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2019-2020年高中數(shù)學 第一章 集合與函數(shù)概念 第1節(jié) 集合（2）教案 新人教A版必修1 教學分析　　　　　 課本從學生熟悉的集合(自然數(shù)的集合、有理數(shù)的集合等)出發(fā)，通過類比實數(shù)間的大小關(guān)系引入集合間的關(guān)系，同時，結(jié)合相關(guān)內(nèi)容介紹子集等概念．在安排這部分內(nèi)容時，課本注重體現(xiàn)邏輯思考的方法，如類比等． 值得注意的問題：在集合間的關(guān)系教學中，建議重視使用Venn圖，這有助于學生通過體會直觀圖示來理解抽象概念；隨著學習的深入，集合符號越來越多，建議教學時引導學生區(qū)分一些容易混淆的關(guān)系和符號，例如∈與?的區(qū)別． 三維目標　　　　　 1．理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集，能判斷給定集合間的關(guān)系，提高利用類比發(fā)現(xiàn)新結(jié)論的能力． 2．在具體情境中，了解空集的含義，掌握并能使用Venn圖表達集合的關(guān)系，加強學生從具體到抽象的思維能力，樹立數(shù)形結(jié)合的思想． 重點難點　　　　　 教學重點：理解集合間包含與相等的含義． 教學難點：理解空集的含義． 課時安排　　　　　 1課時 導入新課　　　　　 思路1.實數(shù)有相等、大小關(guān)系，如5＝5,5<7,5>3等等，類比實數(shù)之間的關(guān)系，你會想到集合之間有什么關(guān)系呢？(讓學生自由發(fā)言，教師不要急于作出判斷，而是繼續(xù)引導學生)欲知誰正確，讓我們一起來觀察、研探． 思路2.復習元素與集合的關(guān)系——屬于與不屬于的關(guān)系，填空：(1)0____N；(2)____Q；(3)－1.5____R. 類比實數(shù)的大小關(guān)系，如5<7,2≤2，試想集合間是否有類似的“大小”關(guān)系呢？ (答案：(1)∈；(2)?；(3)∈) 推進新課　　　　　 (1)觀察下面幾個例子： ①A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5} ②設A為國興中學高一(3)班男生的全體組成的集合，B為這個班學生的全體組成的集合； ③設C＝{x|x是兩條邊相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}； ④E＝{2,4,6}，F(xiàn)＝{6,4,2}． 你能發(fā)現(xiàn)兩個集合間有什么關(guān)系嗎？ (2)例子①中集合A是集合B的子集，例子④中集合E是集合F的子集，同樣是子集，有什么區(qū)別？ (3)結(jié)合例子④，類比實數(shù)中的結(jié)論：“若a≤b，且b≤a，則a＝b”，在集合中，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？ (4)升國旗時，每個班的同學都聚集在一起站在旗桿附近指定的區(qū)域內(nèi)，從樓頂向下看，每位同學是哪個班的，一目了然．試想一下，根據(jù)從樓頂向下看到的，要想直觀表示集合，聯(lián)想集合還能用什么表示？ (5)試用Venn圖表示例子①中集合A和集合B. (6)已知A?B，試用Venn圖表示集合A和B的關(guān)系． (7)任何方程的解都能組成集合，那么x2＋1＝0的實數(shù)根也能組成集合，你能用Venn圖表示這個集合嗎？ (8)一座房子內(nèi)沒有任何東西，我們稱為這座房子是空房子，那么一個集合沒有任何元素，應該如何命名呢？ (9)與實數(shù)中的結(jié)論“若a≥b，且b≥c，則a≥c”相類比，在集合中，你能得出什么結(jié)論？ 活動：教師從以下方面引導學生： (1)觀察兩個集合間元素的特點． (2)從它們含有的元素間的關(guān)系來考慮．