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2019-2020年高二數(shù)學(xué)上冊(cè) 8.2《向量的數(shù)量積》教案（1） 滬教版 教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 1． 通過物理學(xué)中力的做功，領(lǐng)會(huì)向量的數(shù)量積的定義及幾何意義；理解向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律； 2． 領(lǐng)略猜想、論證的數(shù)學(xué)思想，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思維過程； 3． 感捂數(shù)學(xué)來自于生活實(shí)踐，數(shù)學(xué)與其它自然科學(xué)密切相關(guān)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣． 教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 重點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)的及其初步應(yīng)用 難點(diǎn)：向量的數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用 教學(xué)用具準(zhǔn)備 直尺，投影儀 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 一．情景引入 　　　　我們學(xué)過功的概念：即一個(gè)物體在力的作用下產(chǎn)生位移，那么力所做的功 ，其中表示一個(gè)什么角度？ 　　表示力的方向與位移的方向的夾角． 　　基于這種運(yùn)算的大量存在和普遍應(yīng)用，我們對(duì)上述物理意義下的“功”概念進(jìn)行抽象，就一般向量，來規(guī)定的含義. 二．學(xué)習(xí)新課 首先學(xué)習(xí)向量的夾角的概念． 1． 對(duì)于兩個(gè)非零向量，如果以為起點(diǎn)，作，那么射線的夾角叫做向量與向量的夾角，其中. O A B O O O A A A B B B ① ② ③ ④ ① 的夾角為，向量與向量方向相同； ② 的夾角為，向量與向量方向相反； 所以時(shí)，表示向量與向量平行, 記作； ③ 的夾角為； 其中當(dāng)時(shí)，表示向量與向量垂直,記作； ④ 的夾角為 規(guī)定：與其它向量的夾角可根據(jù)需要確定. 2．如果兩個(gè)非零向量的夾角為（），那么我們把叫做向量與向量的數(shù)量積，記做，即. 按數(shù)量積的定義，在力的作用下，物體產(chǎn)生位移所做的功可表示為：. 特別地,的數(shù)量積記作,讀作向量的數(shù)量平方,顯然. 規(guī)定： 零向量與任意向量的數(shù)量積為，即，． 注意： ① 兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，符號(hào)由夾角決定． ② 一種新的運(yùn)算法則，以前所學(xué)的數(shù)的運(yùn)算律、性質(zhì)不一定適合． A B C ③ 不能寫成，表示向量的另一種運(yùn)算． 例1 如圖，已知是邊長(zhǎng)為6的正三角形，求和． （課本P64例1） 解： 因?yàn)?，所? ＝ 因?yàn)? ＝ 3．?dāng)?shù)量積的幾何意義 定義：叫做向量在方向上的投影． A OO BO B1O q A OO BO B1O q A OO BO (B1)O q 注意：① 投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量． ② 當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值； 當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值； 當(dāng)為直角時(shí)投影為0； 當(dāng)時(shí)投影為； 當(dāng)時(shí)投影為． 向量的數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上投影|的乘積． 正如物理上力所做的功實(shí)際上是將力正交分解，只有在位移方向上的力做功． 思考: 向量在方向上的投影,能否由的運(yùn)算表示? 答: 根據(jù)的數(shù)量積定義可知: 由此可知向量在方向上的射影線段長(zhǎng)短 4．向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì) 對(duì)于，有 （1）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，＝ （2） 證明：設(shè)的夾角為，則， ∴ （3） 證明： 若 ， 若 ， （4） 證明：（1）如果至少有一個(gè)是，上述等式顯然成立 （2）如果都是非零向量 在平面內(nèi)取一點(diǎn)，作， ∵（即）在方向上的投影， 等于在方向上的投影和， 即： ， ∴， ∴ . 三．鞏固練習(xí) 判斷下列結(jié)論是否正確： 1．若＝0，則或; （ ） 2．若，則; （ ） 3．若為不共線向量，則; （ ） 4.不與垂直. （ ） 四．課堂小結(jié) （l）向量的數(shù)量的物理模型是力的做功; （2）＝的幾何意義; （3）的結(jié)果是實(shí)數(shù)（標(biāo)量）; （4）向量的數(shù)量積的四條運(yùn)算性質(zhì)． 五．作業(yè)布置 練習(xí)8.2(1), P67 1(1)(2)，習(xí)題8.2,P34 1(1)(2)(3) 教學(xué)設(shè)計(jì)說明及反思 本節(jié)課通過創(chuàng)設(shè)物理模型和簡(jiǎn)單實(shí)例等數(shù)學(xué)情景，使得抽象的數(shù)學(xué)概念變得具體、形象而又生動(dòng)．具體的物理概念先給數(shù)學(xué)做了鋪墊，但是在領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的同時(shí)，也對(duì)物理概念有了更加深刻的理解，促進(jìn)了對(duì)學(xué)科知識(shí)之間的融會(huì)貫通．探究新課的過程中，通過數(shù)與形的結(jié)合，深化了對(duì)向量的數(shù)量積的概念的理解，領(lǐng)悟了向量的數(shù)量積的幾何意義，整個(gè)過程一氣呵成．通過師生一起類比、聯(lián)想、猜測(cè)、推導(dǎo)、歸納、總結(jié)向量數(shù)量積運(yùn)算的性質(zhì)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膫€(gè)性和良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，訓(xùn)練思維能力，提高學(xué)習(xí)熱情和研究興趣．