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2019-2020年高中數(shù)學(xué)備課資料 1.1集合的含義與表示 新人教A版必修1 ［備選例題］ 【例1】判斷下列集合是有限集還是無限集,并用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎? (1)被3除余1的自然數(shù)組成的集合; (2)由所有小于20的既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的正整數(shù)組成的集合; (3)二次函數(shù)y=x2+2x-10的圖象上的所有點(diǎn)組成的集合; (4)設(shè)a、b是非零實(shí)數(shù),求y=的所有值組成的集合. 思路分析：本題主要考查集合的表示法和集合的分類.用列舉法與描述法表示集合時(shí),一要分清元素是什么,二要明確元素滿足的條件是什么. 解：(1)被3除余1的自然數(shù)有無數(shù)個(gè),這些自然數(shù)可以表示為3n+1(n∈N).用描述法表示為{x|x=3n+1,n∈N}. (2)由題意得滿足條件的正整數(shù)有:3,5,7,11,13,17,19.則此集合中的元素有7個(gè),用列舉法表示為{3,5,7,11,13,17,19}. (3)滿足條件的點(diǎn)有無數(shù)個(gè),則此集合中有無數(shù)個(gè)元素,可用描述法來表示.通常用有序數(shù)對(duì)(x,y)表示點(diǎn),那么滿足條件的點(diǎn)組成的集合表示為{(x,y)|y=x2+2x-10}. (4)當(dāng)ab<0時(shí),y==-1;當(dāng)ab>0時(shí),則a>0,b>0或a<0,b<0. 若a>0,b>0,則有y==3;若a<0,b<0,則有y==-1. ∴y=的所有值組成的集合共有兩個(gè)元素-1和3.則用列舉法表示為{-1,3}. 【例2】定義A-B={x|x∈A,xB},若M={1,2,3,4,5},N={2,3,6},試用列舉法表示集合N-M. 分析:應(yīng)用集合A-B={x|x∈A,xB}與集合A、B的關(guān)系來解決.依據(jù)定義知N-M就是集合N中除去集合M和集合N的公共元素組成的集合.觀察集合M、N,它們的公共元素是2,3.集合N中除去元素2,3還剩下元素6,則N-M={6}. 答案：{6}. 設(shè)計(jì)方案（二） 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 思路1.在初中代數(shù)不等式的解法一節(jié)中提到:一般地,一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成這個(gè)不等式的解的集合,簡(jiǎn)稱這個(gè)不等式的解集.不等式解集的定義中涉及到“集合”,那么,集合的含義是什么呢?這就是我們這一堂課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.今天我們開始學(xué)習(xí)集合,引出課題. 思路2.開場(chǎng)白:集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言,它可以簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容.這個(gè)詞聽起來比較陌生,其實(shí)在初中我們已經(jīng)有所接觸,比如自然數(shù)集、有理數(shù)集,一元一次不等式x-3>5的解集,這些都是集合.還有,我們學(xué)過的圓的定義是什么？(提問學(xué)生)圓是到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.接著點(diǎn)出課題. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題 教師利用多媒體設(shè)備向?qū)W生投影出下面實(shí)例,這5個(gè)實(shí)例的共同特征是什么? (1)1~20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù); (2)我國古代的四大發(fā)明; (3)所有的安理會(huì)常任理事國; (4)所有的正方形; (5)北京大學(xué)xx年9月入學(xué)的全體學(xué)生. 活動(dòng)：教師組織學(xué)生分小組討論,每個(gè)小組選出一位同學(xué)發(fā)表本組的討論結(jié)果,在此基礎(chǔ)上,師生共同概括出5個(gè)實(shí)例的特征,并給出集合的含義. 