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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 第四課時(shí) 向量的數(shù)乘（一）教案 蘇教版必修4 教學(xué)目標(biāo)： 掌握實(shí)數(shù)與向量積的定義，理解實(shí)數(shù)與向量積的幾何意義，掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律，理解兩個向量共線的條件，能夠運(yùn)用兩向量共線條件判定兩向量是否平行. 教學(xué)重點(diǎn)： 實(shí)數(shù)與向量積的定義；實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算律； 教學(xué)難點(diǎn)： 對向量共線的理解. 教學(xué)過程： Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 前面兩節(jié)課，我們一起學(xué)習(xí)了向量加減法運(yùn)算.這一節(jié)，我們將在加法運(yùn)算基礎(chǔ)上研究相同向量和的簡便計(jì)算及其推廣. Ⅱ.講授新課 在代數(shù)運(yùn)算中，a＋a＋a＝3a，故實(shí)數(shù)乘法可以看成是相同實(shí)數(shù)加法的簡便計(jì)算方法，所以相同向量的求和運(yùn)算也有類似的簡便計(jì)算. 已知非零向量a，我們作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a). 由圖可知，＝＋＋＝a＋a＋a，我們把a(bǔ)＋a＋a記作3a，即＝3a，顯然3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度的3倍，即｜3a｜＝3｜a｜. 同樣，由圖可知，＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)，我們把(－a)＋(－a)＋(－a)記作－3a，即＝－3a，顯然－3a的方向與a的方向相反，－3a的長度是a的長度的3倍，即｜－3a｜＝3｜a｜. 上述過程推廣后即為實(shí)數(shù)與向量的積. 1.實(shí)數(shù)與向量的積 實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，其長度和方向規(guī)定如下： (1)｜λa｜＝｜λ｜｜a｜ (2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λ a與a同向；當(dāng)λ＜0時(shí)，λ a與a反向；當(dāng)λ＝0時(shí)，λ a＝0. 根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義，我們可以驗(yàn)證下面的運(yùn)算律. 2.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律 (1)λ (μa)＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa (3)λ (a＋b)＝λa＋λb 說明：對于運(yùn)算律的驗(yàn)證要求學(xué)生通過作圖來進(jìn)行. 3.向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實(shí)數(shù)λ，使b＝λa. 說明：(1)推證過程引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)； (2)可讓學(xué)生思考把“非零向量”的“非零”去掉后，是否正確，目的是通過0與任意向量的平行來加強(qiáng)學(xué)生對于充要條件的認(rèn)識. 下面我們通過例題分析來進(jìn)一步熟悉向量與實(shí)數(shù)積的定義、運(yùn)算律及兩向量共線的充要條件的應(yīng)用. ［例1］若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n. 分析：此題可把已知條件看作向量m、n的方程，通過方程組的求解獲得m、n. 解：記3m＋2n＝a ① m－3n＝b ② 3②得3m－9n＝3b ③ ①－③得11n＝a－3b. ∴n＝a－b ④ 將④代入②有：m＝b＋3n＝a＋b 評述：在此題求解過程中，利用了實(shí)數(shù)與向量的積以及它所滿足的交換律、結(jié)合律，從而解向量的二元一次方程組的方法與解實(shí)數(shù)的二元一次方程組的方法一致. ［例2］凸四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)分別為E、F，求證＝ (＋). 證法一：構(gòu)造三角形，使EF作為三角形中位線，借助于 三角形中位線定理解決. 過點(diǎn)C在平面內(nèi)作＝，則四邊形ABGC是平行 四邊形，故F為AG中點(diǎn). ∴EF是△ADG的中位線， ∴EFDG，∴＝. 而＝＋＝＋， ∴＝ (＋). 證法二：創(chuàng)造相同起點(diǎn)，以建立向量間關(guān)系 如圖，連EB，EC，則有＝＋， ＝＋，又∵E是AD之中點(diǎn)， ∴有＋＝0. 即有＋＝＋； 以與為鄰邊作平行四邊形EBGC，則由F是BC之中點(diǎn)，可得F也是EG之中點(diǎn). ∴＝＝ (＋)＝ (＋) Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P66練習(xí)1，2，3，4. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握實(shí)數(shù)與向量的積的定義，掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律，理解兩個向量共線的充要條件，并能在解題中加以運(yùn)用. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P68習(xí)題 5，6，7