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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項訓(xùn)練 三角函數(shù)（1）（含解析） 1、若sin αtan α＜0，且＜0，則角α是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：由sin αtan α＜0可知sin α，tan α異號，從而α為第二或第三象限的角，由＜0，可知cos α，tan α異號．從而α為第三或第四象限角．綜上，α為第三象限角． 答案：C 2、 已知一扇形的圓心角為α(α＞0)，所在圓的半徑為R. (1)若α＝60，R＝10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積； (2)若扇形的周長是一定值C(C＞0)，當(dāng)α為多少弧度時，該扇形有最大面積？ 解　(1)設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓，則 α＝60＝，R＝10，l＝10＝(cm)， S弓＝S扇－S△＝10－102sin ＝π－＝50(cm2)． (2)法一　扇形周長C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝， ∴S扇＝αR2＝α2 ＝α＝≤. 當(dāng)且僅當(dāng)α2＝4，即α＝2 rad時，扇形面積有最大值. 法二　由已知，得l＋2R＝C， ∴S扇＝lR＝(C－2R)R＝(－2R2＋RC) ＝－2＋. 故當(dāng)R＝，l＝2R，α＝2 rad時，這個扇形的面積最大，最大值為. 3．若sin α＜0且tan α＞0，則α是(　　)． A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析　∵sin α＜0，則α的終邊落在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸；又tan α＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限． 答案　C 4．已知角θ的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點，且sin θ＝－，則y＝______. 解析　因為sin θ＝＝－，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8. 答案?。? 5. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點A，點A的縱坐標(biāo)為，則cos α＝____. 解析　因為A點縱坐標(biāo)yA＝，且A點在第二象限，又因為圓O為單位圓，所以A點橫坐標(biāo)xA＝－，由三角函數(shù)的定義可得cos α＝－. 答案?。? 6．函數(shù)y＝的定義域為________． 解析　 ∵2cos x－1≥0，∴cos x≥. 由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊的范圍(如圖陰影所示)． ∴x∈(k∈Z)． 答案　(k∈Z) 7．(1)寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式－360≤α<720的元素α寫出來： ①60；②－21. (2)試寫出終邊在直線y＝－x上的角的集合S，并把S中適合不等式－180≤α<180的元素α寫出來． 解　(1)①S＝{α|α＝60＋k360，k∈Z}，其中適合不等式－360≤α<720的元素α為－300，60，420； ②S＝{α|α＝－21＋k360，k∈Z}，其中適合不等式－360≤α<720的元素α為－21，339，699. (2)終邊在y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝k360＋120，k∈Z}∪{α|α＝k360＋300，k∈Z}＝{α|α＝k180＋120，k∈Z}，其中適合不等式－180≤α<180的元素α為－60，120. 8．已知角α的終邊經(jīng)過點(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)． A．(－2,3] B．(－2,3) C．[－2,3) D．[－2,3] 解析　由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上，所以有解得－2＜a≤3. 答案　A 9．若角α的終邊落在直線x＋y＝0上，則＋＝________. 解析　原式＝＋，由題意知角α的終邊在第二、四象限，sin α與cos α的符號相反，所以原式＝0. 答案　0 同角三角函數(shù)關(guān)系式 1、 (1)已知tan α＝2，則＝___________， 4sin2 α－3sin αcos α－5cos2α＝________. (2)已知sin θcos θ＝，且＜θ＜，則cos θ－sin θ的值為________． 解析　(1)＝＝＝－1， 4sin2 α－3sin αcos α－5cos2α＝ ＝＝＝1. (2)當(dāng)＜θ＜時，sin θ＞cos θ， ∴cos θ－sin θ＜0， 又(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－＝， ∴cos θ－sin θ＝－. 答案　(1)－1　1　(2)－ 2、已知sin α＋cos α＝，0＜α＜π，則tan α＝______. 解析：法二　∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝2， 即1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝－， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝. ∵sin αcos α＝－＜0且0＜α＜π， ∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0， ∴sin α－cos α＝， 由得∴tan α＝－. 