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2019-2020年高二數(shù)學(xué)下 11.1《直線方程》教案（2） 滬教版 　一、教學(xué)內(nèi)容分析 本節(jié)的重點是直線的點法向式方程以及一般式方程的推導(dǎo)及應(yīng)用.在上一堂課的基礎(chǔ)上，通過向量垂直的充要條件（對應(yīng)坐標(biāo)的關(guān)系式）推導(dǎo)出直線的點法向式方程.引導(dǎo)同學(xué)發(fā)現(xiàn)直線的點方向式方程、點法向式方程都可以整理成關(guān)于的一次方程（不全為零）的形式. 本節(jié)的難點是通過對直線與二元一次方程關(guān)系的分析，初步認(rèn)識曲線與方程的關(guān)系并體會解析幾何的基本思想！從而培養(yǎng)學(xué)生用坐標(biāo)法對平面直線（和以后的圓錐曲線）的研究能力. 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計 在理解直線方程的意義，掌握直線的點方向式方程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究點法向式方程以及一般式方程；學(xué)會分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，形成探究能力. 三、教學(xué)重點及難點 直線的點法向式方程以及一般式方程； 四、教學(xué)流程設(shè)計 復(fù)習(xí)上節(jié)課內(nèi)容 引導(dǎo)學(xué)生自主探究點法向式方程 一般式方程 運用與深化(例題解析、鞏固練習(xí)) 課堂小結(jié)并布置作業(yè) 五、教學(xué)過程設(shè)計 一、復(fù)習(xí)上一堂課的教學(xué)內(nèi)容 二、講授新課 （一）點法向式方程 1、概念引入 從上一堂課的教學(xué)中，我們知道，在平面上過一已知點，且與某一方向平行的直線是惟一確定的．同樣在平面上過一已知點，且與某一方向垂直的直線也是惟一確定的． 2、概念形成 n 直線的點法向式方程 在平面上過一已知點，且與某一方向垂直的直線是惟一確定的.建立直角坐標(biāo)平面，設(shè)的坐標(biāo)是，方向用非零向量表示. n 直線的點法向式方程的推導(dǎo) 設(shè)直線上任意一點的坐標(biāo)為，由直線垂直于非零向量，故.根據(jù)的充要條件知，即：①；反之，若為方程⑤的任意一解，即，記為坐標(biāo)的點為，可知，即在直線上.綜上，根據(jù)直線方程的定義知，方程⑤是直線的方程，直線是方程①的直線. 我們把方程叫做直線的點法向式方程，非零向量叫做直線的法向量. 3、概念深化 從上面的推導(dǎo)看，法向量是不唯一的，與直線垂直的非零向量都可以作為法向量. 若直線的一個方向向量是，則它的一個法向量是. 4、例題解析 例1 已知點，求的垂直平分線的點法向式方程. 解 由中點公式，可以得到的中點坐標(biāo)為，是直線的法向量， 所以，的垂直平分線的點法向式方程. [說明]關(guān)鍵在于找點和法向量！ 例2已知點和點是三角形的三個頂點，求 （1）邊所在直線方程； （2）邊上的高所在直線方程. 解（1）因為邊所在直線的一個方向向量＝（7，5），且該直線經(jīng)過點，所以邊所在直線的點方向式方程為 （2）因為邊上的高所在的直線的一個法向量為＝（7，5），且該直線經(jīng)過點，所以高所在直線的點法向式方程為 ５、鞏固練習(xí) 練習(xí)11.1（2） （二）一般式方程 1、概念引入 由直線的點方向式方程和點法向式方程，我們可以發(fā)現(xiàn)，平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個關(guān)于的二元一次方程表示；那么每一個關(guān)于的二元一次方程（，不同時為0）是否都表示一條直線呢？ 2、概念形成 n 直線的一般式方程的定義 直線的點方向式方程和直線的點法向式方程經(jīng)過整理，成為的二元一次方程. 反之，任意二元一次方程都是直線方程么？回答是肯定的.首先，當(dāng)時，方程可化為，根據(jù)直線點法向式方程可知，這是過點，以為一個法向量的直線；當(dāng)時，方程為，由于，方程化為，表示過點且垂直于軸的直線. 