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2019-2020年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第二章 函數(shù)A 映射 特殊化 函數(shù) 具體化 一般化 概念 圖像 表 示 方 法 定義域 值域 單調(diào)性 奇偶性 基本初等函數(shù)Ⅰ 冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù) 二次函數(shù) 指數(shù) 對(duì)數(shù) 互 逆 函數(shù)與方程 應(yīng)用問(wèn)題 【知識(shí)導(dǎo)讀】 【方法點(diǎn)撥】 函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要，最基礎(chǔ)的內(nèi)容之一，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．高中函數(shù)以具體的冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的概念，性質(zhì)和圖像為主要研究對(duì)象，適當(dāng)研究分段函數(shù)，含絕對(duì)值的函數(shù)和抽象函數(shù)；同時(shí)要對(duì)初中所學(xué)二次函數(shù)作深入理解． 1.活用“定義法”解題．定義是一切法則與性質(zhì)的基礎(chǔ)，是解題的基本出發(fā)點(diǎn)．利用定義，可直接判斷所給的對(duì)應(yīng)是否滿足函數(shù)的條件，證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性等． 2.重視“數(shù)形結(jié)合思想”滲透．“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”．當(dāng)你所研究的問(wèn)題較為抽象時(shí)，當(dāng)你的思維陷入困境時(shí)，當(dāng)你對(duì)雜亂無(wú)章的條件感到頭緒混亂時(shí)，一個(gè)很好的建議：畫個(gè)圖像！利用圖形的直觀性，可迅速地破解問(wèn)題，乃至最終解決問(wèn)題． 3.強(qiáng)化“分類討論思想”應(yīng)用．分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法．進(jìn)行分類討論時(shí)，我們要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論。其中最重要的一條是“不漏不重”． 4.掌握“函數(shù)與方程思想”．函數(shù)與方程思想是最重要，最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一，它在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中的地位與作用很高．函數(shù)的思想包括運(yùn)用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題，轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題． 第1課 函數(shù)的概念 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.在體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言刻畫函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域． 2.準(zhǔn)確理解函數(shù)的概念，能根據(jù)函數(shù)的三要素判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．設(shè)有函數(shù)組：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中表示同一個(gè)函數(shù)的有___②④⑤___． y 1 2 2 x O ② 1 2 2 x y O ① 1 2 2 x O ③ y 2.設(shè)集合，，從到有四種對(duì)應(yīng)如圖所示： 1 2 2 x O ④ y 其中能表示為到的函數(shù)關(guān)系的有_____②③____． 3.寫出下列函數(shù)定義域： (1) 的定義域?yàn)開_____________； (2) 的定義域?yàn)開_____________； (3) 的定義域?yàn)開_____________； (4) 的定義域?yàn)開________________． 且且 4．已知三個(gè)函數(shù):(1)； (2)； (3)．寫出使各函數(shù)式有意義時(shí)，，的約束條件： (1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________． 5.寫出下列函數(shù)值域： (1) ，；值域是． (2) ； 值域是． (3) ，． 值域是． 【范例解析】 例1.設(shè)有函數(shù)組：①，；②，； ③，；④，．其中表示同一個(gè)函數(shù)的有③④． 分析：判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，關(guān)鍵看函數(shù)的三要素是否相同． 解：在①中，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋什皇峭缓瘮?shù)；在②中，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，故不是同一函?shù)；③④是同一函數(shù)． 點(diǎn)評(píng)：兩個(gè)函數(shù)當(dāng)它們的三要素完全相同時(shí)，才能表示同一函數(shù)．而當(dāng)一個(gè)函數(shù)定義域和對(duì)應(yīng)法則確定時(shí)，它的值域也就確定，故判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，只需判斷它的定義域和對(duì)應(yīng)法則是否相同即可． 例2.求下列函數(shù)的定義域：① ； ② ； 解：（1）① 由題意得：解得且或且， 故定義域?yàn)椋? ② 由題意得：，解得，故定義域?yàn)椋? 例3.求下列函數(shù)的值域： （1），； （2）； （3）． 分析：運(yùn)用配方法，逆求法，換元法等方法求函數(shù)值域． （1） 解：，，函數(shù)的值域?yàn)椋? （2） 解法一：由，，則，，故函數(shù)值域?yàn)椋? 解法二：由，則，，，，故函數(shù)值域?yàn)椋? （3）解：令，則，， 當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)值域?yàn)椋? 點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)或二次函數(shù)型的函數(shù)求值域可用配方法；逆求法利用函數(shù)有界性求函數(shù)的值域；用換元法求函數(shù)的值域應(yīng)注意新元的取值范圍． 【反饋演練】 1．函數(shù)f(x)＝的定義域是___________． 2．函數(shù)的定義域?yàn)開________________． 3. 函數(shù)的值域?yàn)開_______________． 4. 函數(shù)的值域?yàn)開____________． 5．函數(shù)的定義域?yàn)開____________________． 6.