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2019-2020年高二數(shù)學(xué)上冊 8.1《向量的坐標(biāo)表示及其運算》教案八 滬教版 一、教學(xué)內(nèi)容分析 向量的概念對學(xué)生而言并不陌生，在物理中早有矢量的學(xué)習(xí)，所以入門并不困難。同時向量又是數(shù)形結(jié)合的重要橋梁，在解析幾何和立體幾何中都有重要的應(yīng)用，所以向量的一些基本概念及基本運算的掌握至關(guān)重要。 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計 1．理解向量的概念，會區(qū)分標(biāo)量與向量。 2．理解向量的模、相等的向量、零向量、負(fù)向量、平行的向量等概念。 3．掌握向量加法、減法的概念，會利用平行四邊形法則或三角形法則作兩個向量的和。 4．理解向量加法所滿足的運算率。 5．理解向量減法是向量加法的逆運算。 三、教學(xué)重點及難點 重點：向量的概念、向量加法的概念 難點：平行四邊形法則和三角形法則 四、教學(xué)用具準(zhǔn)備 直尺、投影儀、多媒體 實例引入 五、教學(xué)流程設(shè)計 幾何 理解 向量及向量的加減法 概念 符號 運用與深化(例題解析、鞏固練習(xí)) 課堂小結(jié)并布置作業(yè) 六、教學(xué)過程設(shè)計 一、向量 1．設(shè)置情境 師：（邊畫圖邊講解）美國“小鷹”號航空母艦導(dǎo)彈發(fā)射處接到命令：向1200公里處發(fā)射兩枚戰(zhàn)斧式巡航導(dǎo)彈（精度10米左右，射程超過2000公里），試問導(dǎo)彈是否能擊中伊拉克的軍事目標(biāo)？ 生：不能，因為沒有給定發(fā)射的方向． 師：現(xiàn)實生活中還有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有方向？ 生：力、速度、加速度等有大小也有方向，溫度和長度只有大小沒有方向． 師：對！力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量，我們把既有大小又有方向的量叫做向量．?dāng)?shù)學(xué)中用點表示位置，用射線表示方向．常用一條有向線段表示向量．在數(shù)學(xué)中，通常用點表示位置，用射線表示方向． （1）意義：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、沖量等 （2）向量的表示方法： A(起點) B （終點） a ①幾何表示法：點和射線 有向線段——具有一定方向的線段 有向線段的三要素：起點、方向、長度 符號表示：以A為起點、B為終點的有向線段記作（注意起訖）． A B 北 ②字母表示法：可表示為（印刷時用黑體字） 例 用1cm表示5n mail（海里） （3）模的概念：向量的大小——長度稱為向量的模。 記作：||，模是可以比較大小的 注意：①數(shù)量與向量的區(qū)別： 數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運算、比較大小； 向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小。 ②從19世紀(jì)末到20世紀(jì)初，向量就成為一套優(yōu)良通性的數(shù)學(xué)體系，用以研究空間性質(zhì)。 2．探索研究（學(xué)生自學(xué)概念） （1）介紹向量的一些概念 師：長度為零的向量叫什么向量？如何表示？長度為1的向量叫做什么向量？是不是只有一個？（學(xué)生看書回答） 生：長度為零的向量叫做零向量，表示為：0；長度等于1的向量叫做單位向量，有許多個，每個方向都有一個． 師：滿足什么條件的兩個向量是相等向量？符號如何表示？單位向量是相等向量嗎？ 生：如果兩個向量大小相等且方向相同，那么這兩個向量叫做相等向量，a=b單位向量不一定是相等向量，單位向量的方向不一定相同． 師：有一組向量，它們的方向相同或相反，那么這組向量有什么關(guān)系？ 生：平行． 師：對！我們把方向相同或相反的兩個向量叫做平行向量，符號如何表示？如果我們把一組平行向量的起點全部移到同一點，這時它們是不是平行向量？這時各向量的終點之間有什么關(guān)系？ 