誘導(dǎo)公式 1、 (1)sin(－1 200)cos 1 290＋cos(－1 020)sin(－1 050)＝________. (2)設(shè)f(α)＝(1＋2sin α≠0)，則f＝________. 解析　(1)原式＝－sin 1 200cos 1 290－cos 1 020sin1 050 ＝－sin(3360＋120)cos(3360＋210)－cos(2360＋300)sin(2360＋330) ＝－sin 120cos 210－cos 300sin 330 ＝－sin(180－60)cos(180＋30)－cos(360－60)sin(360－30) ＝sin 60cos 30＋cos 60sin 30＝＋＝1. (2)∵f(α)＝ ＝＝＝， ∴f＝＝ ＝＝. 答案　(1)1　(2) 2、 (1)sin(－1 071)sin 99＋sin(－171)sin(－261)＋tan(－1 089)tan(－540)＝________. (2)化簡：＝________. 解析　(1)原式＝(－sin 1 071)sin 99＋sin 171 sin 261＋tan 1 089tan 540 ＝－sin(3360－9)sin(90＋9)＋sin(180－9) sin(270－9)＋tan(3360＋9)tan(360＋180) ＝sin 9cos 9－sin 9cos 9＋tan 9tan 180 ＝0＋0＝0. (2)原式＝ ＝＝ ＝－＝－＝－1. 答案　(1)0　(2)－1 4 (1)已知sin＝，則cos＝______； (2)已知tan＝，則tan＝________. 解析　(1)∵＋＝， ∴cos＝cos＝sin＝. (2)∵＋＝π，∴tan＝ －tan＝－tan＝－. 答案　(1)　(2)－ 5、 (1)已知sin＝，則cos＝________； (2)若tan(π＋α)＝－，則tan(3π－α)＝________. 解析　(1)cos＝cos＝cos ＝－cos， 而sin＝sin＝cos＝， 所以cos＝－. (2)因為tan(π＋α)＝tan α＝－， 所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝. 答案　(1)－　(2) 簡單的三角函數(shù)計算 1、(xx浙江卷)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，則tan 2α＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C．－ D．－ 解析：法一　(直接法)兩邊平方，再同時除以 cos2 α，得3tan2 α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－，代入tan 2α＝， 綜上，tan 2α＝－.故選C. 2、已知sin θ＋cos θ＝，則sin θ－cos θ的值為(　　)． A. B．－ C. D．－ 解析：∵0＜θ＜，∴cos θ＞sin θ， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝， ∴2sin θcos θ＝， ∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－＝， ∴sin θ－cos θ＝－. 3.sin＋cos－tan＝(　　)． A．0 B. C．1 D．－ 解析　原式＝sin(4π＋)＋cos(－10π＋)－tan(6π＋) ＝sin＋cos－tan ＝＋－1＝0. 答案　A 4．已知＝5，則sin2 α－sin αcos α的值是(　　)． A. B．－ C．－2 D．2 解析　由＝5得＝5 即tan α＝2，所以sin2 α－sin αcos α＝＝＝. 答案　A 5．若sin α是5x2－7x－6＝0的根，則 ＝(　　)． 　A. B. C. D. 解析　由5x2－7x－6＝0，得x＝－或2.∴sin α＝－.∴原式＝＝＝. 答案　B 6．如果sin(π＋A)＝，那么cos的值是________． 解析　∵sin(π＋A)＝，∴－sin A＝. ∴cos＝－sin A＝. 答案　 7．已知sin＝，則cos的值為________． 解析　cos＝cos ＝－sin＝－. 答案　－ 8．已知sin＝，且－π＜α＜－，則cos＝________. 解析　∵sin＝， 又－π＜α＜－， ∴＜－α＜， ∴cos＝－＝－. 答案?。? 9．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝. (1)求sin Acos A的值； (2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形； (3)求tan A的值． 解　(1)∵sin A＋cos A＝，① ∴兩邊平方得1＋2sin Acos A＝， ∴sin Acos A＝－， (2)由sin Acos A＝－＜0，且0＜A＜π， 可知cos A＜0，∴A為鈍角，∴△ABC是鈍角三角形． (3)∵(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝1＋＝， 又sin A＞0，cos A＜0，∴sin A－cos A＞0， ∴sin A－cos A＝，② ∴由①，②可得sin A＝，cos A＝－， ∴tan A＝＝＝－. 10．(xx遼寧卷)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，則tan α＝(　　)． A．－1 B．－ C. D．1 解析　法一　因為sin α－cos α＝， 所以sin＝，所以sin＝1. 因為α∈(0，π)，所以α＝，所以tan α＝－1. 11．