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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第九課時 二倍角的正弦、余弦、正切教案（3） 蘇教版必修4 教學(xué)目標： 靈活應(yīng)用和、差、倍角公式，掌握和差化積與積化和差的方法；培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系變化的觀點，提高學(xué)生的思維能力. 教學(xué)重點： 和角化歸的二倍角公式的變形式的理解與應(yīng)用. 教學(xué)難點： 二倍角公式的變形式的靈活應(yīng)用. 教學(xué)過程： Ⅰ.課題導(dǎo)入 現(xiàn)在我們進一步探討和角、差角、倍角公式的應(yīng)用. 先看本章開始所提問題，在章頭圖中，令∠AOB＝θ，則AB＝asinθ，OA＝acosθ，所以矩形ABCD的面積 S＝asinθ2acosθ＝a22sinθcosθ＝a2sin2θ≤a2 當sin2θ＝1，即2θ＝90，θ＝45時，a2sin2θ＝a2＝S 不難看出，這時A、D兩點與O點的距離都是a，矩形的面積最大，于是問題得到解決. Ⅱ.講授新課 ［例1］求證sin2＝ 分析：此等式中的α可作為的2倍. 證明：在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中以α代替2α，以代替α，即得 cosα＝1－2sin2 ∴sin2＝ 請同學(xué)們試證以下兩式: (1)cos2＝ (2)tan2＝ 證明：(1)在倍角公式cos2α＝2cos2α－1中以α代替2α、以代替α， 即得cosα＝2cos2－1， ∴cos2＝ (2)由tan2＝ sin2＝ cos2＝ 得tan2＝ 這是我們剛才所推證的三式，不難看出這三式有兩個共同特點： (1)用單角的三角函數(shù)表示它們的一半即半角的三角函數(shù)； (2)由左式的“二次式”轉(zhuǎn)化為右式的“一次式”(即用此式可達到“降次”的目的). 這一組式子也可稱為半角公式，但不要求大家記憶，只要理解并掌握這種推證方法. 另外，在這三式中，如果知道cosα的值和角的終邊所在象限，就可以將右邊開方，從而求得sin、cos與tan. 下面，再來看一例子. ［例2］求證：sinαcosβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］ 分析：只要將S(α＋β)、S(α－β)公式相加，即可推證. 證明：由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ① sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ ② ①＋②得： sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ 即：sinαcosβ＝［sin(α＋β)＋sin(α－β)］ 請同學(xué)們試證下面三式： (1)cosαsinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］ (2)cosαcosβ＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］ (3)sinαsinβ＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］ 證明：(1)由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ① sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ ② ①－②得：sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cosαsinβ 即：cosαsinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］ (2)由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ① cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ② ①＋②得：cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cosαcosβ 即：cosαcosβ＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］ (3)由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ① cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ② ①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ 即：sinαsinβ＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］ 不難看出，這一組式子也有一共同特點，即，左式均是乘積形式，右式均為和差形式，利用這一式可將乘積形式轉(zhuǎn)化為和差形式，也可稱為積化和差公式. 和差形式是否可以化為乘積的形式呢?看這一例子. ［例3］求證sinθ＋sin＝2sincos分析：θ可有＋代替， ＝－ 證明：左式＝sinθ＋sin ＝sin［＋］＋sin［－］ ＝sincos＋cossin＋sincos－cossin ＝2sincos＝右邊 請同學(xué)們再證下面三式. (1)sinθ－sin＝2cossin； (2)cosθ＋cos＝2coscos； (3)cosθ－cos＝－2sinsin. 