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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 隨機變量及其分布列 版塊二 幾類典型的隨機分布2完整講義（學(xué)生版） 知識內(nèi)容 1． 離散型隨機變量及其分布列 ⑴離散型隨機變量 如果在試驗中，試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量來表示，并且是隨著試驗的結(jié)果的不同而變化的，我們把這樣的變量叫做一個隨機變量．隨機變量常用大寫字母表示． 如果隨機變量的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱為離散型隨機變量． ⑵離散型隨機變量的分布列 將離散型隨機變量所有可能的取值與該取值對應(yīng)的概率列表表示： … … … … 我們稱這個表為離散型隨機變量的概率分布，或稱為離散型隨機變量的分布列． 2．幾類典型的隨機分布 ⑴兩點分布 如果隨機變量的分布列為 其中，，則稱離散型隨機變量服從參數(shù)為的二點分布． 二點分布舉例：某次抽查活動中，一件產(chǎn)品合格記為，不合格記為，已知產(chǎn)品的合格率為，隨機變量為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果，則的分布列滿足二點分布． 兩點分布又稱分布，由于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗叫做伯努利試驗，所以這種分布又稱為伯努利分布． ⑵超幾何分布 一般地，設(shè)有總數(shù)為件的兩類物品，其中一類有件，從所有物品中任取件，這件中所含這類物品件數(shù)是一個離散型隨機變量，它取值為時的概率為 ，為和中較小的一個． 我們稱離散型隨機變量的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱服從參數(shù)為，，的超幾何分布．在超幾何分布中，只要知道，和，就可以根據(jù)公式求出取不同值時的概率，從而列出的分布列． ⑶二項分布 1．獨立重復(fù)試驗 如果每次試驗，只考慮有兩個可能的結(jié)果及，并且事件發(fā)生的概率相同．在相同的條件下，重復(fù)地做次試驗，各次試驗的結(jié)果相互獨立，那么一般就稱它們?yōu)榇为毩⒅貜?fù)試驗．次獨立重復(fù)試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率為． 2．二項分布 若將事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為，事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨立重復(fù)試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率是，其中．于是得到的分布列 … … … … 由于表中的第二行恰好是二項展開式 各對應(yīng)項的值，所以稱這樣的散型隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布， 記作． 二項分布的均值與方差： 若離散型隨機變量服從參數(shù)為和的二項分布，則 ，． ⑷正態(tài)分布 1． 概率密度曲線：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，在樣本容量越來越大時， 直方圖上面的折線所接近的曲線．在隨機變量中，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機變量，則這條曲線稱為的概率密度曲線． 曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是，而隨機變量落在指定的兩個數(shù)之間的概率就是對應(yīng)的曲邊梯形的面積． 2．正態(tài)分布 ⑴定義：如果隨機現(xiàn)象是由一些互相獨立的偶然因素所引起的，而且每一個偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的隨機現(xiàn)象的隨機變量的概率分布近似服從正態(tài)分布． 服從正態(tài)分布的隨機變量叫做正態(tài)隨機變量，簡稱正態(tài)變量． 正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為，，其中，是參數(shù)，且，． 式中的參數(shù)和分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差．期望為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布通常記作． 正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線． ⑵標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：我們把數(shù)學(xué)期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布． ⑶重要結(jié)論： ①正態(tài)變量在區(qū)間，，內(nèi)，取值的概率分別是，，． ②正態(tài)變量在內(nèi)的取值的概率為，在區(qū)間之外的取值的概率是，故正態(tài)變量的取值幾乎都在距三倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的原則． ⑷若，為其概率密度函數(shù)，則稱為概率分布函數(shù)，特別的，，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)． ． 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得． 分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求，適當(dāng)了解以加深對密度曲線的理解即可． 3．離散型隨機變量的期望與方差 1．離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望 定義：一般地，設(shè)一個離散型隨機變量所有可能的取的值是，，…，，這些值對應(yīng)的概率是，，…，，則，叫做這個離散型隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望（簡稱期望）． 離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個離散型隨機變量的平均取值水平． 2．離散型隨機變量的方差 一般地，設(shè)一個離散型隨機變量所有可能取的值是，，…，，這些值對應(yīng)的概率是，，…，，則叫做這個離散型隨機變量的方差． 離散型隨機變量的方差反映了離散隨機變量的取值相對于期望的平均波動的大?。x散程度）． 的算術(shù)平方根叫做離散型隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個衡量離散型隨機變量波動大小的量． 3．為隨機變量，為常數(shù)，則； 4． 典型分布的期望與方差： ⑴二點分布：在一次二點分布試驗中，離散型隨機變量的期望取值為，在次二點分布試驗中，離散型隨機變量的期望取值為． ⑵二項分布：若離散型隨機變量服從參數(shù)為和的二項分布，則，． ⑶超幾何分布：若離散型隨機變量服從參數(shù)為的超幾何分布， 則，． 4．事件的獨立性 如果事件是否發(fā)生對事件發(fā)生的概率沒有影響，即， 這時，我們稱兩個事件，相互獨立，并把這兩個事件叫做相互獨立事件． 如果事件，，…，相互獨立，那么這個事件都發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即，并且上式中任意多個事件換成其對立事件后等式仍成立． 5．條件概率 對于任何兩個事件和，在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號“”來表示．把由事件與的交（或積），記做（或）． 典例分析 【例1】 一盒子內(nèi)裝有個乒乓球，其中個舊的，個新的，從中任意取個，則取到新球的個數(shù)的期望值是 ． 【例2】 某人參加一次英語口語考試，已知在備選的道試題中，能答對其中的題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出題進行測試，每題分?jǐn)?shù)為20分，求他得分的期望值． 【例3】 以隨機方式自5男3女的小群體中選出5人組成一個委員會，求該委員會中女性委員人數(shù)的概率分布、期望值與方差． 【例4】 在個同類型的零件中有2個次品，抽取3次進行檢驗，每次任取一個，并且取出不再放回，若以和分別表示取出次品和正品的個數(shù)．求的期望值及方差． 【例5】 某人可從一個內(nèi)有2張元，3張元的袋子里任取2張，求他獲得錢數(shù)的期望值． 【例6】 某人有一張元與張元，他從中隨機地取出張給孫兒、孫女，每人一張，求孫兒獲得錢數(shù)的期望值． 【例7】 從名男生和名女生中任選人參加演講比賽，設(shè)隨機變量表示所選人中女生的人數(shù)． ⑴ 求的分布列； ⑵ 求的數(shù)學(xué)期望與方差； ⑶ 求“所選人中女生人數(shù)”的概率． 【例8】 甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題．規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格． ⑴ 求甲答對試題數(shù)的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差； ⑵ 求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率． 【例9】 一個袋中有若干個大小相同的黑球、白球和紅球．已知從袋中任意摸出個球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出個球，至少得到個白球的概率是． ⑴若袋中共有個球，從袋中任意摸出個球，求得到白球的個數(shù)的數(shù)學(xué)期望； ⑵求證：從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于．并指出袋中哪種顏色的球個數(shù)最少．