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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì) 新人教A版必修4 一、內(nèi)容與內(nèi)容解析 三角函數(shù)是函數(shù)的一個特例，是函數(shù)概念的下位概念，與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)具有相同的地位，但是在具體的定義方式上又有所不同，應(yīng)該按照概念的體系將之納入到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，揭示彼此之間的關(guān)系，認(rèn)識新概念的本質(zhì)屬性。 因此本課時的教學(xué)重點(diǎn)是： 通過概念的同化與精致過程，幫助學(xué)生理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，并在這個過程中突出單位圓的作用。 二、目標(biāo)和目標(biāo)解析 1．借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。（能根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出具體的角的各三角函數(shù)值，能根據(jù)定義探究出三角函數(shù)值在各個象限的符號。） 2．在定義的學(xué)習(xí)過程中滲透數(shù)形結(jié)合的思想。（根據(jù)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)寫出角的各三角函數(shù)值，及各三角函數(shù)的定義域，利用單位圓的幾何特征寫出正弦、余弦的值域。） 3．在概念同化和精致的過程中發(fā)展學(xué)生研究問題的能力。（知道概念所在的體系，知道任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)、函數(shù)、指、對數(shù)函數(shù)等之間的關(guān)系，利用單位圓的幾何特征研究三角函數(shù)的方法。） 三、教學(xué)問題診斷分析 在概念教學(xué)過程中要注意學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)的作用，發(fā)揮其正遷移，防止其負(fù)遷移。本課時研究的是任意角的三角函數(shù)，學(xué)生在初中階段曾經(jīng)研究過銳角三角函數(shù)，其研究范圍是銳角；其研究方法是幾何的，沒有坐標(biāo)系的參與；其研究目的是為解直角三角形服務(wù)。以上三點(diǎn)都是與本課時不同的，因此在教學(xué)過程中要發(fā)展學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，發(fā)揮其正遷移。具體而言要做到：明確研究范圍的變化，開闊學(xué)生的視野，并揭示由此帶來的新問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；借助單位圓在坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，要先將銳角的三角函數(shù)問題置于坐標(biāo)系中，幫助學(xué)生利用坐標(biāo)系借助單位圓重新認(rèn)識銳角三角函數(shù)，這樣做激活了學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn)，并且用新的視角認(rèn)識已有知識經(jīng)驗(yàn)，復(fù)習(xí)了舊知識，同時為新的研究內(nèi)容做好鋪墊；第三，由于研究范圍的改變，更加突出了任意角的三角函數(shù)是為研究客觀世界中大量存在的周期性現(xiàn)象服務(wù)的。這些都是在本課時的學(xué)習(xí)之后應(yīng)該取得的認(rèn)知方面的進(jìn)步。 認(rèn)識一個函數(shù)，關(guān)鍵是認(rèn)識函數(shù)的三要素。在學(xué)生學(xué)習(xí)過的函數(shù)中，一次、二次、反比例或者用圖、表表示的對應(yīng)法則的函數(shù)，其三要素是比較容易找到的，指、對函數(shù)的學(xué)習(xí)就需要一定的基礎(chǔ)，同樣在任意角的三角函數(shù)學(xué)習(xí)過程中也可能在自變量和對應(yīng)法則上出現(xiàn)問題，應(yīng)該注意明確任意角的三角函數(shù)的三要素，比如正弦函數(shù)y=sinα中自變量是角α，并且α∈R，對應(yīng)法則是一個角與其正弦值對應(yīng)，至于這個值怎么計(jì)算，在此處是規(guī)定為角α終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，通過例2可以看出，也可以利用比值定義。