生：是平行向量， a//b，各向量的終點都在同一條直線上． 師：對！由此，我們把平行向量又叫做共線向量． （2）例題分析 【例1】判斷下列命題真假或給出問題的答案 （1）平行向量的方向一定相同？ （2）不相等的向量一定不平行. （3）與零向量相等的向量是什么向量？ （4）與任何向量都平行的向量是什么向量？ （5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？ （6）兩個非零向量相等的充要條件是什么？ （7）共線向量一定在同一直線上嗎？ 解：（1）根據(jù)定義：平行向量可以方向相反，故命題（1）為假； （2）平行向量沒有長、短要求，故命題（2）為假； （3）只有零向量； （4）零向量； （5）平行向量； （6）模相等且方向相同； （7）不一定，只要它能被平移成共線就行． 說明：零向量是向量，只不過它的起、終點重合．依定義、其長度為零． 【例2】如圖1，設(shè)是正六邊形的中心，分別寫出圖中與向量、，相等的向量． 解： 練習(xí)：（投影）在上題中 變式一，與向量長度相等的向量有多少個？（11個） 變式二，是否存在與向量長度相等，方向相反的向量？（存在） 變式三，與向量共線的向量有哪些？（有、和） 3．演練反饋（投影） （1）下列各量中是向量的是（ ） A．動能 B．重量 C．質(zhì)量 D．長度 （2）等腰梯形中，對角線 與相交于點，點、分別在兩腰、上，過且，則下列等式正確的是（ ） A． B． C． D． （3）物理學(xué)中的作用力和反作用力是模__________且方向_________的共線向量 參考答案：（1）B； （2）D； （3）相等，相反 4．總結(jié)提煉 （1）描述一個向量有兩個指標(biāo)：模、方向． （2）平行概念不是平面幾何中平行線概念的簡單移植，這兒的平行是指方向相同或相反的一對向量，它與長度無關(guān)，它與是否真的不在一條直線上無關(guān)． （3）向量的圖示，要標(biāo)上箭頭及起、終點，以體現(xiàn)它的直觀性． 二、向量的加法 1．設(shè)置情境 請同學(xué)看這樣一個問題：（投影） （1）由于大陸和臺灣沒有直航，因此xx年春節(jié)探親，要先從臺北到香港，再從香港到上海，這兩次位移之和時什么？ （2）如圖1（2），飛機(jī)從到，再改變方向從到，則兩次位移的和是，應(yīng)該是_____________． （3）如圖1（3），船的速度是，水流速度是則兩個速度的和是應(yīng)該是___________． 圖1 A B C A B C 上海 香港 臺北 生：（1）這人兩次的位移的和是從臺北到上海；（2）飛機(jī)兩次位移的和是；（3）兩個速度的和是． 師：很好！兩人向量的和仍是一個向量．本節(jié)課就來研究兩個向量的和（板書課題：向量的加法）． 2．探索研究 （1）向量的加法的定義： 已知向量，在平面內(nèi)任取一點A，作，則向量叫做 向量的和。記作： 即 零向量與任意向量，有 （2）兩個向量的和向量的作法： ①三角形法則:兩個向量“首尾”相接 注意：1三角形法則對于兩個向量共線時也適用； 2兩個向量的和向量仍是一個向量 例1．已知向量，求作 向量 作法：在平面內(nèi)任取一點O，作 ，則 ②平行四邊形法則： 由同一點A為起點的兩個已知向量為鄰邊作平行四邊形ABCD，則以A為起點 的向量就是向量的和。這種作兩個向量和的方法叫做平行四邊形法則 注意：平行四邊形法則對于兩個向量共線時不適用 3．向量和與數(shù)量和的區(qū)別： ①當(dāng)向量不共線時，的方向與不同向，且 ②當(dāng)向量同向時，的方向與同向，且 當(dāng)向量反向時，若，則的方向與同向，且 ；若，則的方向與反向，且 ；4．向量的運算律： ①交換律： 證明：當(dāng)向量不共線時,如上圖，作平行四邊形ABCD，使， 則, 因為， 所以 當(dāng)向量共線時，若與同向，由向量加法的定義知： 與同向，且 與同向，且，所以 若與反向，不妨設(shè)，同樣由向量加法的定義知： 與同向，且 與同向，且，所以 綜上， ②結(jié)合律： 學(xué)生自己驗證。 由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，對于多個向量的加法運算就可以按照任意 的次序與任意的組合來進(jìn)行了 例如： 例2．如圖，一艘船從A點出發(fā)以的速度向垂直于對 岸的方向行駛，同時喝水的流速為，求船實際航行的速 度的大小與方向。 