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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《變化率與導(dǎo)數(shù)》教案1 新人教A版選修1-1 [教學(xué)目的] 1.了解導(dǎo)數(shù)形成的背景、思想和方法；正確理解導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義； 2.使學(xué)生在了解瞬時(shí)速度的基礎(chǔ)上抽象出變化率，建立導(dǎo)數(shù)的概念；掌握用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)的一般方法 3.在教師指導(dǎo)下，讓學(xué)生積極主動(dòng)地探索導(dǎo)數(shù)概念的形成過程，鍛煉運(yùn)用分析、抽象、歸納、總結(jié)形成數(shù)學(xué)概念的能力,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用。 [教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)]導(dǎo)數(shù)的概念是本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn) [教學(xué)方法]講授啟發(fā)，自學(xué)演練。 [授課類型]：新授課 [課時(shí)安排]：1課時(shí) [教 具]：多媒體、實(shí)物投影儀 [教學(xué)過程] 　　一、復(fù)習(xí)提問(導(dǎo)數(shù)定義的引入) 　　1．什么叫瞬時(shí)速度？(非勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體在某一時(shí)刻t0的速度) 　　2．怎樣求非勻速直線運(yùn)動(dòng)在某一時(shí)刻t0的速度？ 在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，如果我們知道運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度（單位：）與起跳后的時(shí)間（單位：）存在關(guān)系，那么我們就會(huì)計(jì)算任意一段的平均速度，通過平均速度來描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但用平均速度不一定能反映運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，那么如何求運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度呢？問題：2秒時(shí)的瞬時(shí)速度是多少？ （2）新課 我們現(xiàn)在會(huì)算任意一段的平均速度，先來觀察一下2秒附近的情況。先計(jì)算2秒之前的時(shí)間段內(nèi)的平均速度，請(qǐng)同學(xué)們完成表格1左邊部分，（事先準(zhǔn)備好的），再完成表格的右邊部分〉 表格1 表格2 時(shí)，在這段時(shí)間內(nèi) 時(shí)，在這段時(shí)間內(nèi) 當(dāng)0.01時(shí)，13.051； 當(dāng)0.01時(shí)，13.149； 當(dāng)0.001時(shí)，13.095 1； 當(dāng)0.001時(shí)，13.104 9； 當(dāng)0.000 1時(shí)，13.099 51； 當(dāng)0.000 1時(shí)，13.100 49； 當(dāng)0.000 01時(shí)，13.099 951； 當(dāng)0.000 01時(shí)，13.100 049； 當(dāng)0.000 001時(shí)，13.099 995 1； 當(dāng)0.000 001時(shí)，13.100 004 9； 。。。。。。 。。。。。。 問題：1你能描述一下你算得的這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律嗎？（表格2） 關(guān)于這些數(shù)據(jù)，下面的判斷對(duì)嗎？ 2．當(dāng)趨近于0時(shí)，即無(wú)論從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時(shí)，平均速度都趨近于一個(gè)確定的值-13.1。 3． 靠近-13.1且比-13.1大的任何一個(gè)數(shù)都可以是某一段上的平均速度； 4． 靠近-13.1且比-13.1小的任何一個(gè)數(shù)都可以是某一段上的平均速度； 5． -13.1表示在2秒附近，運(yùn)動(dòng)員的速度大約是-13.1。 分析:秒時(shí)有一個(gè)確定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬時(shí)速度，所以比-13.1大的數(shù)作為2秒的瞬時(shí)速度不合理，比-13.1小的數(shù)作為2秒的瞬時(shí)速度也不合理，因此，運(yùn)動(dòng)員在2秒時(shí)的瞬時(shí)速度是-13.1。 這樣，我們就得到了2秒時(shí)的瞬時(shí)速度是-13.1，現(xiàn)在我們一起回憶一下是如何得到的： 首先，算出上的平均速度=，接著觀察當(dāng)趨近于0時(shí)，上式趨近于一個(gè)確定的值-13.1，這個(gè)值就是運(yùn)動(dòng)員在2秒時(shí)的瞬時(shí)速度。為了表述方便，我們用 表示“當(dāng)，趨近于0時(shí)，平均速度趨近于確定值-13.1”。 思考：當(dāng)趨近于0時(shí)，平均速度有什么樣的變化趨勢(shì)？ 結(jié)論：當(dāng)趨近于0時(shí)，即無(wú)論從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時(shí)，平均速度都趨近于一個(gè)確定的值． 從物理的角度看，時(shí)間間隔無(wú)限變小時(shí)，平均速度就無(wú)限趨近于史的瞬時(shí)速度，因此，運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度是 為了表述方便，我們用 表示“當(dāng)，趨近于0時(shí)，平均速度趨近于定值” 小結(jié)：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過取極限，從瞬時(shí)速度的近似值過渡到瞬時(shí)速度的精確值。 3．函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率如何表示？ 導(dǎo)數(shù)的定義（板書） 函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率是， 我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或， 即=。例如：2秒時(shí)的瞬時(shí)速度可以表示為或。 附注：①導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率； ②定義的變化形式：=； =；=； ，當(dāng)時(shí)，，所以 ③求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)步驟：“一差；二比；三極限”。 三．典例分析 例1．（1）求函數(shù)y=3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù). 分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2, 再求再求 解：法一（略）； 法二： （2）求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)． 解： 例2．（課本例1）將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第時(shí)，原油的溫度（單位：）為，計(jì)算第時(shí)和第時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義． 解：在第時(shí)和第時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率就是和 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義， 所以；同理可得: 在第時(shí)和第時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為和5，說明在附近，原油溫度大約以的速率下降，在第附近，原油溫度大約以的速率上升． 注：一般地，反映了原油溫度在時(shí)刻附近的變化情況． 17世紀(jì)，力學(xué)、航海、天文等方面取得了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，這些發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)提出了新的要求，它們突出地表現(xiàn)為四類問題，其中的兩類問題直接導(dǎo)致了導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生：一是根據(jù)物體的路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)求速度和加速度；二是求已知曲線的切線。 由導(dǎo)數(shù)的定義，我們知道，高度關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度；氣球半徑關(guān)于體積的導(dǎo)數(shù)就是氣球的瞬時(shí)膨脹率。 實(shí)際上，導(dǎo)數(shù)可以描述任何事物的瞬時(shí)變化率，如效率、點(diǎn)密度、國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP 的增長(zhǎng)率等等。下面我們來看一個(gè)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。 四．課堂練習(xí) 1．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，求質(zhì)點(diǎn)在的瞬時(shí)速度為． 2．求曲線y=f(x)=x3在時(shí)的導(dǎo)數(shù)． 3．例2中，計(jì)算第時(shí)和第時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義． 五、小結(jié) 1．導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生是由于17世紀(jì)力學(xué)、天文學(xué)等的飛速發(fā)展，對(duì)數(shù)學(xué)提出的要求，主要是兩類問題：一是根據(jù)物體的路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)求速度和加速度；二是求已知曲線的切線； 2．導(dǎo)數(shù)就是瞬時(shí)變化率； 3．導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式：=。 4. 求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)步驟：“一差；二比；三極限” 六、布置作業(yè) 教科書習(xí)題1.1A組1，2，3，4，5。