已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1, 則sin α的值是(　　)． A. B. C. D. 解析　由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，又sin2α＋cos2α＝1，α為銳角． 故sin α＝. 答案　C 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 1、函數(shù)y＝的定義域為________． (2)當(dāng)x∈時，函數(shù)y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________． 解析：sin x－cos x＝sin≥0，將x－視為一個整體，由正弦函數(shù)y＝sin x的圖象和性質(zhì)可知2kπ≤x－≤π＋2kπ，k∈Z， 解得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z. 所以定義域為. (2)y＝3－sin x－2cos2x ＝3－sin x－2(1－sin2x)＝2sin2 x－sin x＋1， 令sin x＝t∈， ∴y＝2t2－t＋1＝22＋，t∈， ∴ymin＝，ymax＝2. 答案　(1)　(2)　2 2、已知函數(shù)f(x)＝sin(x∈R)，下面結(jié)論錯誤的是(　　)． A．函數(shù)f(x)的最小正周期為π B．函數(shù)f(x)是偶函數(shù) C．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱 D．函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù) (2)如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點中心對稱，那么|φ|的最小值為 (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 解析　(1)f(x)＝sin＝－cos 2x，故其最小正周期為π，A正確；易知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，B正確；由函數(shù)f(x)＝－cos 2x的圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于直線x＝對稱，C錯誤；由函數(shù)f(x)的圖象易知，函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)，D正確，故選C. (2)由題意得3cos＝3cos ＝3cos＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z， ∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0， 得|φ|的最小值為. 答案　(1)C　(2)A 3、函數(shù)y＝2cos2－1是 (　　)． A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為π的偶函數(shù) C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù) 解析：y＝2cos2－1＝cos＝sin 2x為奇函數(shù)，T＝＝π. 4、函數(shù)y＝2sin(3x＋φ)的一條對稱軸為x＝，則φ＝________. 解析：由y＝sin x的對稱軸為x＝kπ＋(k∈Z)， 所以3＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 得φ＝kπ＋(k∈Z)， 又|φ|＜，∴k＝0，故φ＝. 答案　(1)A　(2) 5、設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(－2x＋φ)(0＜φ＜π)，y＝f(x)圖象的一條對稱軸是直線x＝. (1)求φ；　(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間． 解　(1)令(－2)＋φ＝kπ＋，k∈Z， ∴φ＝kπ＋，k∈Z， 又0＜φ＜π，∴φ＝. (2)由(1)得f(x)＝sin＝－sin， 令g(x)＝sin， 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 即g(x)的單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z； 由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 即g(x)的單調(diào)減區(qū)間為(k∈Z)， 故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z)； 單調(diào)減區(qū)間為(k∈Z). 6、 (xx安徽卷)已知函數(shù)f(x)＝4cos ωxsin(ω＞0)的最小正周期為π. (1)求ω的值； (2)討論f(x)在區(qū)間[0，]上的單調(diào)性． 解　(1)f(x)＝4cos ωxsin(ωx＋)＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋＝2sin(2ωx＋)＋. 因為f(x)的最小正周期為π，且ω＞0， 從而有＝π，故ω＝1. (2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋)＋. 若0≤x≤，則≤2x＋≤. 當(dāng)≤2x＋≤，即0≤x≤時，f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)≤2x＋≤，即≤x≤時，f(x)單調(diào)遞減． 綜上可知，f(x)在區(qū)間[0，]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[，]上單調(diào)遞減． 