘁砸坏肋x擇題為主，分值5分。 預(yù)測xx年高考將繼續(xù)體現(xiàn)本章知識(shí)的工具作用，多以小題形式出現(xiàn)，也會(huì)滲透在解答題的表達(dá)之中，相對(duì)獨(dú)立。具體題型估計(jì)為： （1）題型是1個(gè)選擇題或1個(gè)填空題； （2）熱點(diǎn)是集合的基本概念、運(yùn)算和工具作用。 三．要點(diǎn)精講 1．集合：某些指定的對(duì)象集在一起成為集合。 （1）集合中的對(duì)象稱元素，若a是集合A的元素，記作；若b不是集合A的元素，記作； （2）集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無序性； 確定性：設(shè)A是一個(gè)給定的集合，x是某一個(gè)具體對(duì)象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立； 互異性：一個(gè)給定集合中的元素，指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體（對(duì)象），因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素； 無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同于元素的排列順序無關(guān)； （3）表示一個(gè)集合可用列舉法、描述法或圖示法； 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號(hào)內(nèi)； 描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào){}內(nèi)。 具體方法：在大括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征。 注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個(gè)元素時(shí)，不宜采用列舉法。 （4）常用數(shù)集及其記法： 非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N； 正整數(shù)集，記作N*或N+； 整數(shù)集，記作Z； 有理數(shù)集，記作Q； 實(shí)數(shù)集，記作R。 2．集合的包含關(guān)系： （1）集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集（或B包含A），記作AB（或）； 集合相等：構(gòu)成兩個(gè)集合的元素完全一樣。若AB且BA，則稱A等于B，記作A=B；若AB且A≠B，則稱A是B的真子集，記作A B； （2）簡單性質(zhì)：1）AA；2）A；3）若AB，BC，則AC；4）若集合A是n個(gè)元素的集合，則集合A有2n個(gè)子集（其中2n－1個(gè)真子集）； 3．全集與補(bǔ)集： （1）包含了我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素的集合稱為全集，記作U； （2）若S是一個(gè)集合，AS，則，=稱S中子集A的補(bǔ)集； （3）簡單性質(zhì)：1）()=A；2）S=，=S。 4．交集與并集： （1）一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集。交集。 （2）一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集。。 注意：求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時(shí)，常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法。 5．集合的簡單性質(zhì)： （1） （2） （3） （4）； （5）（A∩B）=（A）∪（B），（A∪B）=（A）∩（B）。 四．典例解析 題型1：集合的概念 例1．設(shè)集合，若，則下列關(guān)系正確的是（ ） A． B． C． D． 解：由于中只能取到所有的奇數(shù)，而中18為偶數(shù)。則。選項(xiàng)為D； 點(diǎn)評(píng)：該題考察了元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系。首先應(yīng)該分清楚元素與集合之間是屬于與不屬于的關(guān)系，而集合之間是包含與不包含的關(guān)系。 例2．設(shè)集合P={m|－1＜m≤0，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則下列關(guān)系中成立的是（ ） A．PQ B．QP C．P=Q D．P∩Q=Q 解：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立＝，對(duì)m分類： ①m=0時(shí)，－4＜0恒成立； ②m＜0時(shí)，需Δ=（4m）2－4m（－4）＜0，解得m＜0。 綜合①②知m≤0， ∴Q={m∈R|m≤0}。 答案為A。 點(diǎn)評(píng)：該題考察了集合間的關(guān)系，同時(shí)考察了分類討論的思想。集合中含有參數(shù)m，需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，不能忽略m=0的情況。 題型2：集合的性質(zhì) 例3．（xx廣東，1）已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的個(gè)數(shù)是（ ） A．15 B．16 C．3 D．4 解：根據(jù)子集的計(jì)算應(yīng)有24－1=15（個(gè)）。選項(xiàng)為A； 點(diǎn)評(píng)：該題考察集合子集個(gè)數(shù)公式。注意求真子集時(shí)千萬不要忘記空集是任何非空集合的真子集。同時(shí)，A不是A的真子集。 變式題：同時(shí)滿足條件：①②若，這樣的集合M有多少個(gè)，舉出這些集合來。 答案：這樣的集合M有8個(gè)。 例4．已知全集，A={1,}如果，則這樣的實(shí)數(shù)是否存在？若存在，求出，若不存在，說明理由。 解：∵； ∴，即＝0，解得 當(dāng)時(shí)，，為A中元素； 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ∴這樣的實(shí)數(shù)x存在，是或。 另法：∵ ∴， ∴＝0且 ∴或。 