證明：(1)令θ＝＋，＝－ 則左邊＝sinθ－sin ＝sin［＋］－sin［－］ ＝sincos＋cossin－sincos＋cossin ＝2cossin＝右邊 (2)左邊＝cosθ＋cos ＝cos［＋］＋cos［－］ ＝coscos－sinsin＋coscos＋sinsin ＝2coscos＝右邊 (3)左邊＝cosθ－cos ＝cos［＋］－cos［－］ ＝coscos－sinsin－coscos－sinsin ＝－2sinsin＝右邊. 這組式子的特點是左式為和差形式，右式為積的形式，所以這組式子也可稱為和差化積公式，只要求掌握這種推導(dǎo)方法，不要求記憶. Ⅲ.課堂練習(xí) 1.已知α、β為銳角，且3sin2α＋2sin2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0.求證：α＋2β＝ 證法一：由已知得3sin2α＝cos2β ① 3sin2α＝2sin2β ② ①②得tanα＝＝＝tan（－2β） ∵α、β為銳角，∴0＜β＜，0＜2β＜π，－π＜－2β＜0， ∴－＜－2β＜ ∴α＝－2β，α＋2β＝ 證法二：由已知可得： 3sin2α＝cos2β，3sin2α＝2sin2β ∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β ＝cosα3sin2α－sinαsin2α＝3sin2αcosα－sinα3sinαcosα＝0 又由α＋2β∈(0，) ∴α＋2β＝ 證法三：由已知可得 ①② ∴sin(α＋2β)＝sinαcos2β＋cosαsin2β ＝sinα3sin2α＋cosαsin2α＝3sinα(sin2α＋cos2α)＝3sinα 又由②，得3sinαcosα＝sin2β ③ ①2＋③2，得9sin4α＋9sin2αcos2α＝1 ∴sinα＝，即sin(α＋2β)＝1 又0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝ 評述：一般地，若所求角在(0，π)上，則一般取此角的余弦較為簡便；若所求角在(－，)上，則一般取此角的正弦較為簡便；當然，若已知條件與正切函數(shù)關(guān)系比較密切，也可考慮取此角的正切. 2.在△ABC中，sinA是cos(B＋C)與cos(B－C)的等差中項，試求(1)tanB＋tanC的值. (2)證明tanB＝(1＋tanC)cot(45＋C) (1)解：△ABC中，sinA＝sin(B＋C) ∴2sin(B＋C)＝cos(B＋C)＋cos(B－C) ∴2sinBcosC＋2cosBsinC＝2cosBcosC ∵cosBcosC≠0 ∴tanB＋tanC＝1 (2)證明：又由上：tanβ＝1－tanC ＝(1＋tanC) ＝(1＋tanC)tan(45－C)＝(1＋tanC)cot(45＋C) Ⅳ.課時小結(jié) 通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，要掌握推導(dǎo)積化和差、和差化積公式的方法，雖不要求記憶，但要知道它們的互化關(guān)系.另外，要注意半角公式的推導(dǎo)與正確使用.當然，這些都是在熟練掌握二倍角公式的基礎(chǔ)上完成的. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P111習(xí)題 7、8、10. 二倍角的正弦、余弦、正切 1．已知sinα＝，2π＜α＜3π，那么sin＋cos等于 （ ） A. B.－ C. D.－ 2．sin10sin30sin50sin70的值是 （ ） A. B. C. D. 3．已知f(sinx)＝cos2x，則f(x)等于 （ ） A.2x2－1 B.1－2x2 C.2x D.－2x 4．設(shè)sinα∶sin＝8∶5，則cosα等于 （ ） A. B. C. D.1 5．（sin＋cos)(sin－cos)＝ . 6．化簡cos(－α)cos（＋α)＝ . 7．sin2－＝ . 8．＝ . 9．已知cos2α＝，α∈(0， )，sinβ＝－，β∈(π， )，求cos(α＋β). 10．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，求cos的值. 11．已知sin(α＋)＝，cos(－β)＝，且－＜α＜，＜β＜，求cos(α－β). 二倍角的正弦、余弦、正切答案 1．D 2．A 3．B 4．B 5．－ 6．cos2α 7．－ 8． 9．已知cos2α＝，α∈(0， )，sinβ＝－，β∈(π， )，求cos(α＋β). 解：由α∈(0， )得sinα＝＝，cosα＝ ∵β∈(π， )， ∴cosβ＝－＝－ 代入cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ＝(－)－(－)＝－ 10．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，求cos的值. 兩式平方相加，得1＋1＋2（cosαcosβ＋sinαsinβ)＝＋＝ ∴cos(α－β)＝－，cos2＝＝＝ ∴cos＝ 11．已知sin(α＋)＝，cos(－β)＝，且－＜α＜，＜β＜，求cos(α－β). ∵－＜α＜，∴＜α＋＜π ∴cos(α＋)＝－＝－ ∵＜β＜，∴－＜－β＜0 ∴sin(－β)＝－＝－ ∴cos(α－β)＝－cos［(α＋)＋(－β)］ ＝sin(α＋)sin(－β)－cos(α＋)cos(－β)＝(－)－(－)＝.