7、(xx陜西卷)已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，設(shè)函數(shù)f(x)＝ab. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在上的最大值和最小值． [規(guī)范解答]　f(x)＝(sin x，cos 2x) ＝cos xsin x－cos 2x (2分) ＝sin 2x－cos 2x ＝sin(4分) (1)f(x)的最小正周期為T＝＝＝π， 即函數(shù)f(x)的最小正周期為π. (6分) (2)∵0≤x≤， ∴－≤2x－≤. (8分) 由正弦函數(shù)的性質(zhì)，得 當(dāng)2x－＝，即x＝時，f(x)取得最大值1. 當(dāng)2x－＝－， 即x＝0時，f(0)＝－， 當(dāng)2x－＝，即x＝時，f＝， ∴f(x)的最小值為－.(11分) 因此，f(x)在上最大值是1，最小值是－.(12分) 8、已知函數(shù)f(x)＝cos＋2sinsin. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對稱軸； (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域． 解　(1)f(x)＝cos＋2sinsin ＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x) ＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x ＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin. ∴最小正周期T＝＝π， 由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)． ∴函數(shù)圖象的對稱軸為x＝＋(k∈Z)． (2)∵x∈，∴2x－∈， ∴－≤sin≤1. 即函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域為. 9．下列函數(shù)中周期為π且為偶函數(shù)的是(　　)． A．y＝sin B．y＝cos C．y＝sin D．y＝cos 解析　y＝sin＝－cos 2x為偶函數(shù)，且周期是π. 答案　A 10．已知函數(shù)f(x)＝sin －1(ω＞0)的最小正周期為，則f(x)的圖象的一條對稱軸方程是(　　)． A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 解析　依題意得，＝，|ω|＝3，又ω＞0，因此ω＝3，所以3x＋＝kπ＋，解得x＝＋，當(dāng)k＝0時，x＝. 因此函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸方程是x＝. 答案　A 11．若函數(shù)y＝cos(ω∈N*)的一個對稱中心是，則ω的最小值為(　　)． A．1 B．2 C．4 D．8 解析　依題意得cos＝0，(ω＋1)＝kπ＋，ω＝6k＋2(其中k∈Z)；又ω是正整數(shù)，因此ω的最小值是2. 答案　B 12．已知f(x)＝sin2 x＋sin xcos x，則f(x)的最小正周期和一個單調(diào)增區(qū)間分別為(　　)． A．π，[0，π] B．2π， C．π， D．2π， 解析　由f(x)＝sin2x＋sin xcos x ＝＋sin 2x ＝＋＝＋sin. ∴T＝＝π.又∵2kπ－≤2x－≤2kπ＋， ∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．故選C. 答案　C 13．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)對任意x都有f＝f，則f等于(　　)． A．2或0 B．－2或2 C．0 D．－2或0 解析　由f＝f知，函數(shù)圖象關(guān)于x＝對稱，f是函數(shù)f(x)的最大值或最小值． 答案　B 14．函數(shù)y＝lg(sin x)＋的定義域為________． 解析　要使函數(shù)有意義必須有 即解得 ∴2kπ＜x≤＋2kπ(k∈Z)， ∴函數(shù)的定義域為. 答案　(k∈Z) 15、已知函數(shù)f(x)＝(sin2 x－cos2x)－2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)設(shè)x∈，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間． 解　(1)∵f(x)＝－(cos2x－sin2 x)－2sin xcos x ＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin， ∴f(x)的最小正周期為π. (2)∵x∈，∴－≤2x＋≤π， 當(dāng)y＝sin單調(diào)遞減時，f(x)單調(diào)遞增． ∴≤2x＋≤π，即≤x≤. 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 16．已知函數(shù)f(x)＝a＋b. (1)若a＝－1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間； (2)若x∈[0，π]時，函數(shù)f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值． 解　f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b ＝asin＋a＋b. (1)當(dāng)a＝－1時，f(x)＝－sin＋b－1， 由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)， ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z)． (2)∵0≤x≤π， ∴≤x＋≤， ∴－≤sin≤1，依題意知a≠0. (ⅰ)當(dāng)a＞0時， ∴a＝3－3，b＝5. (ⅱ)當(dāng)a＜0時， ∴a＝3－3，b＝8. 