引導(dǎo)過程: ①一般地,指定的某些對(duì)象的全體稱為集合(簡(jiǎn)稱為集),集合中的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素. ②集合常用大寫字母A,B,C,D,…表示,元素常用小寫字母a,b,c,d,…表示. ③集合的表示法:a.自然語言(5個(gè)實(shí)例);b.字母表示法. ④集合元素的性質(zhì):a.確定性:即任給一個(gè)元素和一個(gè)集合,那么這個(gè)元素和這個(gè)集合的關(guān)系只有兩種:這個(gè)元素要么屬于這個(gè)集合,要么不屬于這個(gè)集合;b.互異性:一個(gè)給定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的;c.無序性:集合中的元素是沒有順序的. ⑤集合相等:如果兩個(gè)集合中的元素完全相同,那么這兩個(gè)集合是相等的. ⑥元素與集合的關(guān)系:“屬于”和“不屬于”分別用“∈”和“”表示. 元素確定性的符號(hào)語言表述為:對(duì)任意元素a和集合A,要么a∈A,要么aA. ⑦在初中我們學(xué)過了一些數(shù)的集合,國際標(biāo)準(zhǔn)化組織(ISO)制定了常用數(shù)集的記法: 自然數(shù)集(包含零):N,正整數(shù)集:N*(N+),整數(shù)集:Z,有理數(shù)集:Q,實(shí)數(shù)集:R. 因此字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,否則會(huì)出現(xiàn)混亂的局面. 提出問題 (1)請(qǐng)列舉出“小于5的所有自然數(shù)組成的集合A”. (2)你能寫出不等式2-x>3的所有解嗎？怎樣表示這個(gè)不等式的解集？ 活動(dòng)：學(xué)生回答后,教師指出: ①在數(shù)學(xué)中,為書寫規(guī)范,我們把封閉曲線簡(jiǎn)化為一個(gè)大括號(hào),然后把元素一一列舉出來,元素與元素之間用逗號(hào)隔開寫在大括號(hào)內(nèi)來表示這個(gè)集合.這種表示集合的方法稱為列舉法.如本例可表示為A={0,1,2,3,4}. ②描述法:將集合的所有元素都具有的性質(zhì)(滿足的條件)表示出來,寫成{x|p(x)}的形式.其中x為元素的一般特征,p(x)為x滿足的條件.如數(shù)集常用{x|p(x)}表示,點(diǎn)集常用{(x,y)|p(x,y)}表示. 應(yīng)用示例 思路1 1.課本第3頁例1. 思路分析：用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)明確集合中的元素,再寫在大括號(hào)內(nèi). 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合表示法中的列舉法.如果一個(gè)集合是有限集,并且元素的個(gè)數(shù)較少時(shí),通常選擇列舉法表示,其特點(diǎn)是非常顯明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;列舉法表示集合的步驟:(1)用字母表示集合;(2)明確集合中的元素;(3)把集合中所有元素寫在大括號(hào)“{}”內(nèi),并寫成A={……}的形式. 變式訓(xùn)練 請(qǐng)?jiān)囈辉囉昧信e法表示下列集合: (1)A={x∈N|且∈N}; (2)B={y|y=-x2+6,x∈N,y∈N}; (3)C={(x,y)|y=-x2+6,x∈N,y∈N}. 分析:本題考查列舉法與描述法的相互轉(zhuǎn)化.明確各個(gè)集合中的元素后再寫在大括號(hào)內(nèi). (1)集合A中元素x滿足均為自然數(shù); (2)集合B中y值為函數(shù)y=-x2+6的函數(shù)值的集合; (3)集合C中元素為點(diǎn),拋物線上橫、縱坐標(biāo)均為自然數(shù)的點(diǎn). 答案：(1)A={0,6,8}; (2)B={2,5,6}; (3)C={(0,6),(1,5),(2,2)}. 2.課本第4頁例2. 思路分析：本題重點(diǎn)學(xué)習(xí)用描述法表示集合.用一個(gè)小寫英文字母表示集合中的元素,作為集合中元素的代表符號(hào),找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用數(shù)學(xué)符號(hào)來表達(dá),然后寫在大括號(hào)“{}”內(nèi). 