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2019-2020年高中數(shù)學 1.2《空間幾何體的三視圖和直觀圖》教案 新人教版必修2 教學分析 在上一節(jié)認識空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，本節(jié)來學習空間幾何體的表示形式，以進一步提高對空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的認識.主要內(nèi)容是：畫出空間幾何體的三視圖. 比較準確地畫出幾何圖形，是學好立體幾何的一個前提.因此，本節(jié)內(nèi)容是立體幾何的基礎(chǔ)之一，教學中應當給以充分的重視. 畫三視圖是立體幾何中的基本技能，同時，通過三視圖的學習，可以豐富學生的空間想象力.“視圖”是將物體按正投影法向投影面投射時所得到的投影圖.光線自物體的前面向后投影所得的投影圖稱為“正視圖”，自左向右投影所得的投影圖稱為“側(cè)視圖”，自上向下投影所得的投影圖稱為“俯視圖”.用這三種視圖即可刻畫空間物體的幾何結(jié)構(gòu)，這種圖稱之為“三視圖”. 教科書從復習初中學過的正方體、長方體……的三視圖出發(fā)，要求學生自己畫出球、長方體的三視圖；接著，通過“思考”提出了“由三視圖想象幾何體”的學習任務.進行幾何體與其三視圖之間的相互轉(zhuǎn)化是高中階段的新任務，這是提高學生空間想象力的需要，應當作為教學的一個重點. 三視圖的教學，主要應當通過學生自己的親身實踐，動手作圖來完成.因此，教科書主要通過提出問題，引導學生自己動手作圖來展示教學內(nèi)容.教學中，教師可以通過提出問題，讓學生在動手實踐的過程中學會三視圖的作法，體會三視圖的作用.對于簡單幾何體的組合體，在作三視圖之前應當提醒學生細心觀察，認識了它的基本結(jié)構(gòu)特征后，再動手作圖.教材中的“探究”可以作為作業(yè)，讓學生在課外完成后，再把自己的作品帶到課堂上來展示交流. 值得注意的問題是三視圖的教學，主要應當通過學生自己的親身實踐、動手作圖來完成.另外，教學中還可以借助于信息技術(shù)向?qū)W生多展示一些圖片，讓學生辨析它們是平行投影下的圖形還是中心投影下的圖形. 三維目標 1.掌握平行投影和中心投影，了解空間圖形的不同表示形式和相互轉(zhuǎn)化，發(fā)展學生的空間想象能力，培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想方法. 2.能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，并能識別上述三視圖表示的立體模型，會用材料（如紙板）制作模型，提高學生識圖和畫圖的能力，培養(yǎng)其探究精神和意識. 重點難點 教學重點：畫出簡單組合體的三視圖，給出三視圖和直觀圖，還原或想象出原實際圖的結(jié)構(gòu)特征. 教學難點：識別三視圖所表示的幾何體. 課時安排 1課時 教學過程 導入新課 思路1.能否熟練畫出上節(jié)所學習的幾何體？工程師如何制作工程設(shè)計圖紙？ 我們常用三視圖和直觀圖表示空間幾何體，三視圖是觀察者從三個不同位置觀察同一個幾何體而畫出的圖形；直觀圖是觀察者站在某一點觀察幾何體而畫出的圖形.三視圖和直觀圖在工程建設(shè)、機械制造以及日常生活中具有重要意義.本節(jié)我們將在學習投影知識的基礎(chǔ)上，學習空間幾何體的三視圖. 教師指出課題：投影和三視圖. 思路2. “橫看成嶺側(cè)成峰”，這說明從不同的角度看同一物體視覺的效果可能不同，要比較真實地反映出物體的結(jié)構(gòu)特征，我們可從多角度觀看物體，這堂課我們主要學習空間幾何體的三視圖.在初中，我們已經(jīng)學習了正方體、長方體、圓柱、圓錐、球的三視圖（正視圖、側(cè)視圖、俯視圖），你能畫出空間幾何體的三視圖嗎？教師點出課題：投影和三視圖. 推進新課 新知探究 提出問題 ①如圖1所示的五個圖片是我國民間藝術(shù)皮影戲中的部分片斷，請同學們考慮它們是怎樣得到的? 圖1 ②通過觀察和自己的認識,你是怎樣來理解投影的含義的? ③請同學們觀察圖2的投影過程，它們的投影過程有什么不同？ [ 圖2 ④圖2（2）（3）都是平行投影，它們有什么區(qū)別？ ⑤觀察圖3，與投影面平行的平面圖形，分別在平行投影和中心投影下的影子和原圖形的形狀、大小有什么區(qū)別？ 圖3 活動：①教師介紹中國的民間藝術(shù)皮影戲，學生觀察圖片. ②從投影的形成過程來定義. ③從投影方向上來區(qū)別這三種投影. ④根據(jù)投影線與投影面是否垂直來區(qū)別. ⑤觀察圖3并歸納總結(jié)它們各自的特點. 