規(guī)定：如果A?B，但存在x∈B，且x?A，我們稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)． (3)實數(shù)中的“≤”類比集合中的?. (4)把指定位置看成是由封閉曲線圍成的，學生看成集合中的元素，從樓頂看到的就是把集合中的元素放在封閉曲線內(nèi)．教師指出：為了直觀地表示集合間的關(guān)系，我們常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖． (5)封閉曲線可以是矩形也可以是橢圓等等，沒有限制． (6)分類討論：當A?B時，AB或A＝B. (7)方程x2＋1＝0沒有實數(shù)解． (8)空集記為?，并規(guī)定：空集是任何集合的子集，即??A；空集是任何非空集合的真子集，即?A(A≠?)． (9)類比子集． 討論結(jié)果：(1)①集合A中的元素都在集合B中；②集合A中的元素都在集合B中；③集合C中的元素都在集合D中；④集合E中的元素都在集合F中．可以發(fā)現(xiàn)：對于任意兩個集合A，B有下列關(guān)系：集合A中的元素都在集合B中；或集合B中的元素都在集合A中． (2)例子①中A?B，但有一個元素4∈B，且4?A；而例子④中集合E和集合F中的元素完全相同． (3)若A?B，且B?A，則A＝B. (4)可以把集合中元素寫在一個封閉曲線的內(nèi)部來表示集合． (5)如圖1所示表示集合A，如圖2所示表示集合B. 圖1 圖2 (6)如圖3和圖4所示． 圖3 圖4 (7)不能．因為方程x2＋1＝0沒有實數(shù)解． (8)空集． (9)若A?B，B?C，則A?C；若AB，BC，則AC. 思路1 例1 某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在重量和長度上都合格時，該產(chǎn)品才合格．若用A表示合格產(chǎn)品的集合，B表示重量合格的產(chǎn)品的集合，C表示長度合格的產(chǎn)品的集合．已知集合A，B，C均不是空集． (1)則下列包含關(guān)系哪些成立？ A?B，B?A，A?C，C?A. (2)試用Venn圖表示集合A，B，C間的關(guān)系． 活動：學生思考集合間的關(guān)系以及Venn圖的表示形式．當集合A中的元素都屬于集合B時，則A?B成立，否則A?B不成立．用相同的方法判斷其他包含關(guān)系是否成立．教師提示學生注意以下兩點： (1)重量合格的產(chǎn)品不一定是合格產(chǎn)品，但合格的產(chǎn)品一定重量合格； 長度合格的產(chǎn)品不一定是合格產(chǎn)品，但合格的產(chǎn)品一定長度合格． (2)根據(jù)集合A，B，C間的關(guān)系來畫出Venn圖． 解：(1)包含關(guān)系成立的有：A?B，A?C. (2)集合A，B，C間的關(guān)系用Venn圖表示，如圖5所示． 圖5 變式訓練 　 課本本節(jié)練習，3. 點評：本題主要考查集合間的包含關(guān)系．其關(guān)鍵是首先明確兩集合中的元素具體是什么． 判斷兩個集合A，B之間是否有包含關(guān)系的步驟是：先明確集合A，B中的元素，再分析集合A，B中的元素之間的關(guān)系，得：集合A中的元素都屬于集合B時，有A?B；當集合A中的元素都屬于集合B，集合B中至少有一個元素不屬于集合A時，有AB；當集合A中的元素都屬于集合B，并且集合B中的元素也都屬于集合A時，有A＝B；當集合A中至少有一個元素不屬于集合B，并且集合B中至少有一個元素也不屬于集合A時，有AB，且BA，即集合A，B互不包含. 例2 寫出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集． 活動：學生思考子集和真子集的定義，教師提示學生空集是任何集合的子集，一個集合不是其本身的真子集．按集合{a，b}的子集所含元素的個數(shù)分類討論． 解：集合{a，b}的所有子集為?，{a}，，{a，b}．真子集為?，{a}，. 變式訓練 已知集合P＝{1,2}，那么滿足Q?P的集合Q的個數(shù)是(　　) A．4　　　　　　B．3　　　　　　C．2　　　　　　D．