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2019-2020年高二數(shù)學(xué)下 12.7《拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程》教案（1） 滬教版 　一、教學(xué)內(nèi)容分析 本節(jié)研究的是拋物線，是解析幾何基本思想方法的又一次應(yīng)用.我們從研究已經(jīng)熟悉的拋物線的性質(zhì)入手，概括出了拋物線的定義；運(yùn)用坐標(biāo)的觀點(diǎn)，選取適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求得了拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式.其重點(diǎn)和難點(diǎn)是拋物線定義的得出和求解拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程. 從二次函數(shù)圖像——拋物線上任意一點(diǎn)到已知點(diǎn)和已知定直線的距離相等著手，再去研究滿足到一個(gè)定點(diǎn)和到一條定直線的距離相等的點(diǎn)一定在拋物線上，得出拋物線的定義。這種從必要條件中尋找充要條件的想法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它可以使尋找范圍大大縮小.從研究拋物線性質(zhì)入手概括拋物線定義的過程中，對坐標(biāo)軸的選取作了提示，不僅可以免除硬性規(guī)定坐標(biāo)系的選法，而且還可以發(fā)展學(xué)生的聯(lián)想對比能力. 　在求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程這一過程中，可以使學(xué)生體會解析幾何將幾何問題代數(shù)化的基本思想，培養(yǎng)用已知解釋未知以及分析、解決問題的能力. 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 1、掌握拋物線的定義，掌握拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程. 2、通過對拋物線概念和標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，體驗(yàn)解析法，形成分析和概括的能力. 3、通過對拋物線問題的分析和解決，形成良好的學(xué)習(xí)和思維習(xí)慣，初步形成勇于探索、嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的科學(xué)態(tài)度. 三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 拋物線的概念、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.數(shù)形結(jié)合思想方法在概念理解與解題中的運(yùn)用. 四、教學(xué)流程設(shè)計(jì) 二次函數(shù)的性質(zhì) 課堂小結(jié)并布置作業(yè) 拋物線的定義 確立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 五、教學(xué)過程 （一）拋物線的定義 1．引入課題 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓、橢圓、雙曲線三種曲線，今天學(xué)習(xí)第四種曲線——拋物線.同學(xué)們對拋物線已有了哪些認(rèn)識？在物理中，拋物線被認(rèn)為是拋射物體的運(yùn)動軌跡，在函數(shù)中，二次函數(shù)的圖像也被稱之為拋物線. 問題1：拋物線是滿足什么條件的動點(diǎn)的軌跡？ 我們知道圓、橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)都是由距離刻畫的，那么拋物線上的點(diǎn)的性質(zhì)能否用距離來刻畫呢？ 我們可以從考察最簡單的二次函數(shù)的圖像入手來探索這個(gè)問題. 問題1．1二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)具有怎樣的幾何性質(zhì)？ 2 發(fā)現(xiàn)，圖像上的點(diǎn)到定點(diǎn)F()的距離等于到直線y=的距離. 那么，到定點(diǎn)F()的距離與直線y=的距離相等的點(diǎn)是否都在二次函數(shù)的圖像上？因?yàn)橐陨细鞑娇赡嫠源鸢甘强隙ǖ? 問題1．2 是否所有的二次函數(shù)的圖像都具有類似的幾何性質(zhì)？ 我們只要看 ，能否作類似的變形即可. ，可以看到，拋物線y=上所有點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線相等. 問題1．3 函數(shù)圖像上的點(diǎn)呢？ 由的圖像平移而得.其幾何特性不變. 所以拋物線上任意一點(diǎn)到已知定點(diǎn)和定直線的距離相等. 由此，我們能不能說拋物線是到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡呢？ 目前尚不能.軌跡必須既滿足純粹性，又滿足完備性，這里知證明了拋物線上的點(diǎn)所具有的幾何性質(zhì)，還未證明其完備性.（證略） A F K L 我們還可以作一個(gè)直觀的演示：把一根直尺固定在畫圖板內(nèi)直線的位置上；把一塊三角板的一條直角邊緊靠著直尺的邊緣；把一條繩子的一端固定在三角板的另一條直角邊上的一點(diǎn)A，截取繩子的長等于從點(diǎn)A到直線的距離AC，并且把繩子的另一端固定在畫圖板的一點(diǎn)F；用一支粉筆扣著繩子，緊靠著三角板的這條直角邊把繩子繃緊，然后使三角板緊靠著直尺左右滑動，這樣粉筆就描出一條曲線. 問題1．4能否從幾何的角度來概括拋物線定義？ 定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線（定點(diǎn)F不在定直線上）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線. 思考：如果定點(diǎn)F在定直線上，動點(diǎn)的軌跡是什么？ （二）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 問題2 如何求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程？ 設(shè)定點(diǎn)F到定直線的距離為（定點(diǎn)不在定直線上），下面，我們來求拋物線的方程. 問題2.1 首先要建立直角坐標(biāo)系，如何建立直角坐標(biāo)系？ 以對稱軸為x軸，原點(diǎn)定在何處？由學(xué)生思考：可能出現(xiàn)的結(jié)果： F F F (1) (2) (3) 可供選擇的原點(diǎn)的位置：一、準(zhǔn)線與對稱軸交點(diǎn)，二、焦點(diǎn)，三、前述兩點(diǎn)的中點(diǎn). 問題2.2如何分別求出不同坐標(biāo)系下拋物線方程?（注意求軌跡方程的五個(gè)步驟） （1）以準(zhǔn)線為y軸： （2）以焦點(diǎn)為原點(diǎn)： （3）以頂點(diǎn)為原點(diǎn)： （1）和（2）中的方程都含有常數(shù)項(xiàng)，而（3）的形式更簡單. 我們按上述第三種方法（如圖３），取經(jīng)過且垂直于準(zhǔn)線的直線為軸，軸與相交于，以線段的中垂線為軸，且使位于軸正半軸，建立直角坐標(biāo)系，所得到的方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.其中是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離. 問題2.3 頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸，焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸.你能寫出這三種情況下拋物線的方程嗎？除了按定義推導(dǎo)外，有沒有簡單的方法？ 選擇焦點(diǎn)在y正半軸，定點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，求它的方程. （1） （2）坐標(biāo)變換. 對于，若是將它的坐標(biāo)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到的拋物線的方程：. 同理也可以求出其它情況，完成下列表格： 標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形 頂點(diǎn) 對稱軸 焦點(diǎn) 準(zhǔn)線 (0,0) x軸 (,0) (0,0) x軸 (-,0) (0,0) y軸 (0, ) (0,0) y軸 (0,-) 我們把上述四種位置的拋物線方程都稱為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 由列表知，若給出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，就可以找到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，反之，若拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，已知焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程（取其一）就可以寫出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程. 問題2.4 回到最初的問題，y=x222222的圖像是怎樣的拋物線呢？ y=x222222的圖像是頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上的拋物線。請學(xué)生寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程. 鞏固練習(xí)：如果將方程改為y=-2x2呢？寫出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程.如果該曲線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是4，試問，它到y(tǒng)軸的距離是多少？你能求出它的坐標(biāo)嗎？ （三）小結(jié)與作業(yè) 1） 小結(jié) 回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，請學(xué)生作一小結(jié). 我們從一個(gè)熟悉的二次函數(shù)出發(fā)，通過探究二次函數(shù)的圖像的幾何特性，學(xué)習(xí)了拋物線的定義，為拋物線建立了四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程.為什么把這種性質(zhì)的曲線稱為拋物線呢？因?yàn)閽伾湮矬w的軌跡也具有這種性質(zhì). 2） 習(xí)題冊1，2，3，4