討論結(jié)果：①這種現(xiàn)象我們把它稱為是投影. ②由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個物體的影子，這種現(xiàn)象叫做投影.其中，我們把光線叫做投影線，把留下物體影子的屏幕叫做投影幕. ③圖2（1）的投影線交于一點，我們把光由一點向外散射形成的投影稱為中心投影；圖2（2）和（3）的投影線平行，我們把在一束平行光線照射下形成投影稱為平行投影. ④圖2（2）中，投影線正對著投影面，這種平行投影稱為正投影；圖2（3）中，投影線不是正對著投影面，這種平行投影稱為斜投影. ⑤在平行投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子和原平面圖形是全等的平面圖形；在中心投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子和原平面圖形是相似的平面圖形.以后我們用正投影的方法來畫出空間幾何體的三視圖和直觀圖. 知識歸納：投影的分類如圖4所示. 圖4 提出問題 ①在初中，我們已經(jīng)學習了正方體、長方體、圓柱、圓錐、球的三視圖，請你回憶三視圖包含哪些部分？ ②正視圖、側(cè)視圖和俯視圖各是如何得到的？ ③一般地，怎樣排列三視圖？ ④正視圖、側(cè)視圖和俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方和正上方觀察到的幾何體的正投影圖，它們都是平面圖形.觀察長方體的三視圖，你能得出同一個幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖在形狀、大小方面的關(guān)系嗎？ 討論結(jié)果：①三視圖包含正視圖、側(cè)視圖和俯視圖. ②光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖叫該幾何體的正視圖（又稱主視圖）；光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖叫該幾何體的側(cè)視圖（又稱左視圖）；光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖叫該幾何體的俯視圖. ③三視圖的位置關(guān)系：一般地，側(cè)視圖在正視圖的右邊；俯視圖在正視圖的下邊.如圖5所示. 圖5 ④投影規(guī)律： （1）正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度； 俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度； 側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度. （2）一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖高度一樣，正視圖和俯視圖長度一樣，側(cè)視圖和俯視圖寬度一樣，即正、俯視圖——長對正；主、側(cè)視圖——高平齊；俯、側(cè)視圖——寬相等. 畫組合體的三視圖時要注意的問題： （1）要確定好主視、側(cè)視、俯視的方向，同一物體三視的方向不同，所畫的三視圖可能不同. （2）判斷簡單組合體的三視圖是由哪幾個基本幾何體生成的，注意它們的生成方式，特別是它們的交線位置. （3）若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，不可見輪廓線，用虛線畫出. （4）要檢驗畫出的三視圖是否符合“長對正、高平齊、寬相等”的基本特征，即正、俯視圖長對正；正、側(cè)視圖高平齊；俯、側(cè)視圖寬相等，前后對應. 由三視圖還原為實物圖時要注意的問題： 我們由實物圖可以畫出它的三視圖，實際生產(chǎn)中，工人要根據(jù)三視圖加工零件，需要由三視圖還原成實物圖，這要求我們能由三視圖想象它的空間實物形狀，主要通過主、俯、左視圖的輪廓線（或補充后的輪廓線）還原成常見的幾何體，還原實物圖時，要先從三視圖中初步判斷簡單組合體的組成，然后利用輪廓線（特別要注意虛線）逐步作出實物圖. 應用示例 思路1 例1 畫出圓柱和圓錐的三視圖. 活動：學生回顧正投影和三視圖的畫法，教師引導學生自己完成. 解：圖6（1）是圓柱的三視圖，圖6（2）是圓錐的三視圖. (1) (2) 圖6 點評：本題主要考查簡單幾何體的三視圖和空間想象能力.有關(guān)三視圖的題目往往依賴于豐富的空間想象能力.要做到邊想著幾何體的實物圖邊畫著三視圖，做到想圖（幾何體的實物圖）和畫圖（三視圖）相結(jié)合. 變式訓練 說出下列圖7中兩個三視圖分別表示的幾何體. (1) (2) 圖7 答案：圖7（1）是正六棱錐；圖7（2）是兩個相同的圓臺組成的組合體. 例2 試畫出圖8所示的礦泉水瓶的三視圖. 活動：引導學生認識這種容器的結(jié)構(gòu)特征.