解：設(shè)表示船垂直于對岸的速度，表示水流的速度，以AD,AB為鄰邊作平行四邊形ABCD，則就是船實際航行的速度 在中，， 所以 因為 答：船實際航行的速度的大小為，方向與水流速間的夾角為 4．演練反饋（投影） （1）在平行四邊形中，，則用、表示向量的是（ ） A．＋ B． C．0 D．＋ （2）若為△內(nèi)一點，，則是△的（ ） A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心 （3）下列各等式或不等式中一定不能成立的個數(shù)（ ） ① 圖5 ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 5．總結(jié)提煉 （1）是一個向量，在三角形法則下：平移向量，使的起點與的終點重合，則就是以的起點為起點，的終點為終點的新向量． （2）一組首尾相接的向量和：，如圖5． （3）對任意兩個向量、，任有成立． 三、向量的減法 1．設(shè)置情境 上節(jié)課，我們定義了向量的加法概念，并給出了求作和向量的兩種方法．本節(jié)課，我們繼續(xù)學(xué)習(xí)向量加法的逆運算：減法（板書課題：向量的減法） 2．探索研究 （1）向量減法 ①相反向量：與長度相等，方向相反的向量叫做相反向量。記作 規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量 注意：1與互為相反向量。即 2任意向量與它的相反向量的和是零向量。即 3如果、是互為相反向量，那么 ②與的差：向量加上的相反向量，叫做與的差 即 ③向量的減法：求兩個向量的差的運算叫做向量的減法 ④的作法：已知向量、，在平面內(nèi)任取一點O，作，則。即可以表示為從向 量的終點指向向量的終點的向量 ⑤思考：為從向量的終點指向向量的終點的向量是什么？（） 師：還可以從加法的逆運算來定義，如圖1所示，因為，所以就是，因而只要作出了，也就作出了． 圖1 要作出，可以在平面內(nèi)任取一點，作，，則． 師：若兩向量平行，如何作它們的差向量？兩個向量的差仍是一個向量嗎？它們的大小如何（的幾何意義）？方向怎樣？ 生：兩個向量的差還是一個向量，的大小是，是連接、的終點的線段，方向指向被減向量． 練習(xí)：（投影） 判斷下列命題的真假 （1）．（ ） （2）相反向量就是方向相反的向量．（ ） （3）（ ） （4）（ ） 參考答案：√、、、 （2）例題分析 【例1】已知向量、、、，求作向量， 師：已知的四個向量的起點不同，要作向量與，首先要做什么？ 生：首先在平面內(nèi)任取一點，作，，， 作、，則， 圖2 【例2】如圖3所示，中，，用、表示向量、． 圖3 師：由平行四邊形法則得 由作向量差的方法 得 練習(xí)：（投影） 對例2進(jìn)行變式訓(xùn)練 變式一，本例中，當(dāng)、滿足什么條件時，與互相垂直？ 變式二，本例中，當(dāng)、滿足什么條件時，？ 變式三，本例中，與有可能相等嗎？為什么？ 參考答案： 變式一：當(dāng)為菱形時，即時，與垂直． 變式二：當(dāng)為長方形時，即． 變式三：不可能，因為的對角線總是方向不同的． 3．演練反饋（投影） （1）△中，，，則等于（ ） A． B． C． D． （2）下列等式中，正確的個數(shù)是（ ） ①； ②； ③； ④； ⑤． A．5 B．4 C．3 D．2 （3）已知，，則的取值范圍是_____________． 參考答案：（1）B； （2）B； （3）［3，13］ 4．總結(jié)提煉 （1）相反向量是定義向量減法的基礎(chǔ)，減去一個向量等于加上這個向量的相反向量： （2）向量減法有兩種定義：①將減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算：②將減法運算定義為加法運算的逆運算：如果，則．從作圖上看這兩種定義沒有本質(zhì)區(qū)別，前一個定義就是教材采用的定義法，但作圖稍繁一點；后一種定義便于作圖和記憶，兩個有相同起點的向量相減，所得向量是連接兩向量終點，并且指向被減向量的終點． 七、教學(xué)設(shè)計說明 作為向量這一章節(jié)的開篇，根據(jù)一般的認(rèn)識規(guī)律和學(xué)生的心理特征，可以由實例引入，由淺入深，由表及里，由感性到理性的逐步深化，力求使學(xué)生很好的理解新概念、新規(guī)則。