點(diǎn)評(píng)：該題考察了集合間的關(guān)系以及集合的性質(zhì)。分類討論的過程中“當(dāng)時(shí)，”不能滿足集合中元素的互異性。此題的關(guān)鍵是理解符號(hào)是兩層含義：。 變式題：已知集合，,,求的值。 解：由可知， （1），或（2） 解（1）得， 解（2）得， 又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，與題意不符， 所以，。 題型3：集合的運(yùn)算 例5．（06全國Ⅱ理，2）已知集合M＝｛x|x＜3，N＝｛x|log2x＞1｝，則M∩N＝（ ） A． B．｛x|0＜x＜3 C．｛x|1＜x＜3 D．｛x|2＜x＜3 解：由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，且2>1，顯然由易得。從而。故選項(xiàng)為D。 點(diǎn)評(píng)：該題考察了不等式和集合交運(yùn)算。 例6．（06安徽理，1）設(shè)集合，，則等于（ ） A． B． C． D． 解：，，所以，故選B。 點(diǎn)評(píng)：該題考察了集合的交、補(bǔ)運(yùn)算。 題型4：圖解法解集合問題 例7．（xx上海春，5）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，則實(shí)數(shù)a圖 的取值范圍是____ _。 解：∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又AB，利用數(shù)軸上覆蓋關(guān)系：如圖所示，因此有a≤－2。 點(diǎn)評(píng)：本題利用數(shù)軸解決了集合的概念和集合的關(guān)系問題。 例8．（1996全國理，1）已知全集I＝N*，集合A＝｛x｜x＝2n，n∈N*｝，B＝｛x｜x＝4n，n∈N｝，則（ ） A．I＝A∪B B．I＝（A）∪B C．I＝A∪（B ） D．I＝（A）∪（B） 解：方法一：A中元素是非2的倍數(shù)的自然數(shù)，B中元素是非4的倍數(shù)的自然數(shù)，顯然，只有Ｃ選項(xiàng)正確. 圖 方法二：因A＝｛2，4，6，8…｝，B＝｛4，8，12，16，…｝，所以B＝｛1，2，3，5，6，7，9…｝，所以I＝A∪B，故答案為Ｃ. 方法三：因BA，所以（）A（）B，（）A∩（B）＝A，故I＝A∪（A）＝A∪（B）。 方法四：根據(jù)題意，我們畫出Venn圖來解，易知BA，如圖：可以清楚看到I=A∪（B）是成立的。 點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)集合概念和關(guān)系的理解和掌握，注意數(shù)形結(jié)合的思想方法，用無限集考查，提高了對(duì)邏輯思維能力的要求。 題型5：集合的應(yīng)用 例9．向50名學(xué)生調(diào)查對(duì)A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果 贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對(duì)A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人。問對(duì)A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？ 解：贊成A的人數(shù)為50=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成事件A的學(xué)生全體為集合A；贊成事件B的學(xué)生全體為集合B。 設(shè)對(duì)事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,則對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30－x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33－x。依題意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以對(duì)A、B都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人。 點(diǎn)評(píng)：在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實(shí)掌握。本題主要強(qiáng)化學(xué)生的這種能力。解答本題的閃光點(diǎn)是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來。本題難點(diǎn)在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯(cuò)綜復(fù)雜，一時(shí)理不清頭緒，不好找線索。畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系。 例10．求1到200這200個(gè)數(shù)中既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)的自然數(shù)共有多少個(gè)？ 解：如圖先畫出Venn圖，不難看出不符合條件 的數(shù)共有（2002）＋（2003）＋(2005) －(20010)－(2006)－(20015) ＋(20030)＝146 所以，符合條件的數(shù)共有200－146＝54（個(gè)） 點(diǎn)評(píng)：分析200個(gè)數(shù)分為兩類，即滿足題設(shè)條件的和不滿足題設(shè)條件的兩大類，而不滿足條件的這一類標(biāo)準(zhǔn)明確而簡單，可考慮用扣除法。 題型7：集合綜合題 例11．（xx上海，17）設(shè)集合A={x||x－a|<2}，B={x|<1}，若AB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 解：由|x－a|<2，得a－20, >0，這時(shí)集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正，另外，由于a1=1≠0 如果A∩B≠，那么據(jù)(2)的結(jié)論，A∩B中至多有一個(gè)元素(x0,y0),而x0=＜0,y0=＜0，這樣的(x0,y0)A,產(chǎn)生矛盾，故a1=1,d=1時(shí)A∩B=，所以a1≠0時(shí)，一定有A∩B≠是不正確的。 點(diǎn)評(píng)：該題融合了集合、數(shù)列、直線方程的知識(shí)，屬于知識(shí)交匯題。 