綜上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8. 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用 1、已知f(x)＝sin(ω＞0)的圖象與y＝－1的圖象的相鄰兩交點間的距離為π，要得到y(tǒng)＝f(x)的圖象，只需把y＝cos 2x的圖象 (　　)． A．向左平移個單位 B．向右平移個單位 C．向左平移個單位 D．向右平移個單位 解析：依題意T＝π，∴T＝π＝，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋)，∴只需y＝cos 2x＝sin(2x＋)＝sin2(x＋) f(x)＝sin(2x＋)． 答案　B 2、已知函數(shù)y＝2sin.說明y＝2sin的圖象可由y＝sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到． 解析：法一　把y＝sin x的圖象上所有的點向左平移個單位，得到y(tǒng)＝sin的圖象；再把y＝sin的圖象上的點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝sin的圖象；最后把y＝sin的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y(tǒng)＝2sin的圖象． 法二　將y＝sin x的圖象上所有點的橫坐標(biāo)x縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝sin 2x的圖象；再將y＝sin 2x的圖象向左平移個單位，得到y(tǒng)＝sin 2＝sin的圖象；再將y＝sin的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝2sin的圖象． 3、函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分圖象 如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為________． 解析　由圖可知A＝， 法一　＝－＝，所以T＝π，故ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)， 又對應(yīng)五點法作圖中的第三個點，因此2＋φ＝π，所以φ＝，故f(x)＝sin. 法二　以為第二個“零點”，為最小值點， 列方程組解得 故f(x)＝sin. 答案　f(x)＝sin 4、(xx四川卷)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分圖象如圖所示，則ω，φ的值分別是 (　　)． A．2，－ 　　　　　 B．2，－ C．4，－ 　　　　　 D．4， 解析　由圖象知f(x)的周期T＝＝π，又T＝，ω>0，∴ω＝2.由于f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的一個最高點為，故有2＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ－，又－<φ<，∴φ＝－，選A. 答案　A 5、已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω，A>0,0<φ<)的最大值為2，最小正周期為π，直線x＝是其圖象的一條對稱軸． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)求函數(shù)g(x)＝f－f的單調(diào)遞增區(qū)間． 解　(1)由題意，得A＝2，ω＝＝2， 當(dāng)x＝時，2sin＝2， 即sin＝1，所以＋φ＝kπ＋， 解得φ＝kπ＋，又0＜φ＜，所以φ＝. 故f(x)＝2sin. (2)g(x)＝2sin－2sin ＝2sin 2x－2sin ＝2sin 2x－2 ＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z. 6、已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)為偶函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為. (1)求f的值； (2)求函數(shù)y＝f(x)＋f的最大值及對應(yīng)的x的值． 解　(1)f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ) ＝2 ＝2sin. 因為f(x)為偶函數(shù)， 則φ－＝＋kπ(k∈Z)，所以φ＝＋kπ(k∈Z)，又因為0＜φ＜π，所以φ＝， 所以f(x)＝2sin＝2cos ωx. 由題意得＝2，所以ω＝2. 故f(x)＝2cos 2x.因此f＝2cos ＝. (2)y＝2cos 2x＋2cos 2 ＝2cos 2x＋2cos＝2cos 2x－2sin 2x ＝2sin. 令－2x＝2kπ＋(k∈Z)，y有最大值2， 所以當(dāng)x＝－kπ－(k∈Z)時，y有最大值2. 7．如果函數(shù)f(x)＝sin(πx＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期為T，且當(dāng)x＝2時，f(x)取得最大值，那么(　　)． A．T＝2，θ＝ B．T＝1，θ＝π C．T＝2，θ＝π D．T＝1，θ＝ 解析　T＝＝2，當(dāng)x＝2時，由π2＋θ＝＋2kπ(k∈Z)，得θ＝－＋2kπ(k∈Z)，又0＜θ＜2π，∴θ＝. 答案　A 8．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線x＝是其圖象的一條對稱軸，則下面各式中符合條件的解析式為(　　)． A．