礦泉水瓶是我們熟悉的一種容器，這種容器是簡單的組合體，其主要結(jié)構(gòu)特征是從上往下分別是圓柱、圓臺和圓柱. 圖8 圖9 解：三視圖如圖9所示. 點評：本題主要考查簡單組合體的三視圖.對于簡單空間幾何體的組合體，一定要認真觀察，先認識它的基本結(jié)構(gòu)，然后再畫它的三視圖. 變式訓練 畫出圖10所示的幾何體的三視圖. 圖10 圖11 答案：三視圖如圖11所示. 思路2 例1 （xx安徽淮南高三第一次模擬，文16）如圖12甲所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、C1D1的中點，G是正方形BCC1B1的中心，則四邊形AGFE在該正方體的各個面上的投影可能是圖12乙中的____________. 甲 乙 圖12 活動：要畫出四邊形AGFE在該正方體的各個面上的投影，只需畫出四個頂點A、G、F、E在每個面上的投影，再順次連接即得到在該面上的投影，并且在兩個平行平面上的投影是相同的. 分析：在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是圖12乙（1）；在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是圖12乙（2）；在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是圖12乙（3）. 答案：（1）（2）（3） 點評：本題主要考查平行投影和空間想象能力.畫出一個圖形在一個平面上的投影的關(guān)鍵是確定該圖形的關(guān)鍵點，如頂點等，畫出這些關(guān)鍵點的投影，再依次連接即可得此圖形在該平面上的投影.如果對平行投影理解不充分，做該類題目容易出現(xiàn)不知所措的情形，避免出現(xiàn)這種情況的方法是依據(jù)平行投影的含義，借助于空間想象來完成. 變式訓練 如圖13(1)所示，E、F分別為正方體面ADD′A′、面BCC′B′的中心，則四邊形BFD′E在該正方體的各個面上的投影可能是圖13(2)的___________. (1) (2) 圖13 分析：四邊形BFD′E在正方體ABCD—A′B′C′D′的面ADD′A′、面BCC′B′上的投影是C；在面DCC′D′上的投影是B；同理，在面ABB′A′、面ABCD、面A′B′C′D′上的投影也全是B. 答案：B C 例2 （xx廣東惠州第二次調(diào)研，文2）如圖14所示，甲、乙、丙是三個立體圖形的三視圖，甲、乙、丙對應的標號正確的是（ ） 甲 乙 丙 圖14 ①長方體 ②圓錐 ③三棱錐 ④圓柱 A.④③② B.②①③ C.①②③ D.③②④ 分析：由于甲的俯視圖是圓，則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體，又因正視圖和側(cè)視圖均是矩形，則甲是圓柱；由于乙的俯視圖是三角形，則該幾何體是多面體，又因正視圖和側(cè)視圖均是三角形，則該多面體的各個面都是三角形，則乙是三棱錐；由于丙的俯視圖是圓，則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體，又因正視圖和側(cè)視圖均是三角形，則丙是圓錐. 答案：A 點評：本題主要考查三視圖和簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征.根據(jù)三視圖想象空間幾何體，是培養(yǎng)空間想象能力的重要方式，這需要根據(jù)幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的幾何特征，想象整個幾何體的幾何特征，從而判斷三視圖所描述的幾何體.通常是先根據(jù)俯視圖判斷是多面體還是旋轉(zhuǎn)體，再結(jié)合正視圖和側(cè)視圖確定具體的幾何結(jié)構(gòu)特征，最終確定是簡單幾何體還是簡單組合體. 變式訓練 1.圖15是一幾何體的三視圖，想象該幾何體的幾何結(jié)構(gòu)特征，畫出該幾何體的形狀. 圖15 圖16 分析：由于俯視圖有一個圓和一個四邊形，則該幾何體是由旋轉(zhuǎn)體和多面體拼接成的組合體，結(jié)合側(cè)視圖和正視圖，可知該幾何體是上面一個圓柱，下面是一個四棱柱拼接成的組合體. 答案：上面一個圓柱，下面是一個四棱柱拼接成的組合體.該幾何體的形狀如圖16所示. 2.（xx山東高考，理3）下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是（ ） 圖17 A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 分析：正方體的三視圖都是正方形，所以①不符合題意，排除A、B、C 答案：D 點評：雖然三視圖的畫法比較繁瑣，但是三視圖是考查空間想象能力的重要形式，因此是新課標高考的必考內(nèi)容之一，足夠的空間想象能力才能保證順利解決三視圖問題. 