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2019-2020年高中數(shù)學 橢圓的幾何性質 教案 蘇教版選修1-1 教學目標 （1）掌握橢圓的基本幾何性質：范圍、對稱性、頂點、長軸、短軸、離心率； （2）掌握橢圓標準方程中、、、的幾何意義及相互關系； （3）感受如何運用方程研究曲線的幾何性質． 教學重點，難點 運用方程研究曲線的幾何性質． 教學過程 一．問題情境 1．情境： 復習回顧：橢圓的定義；橢圓的標準方程；橢圓中、、的關系 2．問題： 在建立了橢圓的標準方程之后，就可以通過方程來研究橢圓的幾何性質．那么橢圓有哪些幾何性質呢？ 二．學生活動 學生通過橢圓的標準方程，以及橢圓的圖象嘗試觀察、、在圖象中的體現(xiàn)． 三．建構數(shù)學 １．范圍 由方程可知，橢圓上點的坐標都適合不等式， 即，所以 ．同理可得． 這說明橢圓位于直線和所圍成的矩形內． 2．對稱性： 從圖形上看：橢圓關于軸、軸、原點對稱． 從方程上看：（1）把換成方程不變，說明當點在橢圓上時，點關于軸的對稱點也在橢圓上，所以橢圓的圖象關于軸對稱； （2）把換成方程不變，所以橢圓的圖象關于軸對稱； （3）把換成，同時把換成方程不變，所以橢圓的圖象關于原點成中心對稱． 綜上：坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心．橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心． ３．頂點： 在方程中，令，得，說明點，是橢圓與軸的兩個交點．同理，是橢圓與軸的兩個交點． (1)頂點：橢圓與它的對稱軸的四個交點，叫做橢圓的頂點； (2)長軸、短軸：線段、線段分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于和； (3) 、的幾何意義：是長半軸的長，是短半軸的長． ４．離心率： 橢圓的焦距與長軸長的比，叫做橢圓的離心率． 說明：（１）因為所以． （２）越接近，則越接近，從而越小，因此橢圓越扁； 反之，越接近于，越接近于，從而越接近于，這時橢圓就接近于圓； （３）當且僅當時，，這時兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，但本教材規(guī)定圓與橢圓是不同的曲線，有些書將圓看成特殊的橢圓； （４）試讓學生通過探究的大小變化來發(fā)現(xiàn)＂扁＂的程度． 四．數(shù)學運用 1．例題： 例1．求橢圓的長軸長，短軸長，離心率，焦點和頂點坐標，并用描點法畫出這個橢圓． 分析：由橢圓的標準方程可知，，則橢圓位于四條直線，所圍成的矩形內．又橢圓以兩坐標軸為對稱軸，所以只要畫出第一象限的圖形就可以畫出整個圖象． 解：根據橢圓的方程，得，，．因此，長軸長，短軸． 焦點為和，頂點為，，，． 離心率． 將方程變形為，根據算出橢圓在第一象限的幾個點的坐標： 說明：①本題在畫圖時，利用了橢圓的對稱性，利用圖形的幾何性質，可以簡化畫圖過程，保證圖形的準確性． ②根據橢圓的幾何性質，用下面方法可以快捷地畫出反映橢圓基本形狀和大小的草圖：以橢圓的長軸、短軸為鄰邊畫矩形；由矩形四邊的中點確定橢圓的四個頂點；用曲線將四個頂點連成一個橢圓，畫圖時要注意它們的對稱性及頂點附近的平滑性． 例２．求符合下列條件的橢圓標準方程： （１）焦距為，離心率為． （２）焦點與長軸較接近的端點的距離為，焦點與短軸兩端點的連線互相垂直． 解：（１）由題意：因為，所以；又因為，所以，所以， 焦點在軸上時橢圓標準方程：；焦點在軸上時橢圓標準方程：． （２）由題意：，，，所以解得，， 焦點在軸上時橢圓標準方程：；焦點在軸上時橢圓標準方程：． 五．回顧小結： 1．橢圓的基本幾何性質：范圍、對稱性、頂點、長軸、短軸、離心率； 2．橢圓標準方程中、、、的幾何意義及相互關系．