對于一次函數(shù)、二次函數(shù)也需要將自變量的值進(jìn)行計(jì)算得到函數(shù)值，這一點(diǎn)本質(zhì)上是統(tǒng)一的，要引導(dǎo)學(xué)生類比理解。 此外，由于學(xué)生對角度制的應(yīng)用已經(jīng)很熟練，而對弧度制的應(yīng)用比較陌生，所以在理解函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集時可能會出現(xiàn)問題，這需要教師的引導(dǎo)，同時也需要時間適應(yīng)。 綜合上述分析，本課時的教學(xué)難點(diǎn)是： 引導(dǎo)學(xué)生將任意角的三角函數(shù)的定義同化，幫助學(xué)生真正理解定義。 四、教學(xué)支持條件分析 利用幾何畫板改變角的位置，認(rèn)識角的終邊位于不同象限時如何定義角的三角函數(shù)值，充實(shí)學(xué)生的直觀感知材料，幫助學(xué)生形成比較全面的認(rèn)知。 五、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 問題1本章研究的問題是三角函數(shù)，函數(shù)的研究離不開平面直角坐標(biāo)系，這在第一節(jié)中已經(jīng)有所感受?，F(xiàn)在請你回憶初中學(xué)過的銳角三角函數(shù)的定義，并思考一個問題：如果將銳角置于平面直角坐標(biāo)系中，如何用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)呢？ （設(shè)計(jì)意圖：將已有知識坐標(biāo)化,分化難點(diǎn)。用新的觀點(diǎn)再認(rèn)識學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn)，發(fā)揮其正遷移作用，同時使本課時的學(xué)習(xí)與學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn)緊密聯(lián)系，使知識有一個熟悉的起點(diǎn)，扎實(shí)的固著點(diǎn)。） 預(yù)計(jì)的回答：學(xué)生可以回憶出初中學(xué)過的銳角三角函數(shù)的定義，但是在用坐標(biāo)語言表述時可能會出現(xiàn)困難——即使將角置于坐標(biāo)系中但是仍然習(xí)慣用三角形邊的比值表示銳角三角函數(shù)，需要教師引導(dǎo)學(xué)生將之轉(zhuǎn)換為用終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)。 解答過程： （1）再現(xiàn)銳角三角函數(shù)的定義：如圖1，在直角△POM中，∠M是直角，那么。 （2）坐標(biāo)化：如圖2，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），那么，于是。 問題2回憶弧度制中1弧度角的幾何解釋，它是借助于單位圓給出的，能否從中得到啟示將上述定義的形式化簡，化簡的依據(jù)是什么？寫出最簡單的形式。 （設(shè)計(jì)意圖：引入單位圓。深化對單位圓作用的認(rèn)識，用數(shù)學(xué)的簡潔美引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究，為定義的拓展奠定基礎(chǔ)。該問題與問題1結(jié)合，分步推進(jìn)，降低難度，基本尊重教材的處理方式。） 預(yù)計(jì)的困難：由于學(xué)生只接觸過一次單位圓，對它所能起的作用只有一般的了解，所以需要教師的引導(dǎo)。也可以引導(dǎo)學(xué)生從形式上對上述定義化簡，使得分母為1，之后通過分母的幾何意義將之與單位圓結(jié)合起來。 解答過程： 單位圓中定義銳角三角函數(shù)：如圖3，線段OP=1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），那么銳角α的三角函數(shù)可以用坐標(biāo)表示為： 。 （說明：單位圓的定義建議在弧度制一節(jié)中給出。） 依據(jù)：三角形相似，比值與具體的點(diǎn)的位置沒有關(guān)系。 問題3：上述定義是借助于單位圓，利用角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)給出的，它可以推廣到任意角的三角函數(shù)，請你寫出任意角的三角函數(shù)的定義。分小組分別寫出角α的終邊位于第二、三、四象限和x軸、y軸上時的三角函數(shù)。 （設(shè)計(jì)意圖：具體認(rèn)識任意角的三角函數(shù)，突現(xiàn)本課時的研究重點(diǎn)。如果問題太一般化，如設(shè)計(jì)為：上述定義可以推廣到任意角的三角函數(shù)，請寫出任意角的三角函數(shù)的定義。那么學(xué)生不知道“上述定義”是指哪個，而且不明白任意角該如何取。所以在問題設(shè)計(jì)中再次強(qiáng)調(diào)要借助于單位圓，利用坐標(biāo)，限定學(xué)生的思維，以免太發(fā)散。再者在一般要求“寫出任意角的三角函數(shù)”之后，又提出具體的活動方式：分小組針對不同位置的角分別寫出其三角函數(shù)。這樣將問題具體化，學(xué)生容易著手解決。寫出定義的過程也是鞏固推廣的過程，而且這樣做盡可能避免出現(xiàn)學(xué)生用計(jì)算器算cosπ的現(xiàn)象。） 活動形式：由學(xué)生分組獨(dú)立完成之后再展示交流，形成具體而全面的認(rèn)識。學(xué)生可能會在寫出任意角的三角函數(shù)的定義時出現(xiàn)困難，教師的幫助不要具體，而是在思維上引導(dǎo)——用坐標(biāo)表示，并引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識三角函數(shù)的定義域。 預(yù)計(jì)的答案：如圖4，針對其中的圖（1）（2）（3）學(xué)生寫出，針對其中的圖（4）學(xué)生寫出，針對其中的圖（5）學(xué)生寫出，tanα無意義。 結(jié)論：給出三角函數(shù)的定義：（略）。 問題4：根據(jù)上述過程，你能寫出三角函數(shù)的定義域嗎？你能用函數(shù)的定義對三角函數(shù)進(jìn)行分析嗎？ （設(shè)計(jì)意圖：順勢而為形成定義，并將三角函數(shù)的定義進(jìn)行同化，通過這樣的活動強(qiáng)化學(xué)生對任意角三角函數(shù)定義的理解，達(dá)到對概念的初步精致。） 預(yù)計(jì)的困難：學(xué)生對三角函數(shù)的自變量認(rèn)識可能會存在問題。 教師的引導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生利用單位圓的幾何意義解釋正弦、余弦的值域。 預(yù)計(jì)的答案：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x,y）。 例1 求的正弦、余弦和正切值。 （設(shè)計(jì)意圖：鞏固對定義的理解。） 分析：根據(jù)定義求解，先利用銳角三角函數(shù)知識求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)定義求解。 解：如圖5，可知在RTΔOPC中，∠OPC=30o，所以O(shè)C=，CP=，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是。 根據(jù)定義可得： 練習(xí)１　（P15練習(xí)3）完成下列表格中的前兩列： 例2已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切值。 （設(shè)計(jì)意圖：通過問題的轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步加深對定義的理解。） 分析：通過相似求出角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，之后再根據(jù)定義求解。 解：如圖6，由已知可得： |OP0|=。 設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y）,分別過點(diǎn)P和P0作x軸的垂線MP，M 0P0，則 又|OP|=1， 根據(jù)∽Δ，可得，即， 所以，。 所以。 （說明：上述書寫過程基本與例1統(tǒng)一，這樣可以將該題目的求解思路同化，降低學(xué)習(xí)難度。） 問題5 通過本課時的學(xué)習(xí)你有哪些收獲，請從知識、思想方法經(jīng)驗(yàn)等方面進(jìn)行小結(jié)。此外你還有哪些需要質(zhì)疑之處。 （設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)，并進(jìn)一步思考。通過質(zhì)疑引導(dǎo)學(xué)生全面認(rèn)識三角函數(shù)，雖然在課堂上不研究其他3個三角函數(shù)，但是可以讓學(xué)生有一個全面的認(rèn)識，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。通過三角函數(shù)定義的一般化，引導(dǎo)學(xué)生用辯證的觀點(diǎn)認(rèn)識事物，理解三角函數(shù)。） 