所以二元一次方程是直線的方程，叫做直線的一般式方程. ３、例題解析 例1 中，已知、，求邊的中垂線的一般式方程. 解 直線過中點，，則其點法向式方程為，整理為一般式方程. [說明]點法向式方程化為一般式方程. 例2（1）求過點且平行于直線的直線方程； （2）求過點且垂直于直線的直線方程. 解 （1）解一：，又直線過點，故直線的方程為化簡得. 解二：又直線過點，故直線的點法向式方程為化簡得. 解三：設(shè)與平行的直線方程為，又直線過點故，，所以直線的方程是. （2）解一：的法向量為所求直線的方向向量，又直線過點，故直線的方程為化簡得. 解二：設(shè)與垂直的直線方程為，又直線過點故，，所以直線的方程是. [說明]一般地，與直線平行的直線可設(shè)為；而與直線垂直的直線可設(shè)為. 例3能否把直線方程化為點方向式方程？點法向式方程？若能，它的點方向式方程和點法向式紡方程是否唯一？并觀察x、y的系數(shù)與方向向量和法向量有什么聯(lián)系？ 解： 、、、…… 、4（x+4）+6(y-1)=0…… 能夠化成點方向式的形式，并且有無數(shù)個！ 所有的方向向量之間存在：一個非零實數(shù)，使得； 易得點法向式方程也是不唯一的，并且有無數(shù)個！ 所有的法向量之間存在：一個非零實數(shù)，使得 變式：直線的方向向量可以表示為 直線的法向量可以表示為 [說明]注意直線的一般式方程和點方向式方程與點法向式方程的聯(lián)系. 三、鞏固練習(xí) 練習(xí)11.1（3） 補(bǔ)充練習(xí) 1、（1）若直線過兩點，則分別叫做該直線在軸上的截距.當(dāng)時，求直線的方程； （2）若過點的直線在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求直線的方程. 2、 已知直線過點且與軸分別交于兩點. （1）若為中點，求直線的方程；（2）若分所成的比為，求的方程. 3、已知直線的方程為： （1）求證:不論取何值，直線恒過定點； （2）記（1）中的定點為，若（為原點），求實數(shù)的值. 4、中，三個頂點坐標(biāo)依次為、、，求（1）直線與直線的方程；（2）點坐標(biāo). 5、．過點作一直線，使它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為5個單位面積，求直線的方程. 6、已知兩直線和都通過,求證：經(jīng)過兩點，的直線方程是. 四、課堂小結(jié) １.直線的點法向式方程和一般方程的推導(dǎo)； ２．直線的點方向式方程、點法向式方程和一般方程這三種形式方程之間的互相之間的聯(lián)系. ３、確定直線方程的幾個要素 五、課后作業(yè) 習(xí)題11.1 A組5,6,7；B組3，4 習(xí)題11.1 A組8 補(bǔ)充作業(yè)： 1. 直線的單位法向量是___________. 2. 直線的一般式方程為，則其點方向式方程可以是__________；點法向式方程可以是_____________. 3. 過且垂直軸的直線方程是_______________. 4. 若直線的法向量恰為直線的方向向量，求實數(shù)的值. 5. 已知點及直線，求： （1）過點且與平行的直線方程；（2）過點且與垂直的直線方程. 6. 正方形的頂點的坐標(biāo)為，它的中心的坐標(biāo)為，求正方形兩條對角線所在的直線方程. 7. 已知的坐標(biāo)分別為，其中均為正整數(shù)，問過這三點的直線是否存在？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由. 8. 設(shè)直線的方程為 （1） 證明：直線過定點； （2） 若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的方程. 六、教學(xué)設(shè)計說明 在上一堂課的基礎(chǔ)上，通過向量垂直的充要條件（對應(yīng)坐標(biāo)的關(guān)系式），引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)出直線的點法向式方程. 通過對直線與二元一次方程關(guān)系的分析，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的思維過程，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力.