變式題：解答下述問題： （Ⅰ）設(shè)集合，,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 分析：關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解 的具體意義，首先要從數(shù)學(xué)意義上解釋 的意義，然后才能提出解決問題的具體方法。 解： 的取值范圍是UM={m|m<-2}. （解法三）設(shè)這是開口向上的拋物線，，則二次函數(shù)性質(zhì)知命題又等價(jià)于 注意，在解法三中，f(x)的對(duì)稱軸的位置起了關(guān)鍵作用，否則解答沒有這么簡單。 （Ⅱ）已知兩個(gè)正整數(shù)集合A={a1,a2,a3,a4}, 、B. 分析：命題中的集合是列舉法給出的，只需要根據(jù)“交、并”的意義及元素的基本性質(zhì)解決，注意“正整數(shù)”這個(gè)條件的運(yùn)用， （Ⅲ） 分析：正確理解 要使, 由 當(dāng)k=0時(shí)，方程有解,不合題意； 當(dāng)① 又由 由②， 由①、②得 ∵b為自然數(shù)，∴b=2，代入①、②得k=1 點(diǎn)評(píng)：這是一組關(guān)于集合的“交、并”的常規(guī)問題，解決這些問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解問題條件的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，才能由此尋求解決的方法。 題型6：課標(biāo)創(chuàng)新題 例13．七名學(xué)生排成一排，甲不站在最左端和最右端的兩個(gè)位置之一，乙、丙都不能站在正中間的位置，則有多少不同的排法？ 解：設(shè)集合A={甲站在最左端的位置}， B={甲站在最右端的位置}， C={乙站在正中間的位置}， D={丙站在正中間的位置}， 則集合A、B、C、D的關(guān)系如圖所示， ∴不同的排法有種. 點(diǎn)評(píng)：這是一道排列應(yīng)用問題，如果直接分類、分步解答需要一定的基本功，容易錯(cuò)，若考慮運(yùn)用集合思想解答，則比較容易理解。上面的例子說明了集合思想的一些應(yīng)用，在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)注意總結(jié)集合應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)。 例14．A是由定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：①對(duì)任意，都有 ； ②存在常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有 （1）設(shè)，證明： （2）設(shè),如果存在,使得,那么這樣的是唯一的; （3）設(shè),任取,令證明:給定正整數(shù)k,對(duì)任意的正整數(shù)p,成立不等式。 解： 對(duì)任意,,,,所以 對(duì)任意的， ， ， 所以0<, 令=， ， 所以 反證法：設(shè)存在兩個(gè)使得,。 則由， 得，所以，矛盾，故結(jié)論成立。 ， 所以 +… 。 點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的概念是在集合理論上發(fā)展起來的，而此題又將函數(shù)的性質(zhì)融合在集合的關(guān)系當(dāng)中，題目比較新穎。 五．思維總結(jié) 集合知識(shí)可以使我們更好地理解數(shù)學(xué)中廣泛使用的集合語言，并用集合語言表達(dá)數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用集合觀點(diǎn)去研究和解決數(shù)學(xué)問題。 1．學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)能力是準(zhǔn)確描述集合中的元素，熟練運(yùn)用集合的各種符號(hào)，如、、、、=、A、∪，∩等等； 2．強(qiáng)化對(duì)集合與集合關(guān)系題目的訓(xùn)練，理解集合中代表元素的真正意義，注意利用幾何直觀性研究問題，注意運(yùn)用Venn圖解題方法的訓(xùn)練，加強(qiáng)兩種集合表示方法轉(zhuǎn)換和化簡訓(xùn)練；解決集合有關(guān)問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解集合所描述的具體內(nèi)容（即讀懂問題中的集合）以及各個(gè)集合之間的關(guān)系，常常根據(jù)“Venn圖”來加深對(duì)集合的理解，一個(gè)集合能化簡（或求解），一般應(yīng)考慮先化簡（或求解）； 3．確定集合的“包含關(guān)系”與求集合的“交、并、補(bǔ)”是學(xué)習(xí)集合的中心內(nèi)容，解決問題時(shí)應(yīng)根據(jù)問題所涉及的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容來尋求方法。 ① 區(qū)別∈與、與、a與{a}、φ與{φ}、{(1,2)}與{1,2}； ② AB時(shí)，A有兩種情況：A＝φ與A≠φ。 ③若集合A中有n個(gè)元素，則集合A的所有不同的子集個(gè)數(shù)為，所有真子集的個(gè)數(shù)是－1, 所有非空真子集的個(gè)數(shù)是。 ④區(qū)分集合中元素的形式： 如； ； ； ； ； ； 。 ⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的區(qū)別；0與三者間的關(guān)系?？占侨魏渭系淖蛹?，是任何非空集合的真子集。條件為，在討論的時(shí)候不要遺忘了的情況。 ⑥符號(hào)“”是表示元素與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)點(diǎn)與直線（面）的關(guān)系 ；符號(hào)“”是表示集合與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)面與直線(面)的關(guān)系。 邏輯是研究思維形式及其規(guī)律的一門學(xué)科，是人們認(rèn)識(shí)和研究問題不可缺少的工具，是為了培養(yǎng)學(xué)生的推理技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力。