y＝4sin B．y＝2sin＋2 C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2 解析　由題意得解得 又函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最小正周期為， 所以ω＝＝4，所以y＝2sin(4x＋φ)＋2. 又直線x＝是函數(shù)圖象的一條對稱軸， 所以4＋φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)， 故可得y＝2sin＋2符合條件，所以選D. 答案　D 9．如圖是函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)在區(qū)間上的圖象，將該圖象向右平移m(m＞0)個單位后，所得圖象關(guān)于直線x＝對稱，則m的最小值為(　　)． A. B. C. D. 解析　令f(x)＝y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)，由三角函數(shù)圖象知，T＝π＋＝π，所以＝π，所以ω＝2.因為函數(shù)f(x)過點，且0＜φ＜，所以－2＋φ＝0，所以φ＝，所以f(x)＝sin，將該函數(shù)圖象向右平移m個單位后，所得圖象的解析式是g(x)＝sin，因為函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，所以2＋－2m＝＋kπ(k∈Z)，解得m＝－(k∈Z)，又m＞0，所以m的最小值為. 答案　B 10.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ為常數(shù)，A＞0，ω＞0)在閉區(qū)間[－π，0]上的圖象如圖所示， 則ω＝________. 解析　由圖象可以看出T＝π，∴T＝π＝，因此ω＝3. 答案　3 11．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin，則下列命題： ①f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱；②f(x)的圖象關(guān)于點對稱；③f(x)的最小正周期為π，且在上為增函數(shù)；④把f(x)的圖象向右平移個單位，得到一個奇函數(shù)的圖象． 其中正確的命題為________(把所有正確命題的序號都填上)． 解析　對于①，f＝sin＝sin＝，不是最值，所以x＝不是函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸，該命題錯誤；對于②，f＝sin＝1≠0，所以點不是函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心，故該命題錯誤；對于③，函數(shù)f(x)的周期為T＝＝π，當(dāng)x∈時，令t＝2x＋∈，顯然函數(shù)y＝sin t在上為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)在上為增函數(shù)，所以該命題正確；對于④，把f(x)的圖象向右平移個單位后所對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝sin＝sin 2x，是奇函數(shù)，所以該命題正確．故填③④. 答案　③④ 12.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的周期為π，且圖象上有一個最低點為M. (1)求f(x)的解析式； (2)求使f(x)＜成立的x的取值集合． 解　(1)由題意知：A＝3，ω＝2， 由3sin＝－3, 得φ＋＝－＋2kπ，k∈Z， 即φ＝＋2kπ，k∈Z. 而0＜φ＜，所以k＝1，φ＝. 故f(x)＝3sin. (2)f(x)＜等價于3sin ＜， 即sin＜， 于是2kπ－＜2x＋＜2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－＜x＜kπ(k∈Z)， 故使f(x)＜成立的x的取值集合為. 13．已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x＋2sin2 x－1，x∈R. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的，再把所得到的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間上的值域． 解　(1)因為f(x)＝2sin xcos x＋2sin2x－1 ＝sin 2x－cos 2x＝2sin， ∴函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝π， 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， ∴－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z. (2)函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到y(tǒng)＝2sin； 再把所得到的圖象向左平移個單位長度，得到g(x)＝2sin＝2sin＝2cos 4x， 當(dāng)x∈時，4x∈， 所以當(dāng)x＝0時，g(x)max＝2， 當(dāng)x＝－時，g(x)min＝－1. ∴y＝g(x)在區(qū)間上的值域為[－1,2]． 14、定義＝a1a4－a2a3，若函數(shù)f(x)＝，則將f(x)的圖象向右平移個單位所得曲線的一條對稱軸的方程是(　　)． A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝π 解析　由定義可知，f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，將f(x)的圖象向右平移個單位得到y(tǒng)＝2sin＝2sin，由2x－＝＋kπ(k∈Z)，得對稱軸為x＝＋(k∈Z)，當(dāng)k＝－1時，對稱軸為x＝－＝. 