知能訓練 1.下列各項不屬于三視圖的是（ ） A.正視圖 B.側(cè)視圖 C.后視圖 D.俯視圖 分析：根據(jù)三視圖的規(guī)定，后視圖不屬于三視圖. 答案：C 2.兩條相交直線的平行投影是（ ） A.兩條相交直線 B.一條直線 C.兩條平行直線 D.兩條相交直線或一條直線 圖18 分析：借助于長方體模型來判斷，如圖18所示，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，一束平行光線從正上方向下照射.則相交直線CD1和DC1在面ABCD上的平行投影是同一條直線CD，相交直線CD1和BD1在面ABCD上的平行投影是兩條相交直線CD和BD. 答案：D 3.甲、乙、丙、丁四人分別面對面坐在一個四邊形桌子旁邊，桌上一張紙上寫著數(shù)字“9”，如圖19所示.甲說他看到的是“6”，乙說他看到的是“ 6”，丙說他看到的是“ 9”，丁說他看到的是“9”，則下列說法正確的是（ ） 圖19 A.甲在丁的對面，乙在甲的左邊，丙在丁的右邊 B.丙在乙的對面，丙的左邊是甲，右邊是乙 C.甲在乙的對面，甲的右邊是丙，左邊是丁 D.甲在丁的對面，乙在甲的右邊，丙在丁的右邊 分析：由甲、乙、丙、丁四人的敘述，可以知道這四人的位置如圖20所示，由此可得甲在丁的對面，乙在甲的右邊，丙在丁的右邊. 圖20 答案：D 4.（xx廣東汕頭模擬，文3）如果一個空間幾何體的正視圖與側(cè)視圖均為全等的等邊三角形，俯視圖為一個圓及其圓心，那么這個幾何體為（ ） A.棱錐 B.棱柱 C.圓錐 D.圓柱 分析：由于俯視圖是一個圓及其圓心，則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體，又因正視圖與側(cè)視圖均為全等的等邊三角形，則該幾何體是圓錐. 答案：C 5.（xx山東青島高三期末統(tǒng)考，文5）某幾何體的三視圖如圖21所示，那么這個幾何體是（ ） 圖21 A.三棱錐 B.四棱錐 C.四棱臺 D.三棱臺 分析：由所給三視圖可以判定對應的幾何體是四棱錐. 答案：B 6.（xx山東濟寧期末統(tǒng)考，文5）用若干塊相同的小正方體搭成一個幾何體，該幾何體的三視圖如圖22所示，則搭成該幾何體需要的小正方體的塊數(shù)是（ ） 圖22 A.8 B.7 C.6 D.5 分析：由正視圖和側(cè)視圖可知，該幾何體有兩層小正方體拼接成，由俯視圖，可知最下層有5個小正方體，由側(cè)視圖可知上層僅有一個正方體，則共有6個小正方體. 答案：C 7.畫出圖23所示正四棱錐的三視圖. 圖23[ 分析：正四棱錐的正視圖與側(cè)視圖均為等腰三角形，俯視圖為正方形，對角線體現(xiàn)正四棱錐的四條側(cè)棱. 答案：正四棱錐的三視圖如圖24. 圖24 拓展提升 問題：用數(shù)個小正方體組成一個幾何體，使它的正視圖和俯視圖如圖25所示，俯視圖中小正方形中的字母表示在該位置的小立方體的個數(shù). (1)你能確定哪些字母表示的數(shù)？ (2)該幾何體可能有多少種不同的形狀？ [ 圖25 分析：解決本題的關(guān)鍵在于觀察正視圖、俯視圖，利用三視圖規(guī)則中的“在三視圖中，每個視圖都反映物體兩個方向的尺寸.正視圖反映物體的上下和左右尺寸，俯視圖反映物體的前后和左右尺寸，側(cè)視圖反映物體的前后和上下尺寸”.又“正視圖與俯視圖長對正,正視圖與側(cè)視圖高平齊,俯視圖與側(cè)視圖寬相等”,所以，我們可以得到a=3,b=1,c=1,d,e,f中的最大值為2. 解：(1)面對數(shù)個小立方體組成的幾何體，根據(jù)正視圖與俯視圖的觀察我們可以得出下列結(jié)論： ①a=3,b=1,c=1; ②d,e,f中的最大值為2 所以上述字母中我們可以確定的是a=3,b=1,c=1. (2)當d,e,f中有一個是2時，有3種不同的形狀； 當d,e,f有兩個是2時，有3種不同的形狀； 當d,e,f都是2時，有一種形狀. 所以該幾何體可能有7種不同的形狀. 課堂小結(jié) 本節(jié)課學習了： 1.中心投影和平行投影. 2.簡單幾何體和組合體的三視圖的畫法及其投影規(guī)律. 3.由三視圖判斷原幾何體的結(jié)構(gòu)特征. 作業(yè) 習題1.2 A組 第1、2題. 設(shè)計感想 本節(jié)課的教學，以課程標準為指南，結(jié)合學生的已有知識和經(jīng)驗而設(shè)計.設(shè)計時考慮到課程標準和高考要求，重點講解由三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，也就是畫三視圖時，尺寸不作嚴格要求.教學設(shè)計中使用了大量圖片，建議在實際應用時盡量使用信息技術(shù)，讓學生從動態(tài)過程獲得三視圖的感性認識，以便從整體上把握三視圖的畫法.