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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《任意角的三角函數(shù)》教案1湘教版必修2 教學(xué)目標(biāo) 1.使學(xué)生切實(shí)掌握任意角三角函數(shù)的定義. 2.使學(xué)生掌握三角函數(shù)的定義域及其確定方法. 3.使學(xué)生掌握三角函數(shù)值在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào). 4.使學(xué)生掌握誘導(dǎo)公式一. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn)為：任意角三角函數(shù)的定義.教學(xué)重點(diǎn)為：三角函數(shù)的定義；三角函數(shù)的定義域及其確定方法；三角函數(shù)值在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)以及誘導(dǎo)公式一. 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 師：我們學(xué)過銳角的正弦、余弦、正切、余切中，∠A是銳角，∠C是直角，那么(板書) 師：經(jīng)過最近幾節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道角的概念已經(jīng)被推廣了，我們現(xiàn)在所說的角可以任意大小的正角、負(fù)角和零角，那么任意的三角函數(shù)是怎么定義的呢?直角三角形顯然不能包含所有的角. 生：借助平面直角坐標(biāo)系來定義. 師：好的.這位同學(xué)可能預(yù)習(xí)了.任意角三角函數(shù)就是在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)定義的. 設(shè)角α是一個(gè)任意大小的角，我們以它的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以它的始邊為x軸的正半軸Ox，建立直角坐標(biāo)系(圖2)，在角α的終邊任取一點(diǎn)P，它的橫坐標(biāo)是x,縱坐標(biāo)是y,點(diǎn)P和原點(diǎn)O(0，0)的距離r= (r總是正的)，然后把角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分別規(guī)定為(板書) 師：以前我們就知道，圖1中的四個(gè)比值的大小僅與角A的大小有關(guān)，而與直角三角形的大小無關(guān)；同樣，在圖2中，六個(gè)比值的大小也僅與角α的大小有關(guān)，而與點(diǎn)P在角αα的終邊上的位置無關(guān). 師：下面咱們一起來看這六個(gè)三角函數(shù)，自變量是什么?是x?是y？是r?還是角a?大家討論一下. 生：…… 師：通過大家的討論，咱們可以看出，只要角α確定了，就能在它的終邊上取點(diǎn)，從而可確定x，y，計(jì)算出r的值，所以自變量應(yīng)是角α. 這些函數(shù)的函數(shù)值是什么呢? 生：兩個(gè)量的比值. 師：也就是說是個(gè)實(shí)數(shù). 由于角的集合與實(shí)數(shù)之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)可以看成是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，即 實(shí)數(shù)→ 角(其弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)) → 三角函數(shù)值(實(shí)數(shù)) 也就是說，三角函數(shù)是以角(實(shí)數(shù))為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù). 既然是研究函數(shù)，那么就要從函數(shù)最主要的內(nèi)容——三要素入手，而其中又以定義域和對(duì)應(yīng)法則更重要，三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則我們可以由解析式中直接看出.下面我們研究各個(gè)函數(shù)的定義域. (這幾函數(shù)的定義域并不難求，只是務(wù)必使學(xué)生明確，函數(shù)的自變量是角.定義域由學(xué)生一一做答，教師最后在黑板上列表總結(jié).) 師：我們已經(jīng)知道了三角函數(shù)的定義，下面我們就該應(yīng)用定義解題了.請(qǐng)看例1.(板書) 例1 已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2，－3)，求α的六個(gè)三角函數(shù)值. 師：要求六個(gè)三角函數(shù)值，我們需要知道哪些量? 生：x,y,r. 師：我們是必須知道這三個(gè)量，還是知道其中兩個(gè)量就行了? 生：只需知道其中的兩個(gè)量. 師：例1中是否有咱們所需要的兩個(gè)量? 生：有.x=2,y=－3. 師：好的.這道題就由你來解，你說我往黑板上寫.(板書) 解 師：由三角函數(shù)的定義，我們知道，已知角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求六個(gè)三角函數(shù)值，若已知條件是某角的度數(shù)或弧度數(shù)，那么這個(gè)角的終邊位置也是唯一確定的，其三角函數(shù)值也應(yīng)是唯一的.