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合的表示方法,以及應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力;描述法表示集合的步驟:(1)用字母分別表示集合和元素,(2)用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)集合元素的共同特征;(3)在大括號(hào)內(nèi)先寫上集合中元素的代表符號(hào)及取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.并寫成A={…|…}的形式;描述法適合表示有無數(shù)個(gè)元素的集合,當(dāng)集合中的元素個(gè)數(shù)較少時(shí),通常用列舉法表示. 變式訓(xùn)練 課本P5練習(xí)2. 思路2 1.下列所給對(duì)象不能構(gòu)成集合的是( ) A.一個(gè)平面內(nèi)的所有點(diǎn) B.所有大于零的正數(shù) C.某校高一(4)班的高個(gè)子學(xué)生 D.某一天到商場(chǎng)買過貨物的顧客 思路分析：本題考查集合中元素的確定性.由集合的含義,可知組成集合的元素必須是明確的,不能模棱兩可.在A中對(duì)于任何一個(gè)點(diǎn)要么在這個(gè)平面內(nèi),要么不在這個(gè)平面內(nèi),因而它可以組成一個(gè)集合;在B中由于大于零的正數(shù)很明確,因此B也能組成一個(gè)集合;C中由于“高個(gè)子”沒有一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn),因而不能判定一個(gè)學(xué)生到底是不是高個(gè)子,故它不能組成集合;而D中對(duì)于任何一個(gè)顧客在這一天是否到過某商場(chǎng),以及是否買過貨物是非常明確的,因此它也能組成一個(gè)集合. 答案：C 變式訓(xùn)練 下列各組對(duì)象中不能構(gòu)成集合的是( ) A.高一(1)班全體女生 B.高一(1)班全體學(xué)生家長(zhǎng) C.高一(1)班開設(shè)的所有課程 D.高一(1)班身高較高的男同學(xué) 分析:判斷所給對(duì)象能否構(gòu)成集合的問題,只需根據(jù)構(gòu)成集合的條件,即集合中元素的確定性便可以解決.因?yàn)锳、B、C中所給對(duì)象都是確定的,從而可以構(gòu)成集合;而D中所給對(duì)象不確定,原因是找不到衡量學(xué)生身高較高的標(biāo)準(zhǔn),故不能構(gòu)成集合.若將D中“身高較高的男同學(xué)”改為“身高175 cm以上的男同學(xué)”,則能構(gòu)成集合. 答案：D 2.用另一種形式表示下列集合: (1){絕對(duì)值不大于3的整數(shù)}; (2){所有被3整除的數(shù)}; (3){x|x=|x|,x∈Z且x<5}; (4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈Z}; (5){(x,y)|x+y=6,x>0,y>0,x∈Z,y∈Z}. 思路分析：用列舉法與描述法表示集合時(shí),一要分清元素是什么,二要明確元素滿足的條件是什么. 答案：(1){絕對(duì)值不大于3的整數(shù)}還可以表示為{x||x|≤3,x∈Z},也可表示為{-3,-2,-1,0,1,2,3}. (2){x|x=3n,n∈Z}. (3)∵x=|x|,∴x≥0. 又∵x∈Z且x<5, ∴{x|x=|x|,x∈Z且x<5}還可以表示為{0,1,2,3,4}. (4){-2}. (5){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}. 變式訓(xùn)練 用適當(dāng)?shù)男问奖硎鞠铝屑? (1)絕對(duì)值不大于3的整數(shù)組成的集合; (2)所有被3整除的數(shù)組成的集合; (3)方程(3x-5)(x+2)(x2+3)=0實(shí)數(shù)解組成的集合; (4)一次函數(shù)y=x+6圖象上所有點(diǎn)組成的集合. 分析:元素較少的有限集宜采用列舉法;對(duì)無限集或元素較多的有限集宜采用描述法. 答案：(1){x||x|≤3,x∈Z}或{-3,-2,-1,0,1,2,3}; (2){x|x=3n,n∈Z}; (3){,-2}; (4){(x,y)|y=x+6}. 3.