1 解析：集合P＝{1,2}含有2個元素，其子集有22＝4個，又集合Q?P，所以集合Q有4個． 答案：A 點評：本題主要考查子集和真子集的概念，以及分類討論的思想．通常按子集中所含元素的個數(shù)來寫出一個集合的所有子集，這樣可以避免重復和遺漏． 思考：集合A中含有n個元素，那么集合A有多少個子集？多少個真子集？ 解：當n＝0時，即空集的子集為?，即子集的個數(shù)是1＝20；當n＝1時，即含有一個元素的集合如{a}的子集為?，{a}，即子集的個數(shù)是2＝21；當n＝2時，即含有一個元素的集合如{a，b}的子集為?，{a}，，{a，b}，即子集的個數(shù)是4＝22.… 集合A中含有n個元素，那么集合A有2n個子集，由于一個集合不是其本身的真子集，所以集合A有(2n－1)個真子集. 思路2 例1 已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B?A，則實數(shù)m＝________. 活動：先讓學生思考B?A的含義，根據(jù)B?A，知集合B中的元素都屬于集合A，由集合元素的互異性，列出方程求實數(shù)m的值．因為B?A，所以3∈A，m2∈A.對m2的值分類討論． 解析：∵B?A，∴3∈A，m2∈A.∴m2＝－1(舍去)或m2＝2m－1.解得m＝1.∴m＝1. 答案：1 點評：本題主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互異性．本題容易出現(xiàn)m2＝3，其原因是忽視了集合元素的互異性．避免此類錯誤的方法是解得m的值后，再代入驗證． 討論兩集合之間的關(guān)系時，通常依據(jù)相關(guān)的定義，觀察這兩個集合元素的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式. 變式訓練 已知集合M＝{x|2－x<0}，集合N＝{x|ax＝1}，若NM，求實數(shù)a的取值范圍． 分析：集合N是關(guān)于x的方程ax＝1的解集，集合M＝{x|x>2}≠?，由于NM，則N＝?或N≠?，要對集合N是否為空集分類討論． 解：由題意得M＝{x|x>2}≠?，則N＝?或N≠?.當N＝?時，關(guān)于x的方程ax＝1無解，則有a＝0；當N≠?時，關(guān)于x的方程ax＝1有解，則a≠0，此時x＝，又∵NM，∴∈M.∴>2.∴03時，B不是A的子集．綜上可知，當1≤a≤3時，B是A的子集． 由于集合B最多只有兩個元素，而集合A有無數(shù)個元素，故不存在實數(shù)a，使B＝A. 點評：分類討論思想，就是科學合理地劃分類別，通過“各個擊破”，再求整體解決(即先化整為零，再聚零為整)的策略思想．類別的劃分必須滿足互斥、無漏、最簡的要求，探索劃分的數(shù)量界限是分類討論的關(guān)鍵． [思考] (1)空集中沒有元素，怎么還是集合？(2)符號“∈”和“?”有什么區(qū)別？ 剖析：(1)疑點是總是對空集這個概念迷惑不解，并產(chǎn)生懷疑的想法．產(chǎn)生這種想法的原因是沒有了解建立空集這個概念的背景，其突破方法是通過實例來體會．例如，根據(jù)集合元素的性質(zhì)，方程的解能夠組成集合，這個集合叫做方程的解集．對于＝0，x2＋4＝0等方程來說，它們的解集中沒有元素．也就是說確實存在沒有任何元素的集合，那么如何用數(shù)學符號來刻畫沒有元素的集合呢？為此引進了空集的概念，把不含任何元素的集合叫做空集．這就是建立空集這個概念的背景．由此看出，空集的概念是一個規(guī)定．又例如，不等式|x|<0的解集也是不含任何元素，就稱不等式|x|<0的解集是空集． (2)難點是經(jīng)常把這兩個符號混淆，其突破方法是準確把握這兩個符號的含義及其應用范圍，并加以對比．符號∈只能適用于元素與集合之間，其左邊只能寫元素，其右邊只能寫集合，說明左邊的元素屬于右邊的集合，表示元素與集合之間的關(guān)系，如－1∈Z，?Z；符號?只能適用于集合與集合之間，其左右兩邊都必須寫集合，說明左邊的集合是右邊集合的子集，表示集合與集合之間的關(guān)系，如{1}?{1,0}，??{x|x<0}．