這類題目應(yīng)怎樣求它的各個(gè)三角函數(shù)值呢?下面看例2.(板書) 例2 求下例各角的六個(gè)三角函數(shù)值. 師：咱們先看角0的六個(gè)三角函數(shù)值怎么求. 生：沒想好. 師：你覺得為什么不好求呢? 生：題目里沒給出x,y的值. 師：x,y的值與所給出的角有什么關(guān)系? 生：x,y是角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo). 師：角的終邊上的哪點(diǎn)? 生：可以任意選取. 師：那當(dāng)然要使所取點(diǎn)的坐越簡(jiǎn)單越好了，你打算取哪點(diǎn)? 生：取(1，0)點(diǎn). 師：現(xiàn)在這道題目你會(huì)做了嗎? 生：會(huì)了. 師：你說我來寫在黑板上.(板書) 解 在角0的終邊上取一點(diǎn)(1，0)，所以x=1,y=0,r=x2+y2=1因此 師：這道從題會(huì)做了，下面的兩道小題也就不成問題了.大家都在筆記本上準(zhǔn)備一下，一會(huì)兒，我叫幾個(gè)同學(xué)說一下你們的答案. (2)在角π的終邊上任取一點(diǎn)(－1，0)，x=－1,y=0,r=1,sin π=0,cos=-1,tan π=0　cot πα不存在，sce π=－1 ,csc πα不存在； (3)在角的終邊上任取一點(diǎn)(0，－1)，x=0,y=－1,r=1,sin =－1,cos=0,tan不存在，cot=0,sec不存在，csc=－1. 師：下一個(gè)問題是確定一下各三角函數(shù)值在每個(gè)象限的符號(hào). 我們知道，當(dāng)角的概念被推廣后，我們常常把角放到平面直角坐標(biāo)系中討論，當(dāng)角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊落在x軸的正半軸上時(shí)，角的終邊落在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角.現(xiàn)在，我們又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)，若一類三角函數(shù)值在同一個(gè)象限的符號(hào)是一致的，那我們既可以根據(jù)角所在象限確定出相應(yīng)的三角函數(shù)的符號(hào)，又可以利用三角函數(shù)的符號(hào)確定出角所在的象限了. 下面咱們先看正弦函數(shù)的函數(shù)值在各個(gè)限內(nèi)的符號(hào).(請(qǐng)好學(xué)生回答) 生：對(duì)于sin α，當(dāng)角α在第一象限內(nèi)時(shí)，它的符號(hào)是正的，當(dāng)角α在第二象限時(shí)，…… 師：等等，你所說的第一條結(jié)論正確，你能不能把你的解題方法具體地告訴我們?(盡量突出這節(jié)課的主要內(nèi)容.) 生：根據(jù)三角函數(shù)的定義，sin α=，當(dāng)角a是第一象限角時(shí)，也就是說，角α的終邊落在第一象限內(nèi)，而第一象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)都是正的，所以sin α＞0. 師：解題思路非常清楚，就是下結(jié)論前的敘述顯得有點(diǎn)匆忙，不夠確切.咱們看這樣說是不是更好些?前邊的就用他的說法，接著說，第一象限內(nèi)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為正數(shù)，也就是y＞0,而r=，也一定大于零，所以得出結(jié)論，sin α＞0，符號(hào)為“+”. 師：這個(gè)結(jié)論一經(jīng)推出，其余問題我們也就都會(huì)解決了.下面我們?cè)侔呀锹湓诘诙⒌谌?四象限內(nèi)，將正弦函數(shù)的函數(shù)值的符號(hào)確定一下. 生：正弦函數(shù)sin α=yr，當(dāng)角a在第二象限時(shí)，sin α的符號(hào)為“+”；當(dāng)角α在第三象限時(shí)，sin α的符號(hào)為“－”；當(dāng)角α在第四象時(shí)，sin α的符號(hào)也為“－”. 師：完全正確.由于r=＞0，所以我們可以看出，sinπ的符號(hào)與誰的符號(hào)一致? 生：與y的符號(hào)一致. 師：好的.現(xiàn)在正弦函數(shù)的問題咱們已經(jīng)解決了，下面該確定余弦函數(shù)的函數(shù)值在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)了.我想，得出正確結(jié)論已經(jīng)不是什么難事了.只是如果請(qǐng)你說，你能敘述得完整 嗎?另外，你還有沒有別的辦法解決這個(gè)問題? 生：余弦函數(shù)cos α=xr,我們知道r=>0，它的值永遠(yuǎn)是正的，所以cos a的符號(hào)是由x確定的，而且與x的符號(hào)相同.x是角α所在象限內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以當(dāng)角a在第一象限內(nèi)時(shí)，cos α的符號(hào)為“+”，當(dāng)角α在第二或第三象限時(shí)，cos a的符號(hào)為“－”，而當(dāng)角α在第四象限時(shí)，cos α的符號(hào)為“+”. 師：回答得很好.各個(gè)量之間的關(guān)系都說得非常清楚、準(zhǔn)確. 生：還可以簡(jiǎn)單地記為：余弦函數(shù)值的符號(hào)與x的符號(hào)一致. 師：也對(duì).只是這個(gè)結(jié)論前的一些推理咱們必須清楚. 