答案　A 15．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖象上的兩個相鄰的最高點和最低點的距離為2，且過點，則函數(shù)解析式f(x)＝________. 解析　據(jù)已知兩個相鄰最高和最低點距離為2，可得＝2，解得T＝4，故ω＝＝，即f(x)＝sin，又函數(shù)圖象過點，故f(2)＝sin＝－sin φ＝－，又－≤φ≤，解得φ＝，故f(x)＝sin. 答案　sin 16．已知函數(shù)f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos 2ωx－(ω＞0)，其最小正周期為. (1)求f(x)的表達式； (2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位，再將圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，若關(guān)于x的方程g(x)＋k＝0在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍． 解　(1)f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx－ ＝sin 2ωx＋－＝sin， 由題意知f(x)的最小正周期T＝，T＝＝＝， 所以ω＝2，所以f(x)＝sin. (2)將f(x)的圖象向右平移個單位后，得到y(tǒng)＝sin的圖象；再將所得圖象所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝sin的圖象，所以g(x)＝sin， 因為0≤x≤，所以－≤2x－≤，所以g(x)∈ 又g(x)＋k＝0在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)解，即函數(shù)y＝g(x)與y＝－k在區(qū)間上有且只有一個交點，由正弦函數(shù)的圖象可知－≤－k＜或－k＝1， 解得－＜k≤或k＝－1， 所以實數(shù)k的取值范圍是∪{－1}. 17．若角α的終邊經(jīng)過點P(1，－2)，則tan 2α的值為(　　)． A．－ B. C. D．－ 解析　tan α＝＝－2， tan 2α＝＝＝. 答案　B 18．函數(shù)y＝(sin x＋cos x)(sin x－cos x)是(　　)． A．奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增 B．奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增 C．偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增 D．偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增 解析　y＝(sin x＋cos x)(sin x－cos x)＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，∴函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增． 答案　C 19．函數(shù)f(x)＝sin xsin的最小正周期為(　　)． A．4π B．2π C．π D. 解析　f(x)＝sin xsin＝sin xcos x＝sin 2x， 故最小正周期為T＝＝π. 答案　C 20．要得到函數(shù)y＝sin的圖象，只要將函數(shù)y＝sin 2x的圖象(　　)． A．向左平移單位 B．向右平移單位 C．向右平移單位 D．向左平移單位 解析　y＝sin 2xy＝sin 2＝sin. 答案　C 21、已知f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)的表達式為(　　)． A．f(x)＝2sin B．f(x)＝2sin C．f(x)＝2sin D．f(x)＝2sin 解析　由函數(shù)的部分圖象可知T＝－，則T＝，結(jié)合選項知ω>0，故ω＝＝，排除C，D；又因為函數(shù)圖象過點，代入驗證可知只有B項滿足條件． 答案　B 22．將函數(shù)f(x)＝3sin圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向右平移個單位長度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則y＝g(x)圖象的一條對稱軸是(　　)． A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 解析　將函數(shù)f(x)＝3sin圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)y＝3sin，再向右平移個單位長度，得到y(tǒng)＝3sin＝3sin，即g(x)＝3sin.當(dāng)2x－＝kπ＋時，解得x＝kπ＋，又當(dāng)k＝0時，x＝，所以x＝是一條對稱軸，故選C. 答案　C 23．已知函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，y＝f(x)的圖象與直線y＝2的兩個相鄰交點的距離等于π，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)． A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin，由題設(shè)知f(x)的最小正周期為T＝π，所以ω＝2，即f(x)＝2sin.