小結(jié)：知識：（略）； 思想方法：（略）； 經(jīng)驗(yàn)：用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識三角函數(shù)，用單位圓的幾何特征研究三角函數(shù)。 拓展1：3個數(shù)可以形成6個比值，為什么只對其中的三個比值進(jìn)行定義和研究，其他3個比值又能對應(yīng)什么函數(shù)呢？有興趣的同學(xué)可以自己查閱資料進(jìn)行研究。 拓展2：通過求解例2，你能發(fā)現(xiàn)還可以怎么定義任意角的三角函數(shù)呢？請閱讀教材的旁白。這是三角函數(shù)定義的等價(jià)定義。 六、目標(biāo)檢測設(shè)計(jì) 1．P15練習(xí)1，2，3； （設(shè)計(jì)意圖：初步應(yīng)用定義和等價(jià)定義。） 2．習(xí)題1.2A組2。 （設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生類比、對比解決問題能力。） 3．完成教材P13的探究，之后完成P15練習(xí)4，6，把結(jié)果填在書上。 （設(shè)計(jì)意圖：將作業(yè)作為課堂教學(xué)的延伸，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力和習(xí)慣。） 七．設(shè)計(jì)思路 1．突出單位圓的作用。具體表現(xiàn)在三個方面：第一是將銳角三角函數(shù)坐標(biāo)化，引入單位圓；第二是利用單位圓寫出任意角的三角函數(shù)；第三是利用單位圓寫出定義域及正弦、余弦的值域；第四是在例2的解決過程中建立單位圓與一般定義的關(guān)系。 2．用函數(shù)同化三角函數(shù)。給出任意角的三角函數(shù)的定義之后，用函數(shù)的定義對三角函數(shù)進(jìn)行分析，將之納入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，并使得原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生順應(yīng)變化。 3．力求在數(shù)學(xué)的自然、必要和學(xué)生的認(rèn)知之間尋找平衡點(diǎn)。 根據(jù)聽課時出現(xiàn)的問題，在本教學(xué)設(shè)計(jì)中采取了下列處理方式。 （1）先坐標(biāo)化再引入單位圓，降低認(rèn)知臺階。 從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)這一段的處理基本尊重教材，這是因?yàn)樵诼犝n過程中發(fā)現(xiàn)如果將“坐標(biāo)化”與“單位圓”兩個問題同時拋給學(xué)生，雖然能體現(xiàn)出做這兩個工作的必要性，但是跨度較大，學(xué)生感到困難，解決問題的過程費(fèi)時費(fèi)力，不但不能使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)的必要性，反而制約了學(xué)生的思維。 （2）將問題分解、具體化，通過具體認(rèn)識一般。 在形成任意角的三角函數(shù)的定義時將問題解剖，并采取分組合作的組織方式，旨在將抽象的問題具體化，降低難度。讓學(xué)生根據(jù)角的不同位置寫出定義，特別是對于象限角也進(jìn)行了相同的處理辦法，這是因?yàn)閷W(xué)生的思維從具體問題開始，而且要形成“初始效應(yīng)”，在新概念學(xué)習(xí)伊始就使得它植根于學(xué)生的已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，并形成強(qiáng)烈的意識——用新定義解決問題，而不再用計(jì)算器或其他辦法。 （3）解題思路求同，強(qiáng)化定義的作用。 例1、例2兩個題目的解決思路都是相同的：先求出角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)，之后再根據(jù)定義求解。差別在于求角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)的具體方法不同，這些求法都是學(xué)生已經(jīng)具備的技能。據(jù)此建議教材中將例2的解題過程修改，將利用相似求線段長的計(jì)算前置，分步完成即降低了難度，又統(tǒng)一了思路，突出了定義的作用。 （4）將作業(yè)作為課堂教學(xué)的有效延伸，給學(xué)生思考的空間。 作業(yè)中的第3項(xiàng)的設(shè)計(jì)，其意是使得學(xué)生的作業(yè)不但有模仿的，更有需要獨(dú)立思考的，培養(yǎng)學(xué)生的能力