正切函數(shù)tan α=在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)又是怎樣的? 生：對(duì)于第一、三象限內(nèi)的角，正切值為正的，因?yàn)榇藭r(shí)x,y同號(hào)；對(duì)于第二、四象限內(nèi)的角，正切值為負(fù)的，因?yàn)榇藭r(shí)x,y異號(hào). 師：完全正確.我們研究清楚了正弦、余弦、正切函數(shù)的函數(shù)值在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)，剩下的三個(gè)三角函數(shù)的函數(shù)值在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)就好確定了.為什么? 生：因?yàn)橛嗲兄?)與正切值()互為倒數(shù)，所以它們的符號(hào)一致，同理，正割值()與余弦值()的符號(hào)一致，而余割值()與正弦值()的符號(hào)一致. 師：很好.為了便于記憶，我們不妨把剛才的結(jié)論總結(jié)于坐標(biāo)系中，看看這種直觀、形象的方式是否適合于你?(板書) 師：現(xiàn)在我們知道了三角函數(shù)的數(shù)值是由角的終邊的位置決定的.顯然，當(dāng)兩個(gè)角相差 360的整數(shù)倍時(shí)，它們倆的終邊相同，所以它們的同一個(gè)三角函數(shù)的值相等.由此得到一組公式(公式一). (板書) 師：這組公式使我們可以把任意角的三角函數(shù)值的問題，轉(zhuǎn)化為0～360(或0～2π)間的角的三角函數(shù)值的問題.(板書) 例3 確定下列各三角函數(shù)值的符號(hào). (1)cos 250； (2)sin(－)； (3)tan(－67210′) (教師邊分析邊板書) 解 (1)因?yàn)?50是第三象限的角，所以cos 250＜0. (2)(由學(xué)生口述完成)因?yàn)椋堑谒南笙藿?，所以sin （-）＜0. (3)(由學(xué)生解) 因?yàn)閠an(－67210′)=tan(－2360+4750′)=tan 4750′，又因?yàn)?750′是第一象限角，所以tan (－67210′)＞0. 師：下面咱們接著做例4.(板書) 例4 根據(jù)條件sin＜0且tan＞0，確定是第幾象限角. (教師邊講邊寫) 解 為sin＜0，所以在第三象限或第四象限，或的終邊落在y軸的負(fù)半軸上. 因?yàn)閠an＞0.所以在第一象限或第三象限. 由于sin ＜0與tan＞0同時(shí)成立，所以在第三象限. 師：下面咱們小結(jié)一下這節(jié)課，這節(jié)課的主要內(nèi)容是任意角三角函數(shù)的定義，通過對(duì)這一定義的學(xué)習(xí)，我們掌握六個(gè)三角函數(shù)的定義域，要會(huì)利用定義，求出各三角函數(shù)在每個(gè)象限的符號(hào)并且記住各結(jié)論.要知道公式一的理論依據(jù)就是任意角三角函數(shù)的定義，當(dāng)然還要掌握公式一. 作業(yè)：課本P138練習(xí)一第1，2，3，4，5，6題.其中第2，3題寫在書上，其余的寫在本上. 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明 1.復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù). 2.講解任意角三角函數(shù)的定義. 3.用列表的形式總結(jié)出各個(gè)三角函數(shù)的定義域. 4.例1是三角函數(shù)定義的最簡(jiǎn)單、直接的應(yīng)用.例2是應(yīng)用任意角三角函數(shù)的定義解題. 5.利用三角函數(shù)的定義和各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)，確定各三角函數(shù)值在每個(gè)象限的符號(hào). 6.誘導(dǎo)公式一 7.例3和例4. 8.小結(jié)、作業(yè). 為什么要采取以上步驟呢?因?yàn)楸竟?jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)就是任意角三角函數(shù)的定義，而其余內(nèi)容均是關(guān)于任意角的函數(shù)的定義的應(yīng)用，所以對(duì)于這一定義，不僅安排了復(fù)習(xí)銳角的三角函數(shù)，而且還安排了兩道應(yīng)用定義的例題，即例1和例2.此外，三角函數(shù)與學(xué)生們以往所學(xué)過的函數(shù)從形式上看區(qū)別很大，有的學(xué)生可能一時(shí)找不對(duì)自變量，所以，在講課時(shí)注意強(qiáng)調(diào)了三角函數(shù)的自變量是角，并在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用新學(xué)的任意角三角函數(shù)的定義，求出各個(gè)三角函數(shù)的定義域. 應(yīng)用三角函數(shù)的定義，可判斷出三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào).對(duì)于這點(diǎn)，教師覺得學(xué)生完全有能力自己完成，所以，這塊知識(shí)是以教師提問學(xué)生回答，最后一起做總結(jié)的形式完成的. 誘導(dǎo)公式一，也是任意角三角函數(shù)定義的再次應(yīng)用，有了它，我們就可以把求任意角的三角函數(shù)值問題，轉(zhuǎn)化為求0～360(或0～2π)間角的三角函數(shù)值的問題了. 板書設(shè)計(jì)