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得，kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，故選C. 答案　C 24. 如圖所示的是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的一部分，則其函數(shù)解析式是________． 解析　由圖象知A＝1，＝－＝，得T＝2π，則ω＝1，所以y＝sin(x＋φ)． 由圖象過點，可得φ＝2kπ＋(k∈Z)， 又|φ|＜， 所以φ＝，所以所求函數(shù)解析式是y＝sin. 答案　y＝sin 25．(xx遼寧卷)設(shè)向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈. (1)若|a|＝|b|，求x的值； (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝ab，求f(x)的最大值． 解　(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1， 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 又x∈，從而sin x＝， 所以x＝. (2)f(x)＝ab＝sin xcos x＋sin2x ＝sin 2x－cos 2x＋ ＝sin＋， 當(dāng)x＝∈時，sin取最大值1. 所以f(x)的最大值為. 26．已知函數(shù)f(x)＝1＋sin xcos x. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間； (2)若tan x＝2，求f(x)的值． 解　(1)已知函數(shù)可化為f(x)＝1＋sin 2x， 所以T＝＝π， 令＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)， 則＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z)． (2)由已知f(x)＝ ＝， ∴當(dāng)tan x＝2時，f(x)＝＝. 27．已知m＝(asin x，cos x)，n＝(sin x，bsin x)，其中a，b，x∈R.若f(x)＝mn滿足f＝2，且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱． (1)求a，b的值； (2)若關(guān)于x的方程f(x)＋log2k＝0在區(qū)間上總有實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍． 解　(1)f(x)＝mn＝asin2x＋bsin xcos x. 由f＝2，得a＋b＝8.① ∵f′(x)＝asin 2x＋bcos 2x，且f′(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱， ∴f′(0)＝f′， ∴b＝a＋b，即b＝a.② 由①②得，a＝2，b＝2. (2)由(1)得f(x)＝1－cos 2x＋sin 2x ＝2sin＋1. ∵x∈， ∴－≤2x－≤， ∴－≤sin ≤1， ∴0≤2sin＋1≤3，即f(x)∈[0,3]． 又f(x)＋log2k＝0在上有解， 即f(x)＝－log2k在上有解， ∴－3≤log2k≤0，解得≤k≤1，即k∈. 函數(shù)圖像平移 1、將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象沿x軸向左平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則φ的一個可能取值為 (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D．－ [正解]　y＝sin(2x＋φ)y＝sin＝sin，則由＋φ＝＋kπ(k∈Z)，根據(jù)選項檢驗可知φ的一個可能取值為.故選B. 答案　B 2、將函數(shù)y＝sin 2x＋cos 2x的圖象向左平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式可以是 (　　)． A．y＝cos 2x＋sin 2x B．y＝cos 2x－sin 2x C．y＝sin 2x－cos 2x D．y＝sin xcos x 解析　y＝sin 2x＋cos 2x＝siny＝sin ＝sin ＝cos ＝cos 2x－sin 2x. 答案　B 3．把函數(shù)y＝sin圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)，再將圖象向右平移個單位，那么所得圖象的一條對稱軸方程為(　　)． A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ 解析　將y＝sin圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y＝sin；再將圖象向右平移個單位，得到函數(shù)y＝sin＝sin，x＝－是其圖象的一條對稱軸方程． 答案　A 4．函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移個單位后是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)在上的最小值為(　　)． A．－ B．－ C. D. 解析　函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移個單位后得到函數(shù)為f＝sin＝sin，因為此時函數(shù)為奇函數(shù)，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋kπ(k∈Z)．因為|φ|＜，所以當(dāng)k＝0時，φ＝－，所以f(x)＝sin.當(dāng)0≤x≤時，－≤2x－≤，即當(dāng)2x－＝－時，函數(shù)f(x)＝sin有最小值為sin＝－. 答案　A