已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},若A中至少有一個(gè)元素,求a的取值范圍. 思路分析：對(duì)于方程ax2-3x+2=0,a∈R的解,要看這個(gè)方程左邊的x2的系數(shù),a=0和a≠0方程的根的情況是不一樣的,則集合A的元素也不相同,所以首先要分類討論. 解：當(dāng)a=0時(shí),原方程為-3x+2=0x=,符合題意; 當(dāng)a≠0時(shí),方程ax2-3x+2=0為一元二次方程,則解得a≠0且a≤. 綜上所得a的取值范圍是{a|a≤}. 4.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑? (1)方程組的解集; (2)1000以內(nèi)被3除余2的正整數(shù)所組成的集合; (3)直角坐標(biāo)平面上在第二象限內(nèi)的點(diǎn)所組成的集合; (4)所有正方形; (5)直角坐標(biāo)平面上在直線x=1和x=-1的兩側(cè)的點(diǎn)所組成的集合. 分析:本題考查集合的表示方法.所謂適當(dāng)?shù)谋硎痉椒?就是較簡(jiǎn)單、較明了的表示方法.由于方程組的解為x=4,y=-2.故(1)宜用列舉法;(2)中盡管是有限集,但由于它的元素個(gè)數(shù)較多,所以用列舉法表示是不明智的,故用描述法;(3)和(5)也宜用描述法;而(4)則宜用列舉法為好. 解：(1){(4,-2)}; (2){x|x=3k+2,k∈N且x<1000}; (3){(x,y)|x<0且y>0}; (4){正方形}; (5){(x,y)|x<-1或x>１}. 知能訓(xùn)練 課本P5練習(xí)1、2. 拓展提升 1.已知A={x∈R|x=,abc≠0},用列舉法表示集合A. 分析:解決本題的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值符號(hào),需分類討論. 解：題目中x的取值取決于a、b、c的正負(fù)情況,可分成以下幾種情況討論: (1)a、b、c全為正時(shí),x=7; (2)a、b、c兩正一負(fù)時(shí),x=-1; (3)a、b、c一正兩負(fù)時(shí),x=-1; (4)a、b、c全為負(fù)時(shí),x=-1. ∴A={7,-1}. 注意：(2)、(3)中又包括多種情況(a、b、c各自的正負(fù)情況),解題時(shí)應(yīng)考慮全面. 2.已知集合C={x|x=a+b,a∈A,b∈B}. (1)若A={0,1,2,3},B={6,7,8,9},求集合C中所有元素之和S; (2)若A={0,1,2,3,4,…,2 005},B={5,6,7,8,9},試用代數(shù)式表示出集合C中所有元素之和S; (3)聯(lián)系高斯求S=1+2+3+4+…+99+100的方法,試求出(2)中的S. 思路分析：先用列舉法寫出集合C,然后解決各個(gè)小題. 答案：(1)列舉法表示集合C={6,7,8,9,10,11,12},進(jìn)而易求得S=6+7+8+9+10+11+12=63. (2)列舉法表示集合C={5,6,7,…,2 013,2 014},由此可得S=5+6+7+…+2 013+2 014. (3)高斯求S=1+2+3+4+…+99+100時(shí),利用1+100=2+99=3+98=…=50+51=101,進(jìn)而得S=1+2+3+4+…+99+100=10150=5 050. 本題(2)中S=5+6+7+…+2 013+2 014=2 0191 005=2 029 095. 課堂小結(jié) 在師生互動(dòng)中,讓學(xué)生了解或體會(huì)下列問題: (1)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)過哪些知識(shí)內(nèi)容? (2)你認(rèn)為學(xué)習(xí)集合有什么意義？ (3)選擇集合的表示法時(shí)應(yīng)注意些什么? 設(shè)計(jì)感想 本節(jié)課是集合的起始課,采用教師啟發(fā)引導(dǎo),學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法,通過創(chuàng)設(shè)情境,引導(dǎo)探究,師生交流,最終形成概念,獲得方法. 作業(yè) 1.課本P11習(xí)題1.1A組4. 2.元素與集合的關(guān)系有多少種？如何表示？類似地集合與集合間的關(guān)系又有多少種呢？如何表示？請(qǐng)同學(xué)們通過預(yù)習(xí)課本來解答.