記函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)锳，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定義域?yàn)锽． (1) 求A； (2) 若BA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)由2－≥0，得≥0，x<－1或x≥1， 即A=(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ． (2) 由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0． ∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) ． ∵BA， ∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥或a≤－2，而a<1， ∴≤a<1或a≤－2，故當(dāng)BA時(shí)， 實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞,－2]∪[,1)． 第2課 函數(shù)的表示方法 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D像法，列表法，解析法）表示函數(shù)． 2.求解析式一般有四種情況：（1）根據(jù)某個(gè)實(shí)際問(wèn)題須建立一種函數(shù)關(guān)系式；（2）給出函數(shù)特征，利用待定系數(shù)法求解析式；（3）換元法求解析式；（4）解方程組法求解析式． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.設(shè)函數(shù)，，則_________；__________． 2.設(shè)函數(shù)，,則_____3_______；；． 第5題 3.已知函數(shù)是一次函數(shù)，且，,則__15___． (0≤x≤2) 4.設(shè)f(x)＝，則f[f()]＝_____________． 5.如圖所示的圖象所表示的函數(shù)解析式為__________________________． 【范例解析】 例1.已知二次函數(shù)的最小值等于4，且，求的解析式． 分析：給出函數(shù)特征，可用待定系數(shù)法求解． 解法一：設(shè)，則解得 故所求的解析式為． 解法二：，拋物線有對(duì)稱軸．故可設(shè)． 將點(diǎn)代入解得．故所求的解析式為． 解法三：設(shè)，由，知有兩個(gè)根0，2， 可設(shè)，， 將點(diǎn)代入解得．故所求的解析式為． 點(diǎn)評(píng)：三種解法均是待定系數(shù)法，也是求二次函數(shù)解析式常用的三種形式：一般式，頂點(diǎn)式，零點(diǎn)式． x y O 1 2 3 4 10 20 30 40 50 60 例2 例2.甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時(shí)出發(fā)前往乙家．如圖，表示甲從出發(fā)到乙家為止經(jīng)過(guò)的路程y（km）與時(shí)間x（分）的關(guān)系．試寫出的函數(shù)解析式． 分析：理解題意，根據(jù)圖像待定系數(shù)法求解析式． 解：當(dāng)時(shí)，直線方程為，當(dāng)時(shí)，直線方程為， 點(diǎn)評(píng)：建立函數(shù)的解析式是解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵，把題中文字語(yǔ)言描述的數(shù)學(xué)關(guān)系用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)．要注意求出解析式后，一定要寫出其定義域． 【反饋演練】 1．若，，則（ D ） 　?。粒?　　　　?。拢　　　。茫　。模? 2．已知，且，則m等于________． 3. 已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(x)＝x2＋2x．求函數(shù)g(x)的解析式． 解：設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為， 則 ∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上 ∴． 第3課 函數(shù)的單調(diào)性 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.理解函數(shù)單調(diào)性，最大（?。┲导捌鋷缀我饬x； 2.會(huì)運(yùn)用單調(diào)性的定義判斷或證明一些函數(shù)的增減性． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.下列函數(shù)中： ①； ②； ③； ④． 其中，在區(qū)間(0，2)上是遞增函數(shù)的序號(hào)有___②___． 2.函數(shù)的遞增區(qū)間是___ R ___． 3.函數(shù)的遞減區(qū)間是__________． 4.已知函數(shù)在定義域R上是單調(diào)減函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍__________． 5.已知下列命題： ①定義在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)是上的增函數(shù)； ②定義在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)在上不是減函數(shù)； ③定義在上的函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上也是增函數(shù)，則函數(shù)在上是增函數(shù)； ④定義在上的函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上也是增函數(shù)，則函數(shù)在上是增函數(shù)． 其中正確命題的序號(hào)有_____②______． 【范例解析】 例 . 求證：（1）函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)； （2）函數(shù)在區(qū)間和上都是單調(diào)遞增函數(shù)． 分析：利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，注意符號(hào)的確定． 證明：（1）對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，，且， 因?yàn)? ， 又，則，，得， 故，即，即． 所以，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)． （2）對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，，且， 因?yàn)椋? 又，則，，得， 故，即，即． 所以，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)． 同理，對(duì)于區(qū)間，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)； 所以，函數(shù)在區(qū)間和上都是單調(diào)增函數(shù)． 點(diǎn)評(píng)：利用單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性，一般分三步驟：（1）在給定區(qū)間內(nèi)任意取兩值，；（2）作差，化成因式的乘積并判斷符號(hào)；（3）給出結(jié)論． 例2.確定函數(shù)的單調(diào)性． 分析：作差后，符號(hào)的確定是關(guān)鍵． 解：由，得定義域?yàn)椋畬?duì)于區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，，且， 則 又，， ，即． 所以，在區(qū)間上是增函數(shù)． 點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用有理化可以對(duì)含根號(hào)的式子進(jìn)行符號(hào)的確定． 【反饋演練】 1．已知函數(shù)，則該函數(shù)在上單調(diào)遞__減__，（填“增”“減”）值域?yàn)開________． 2．已知函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，則__25___. 3. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 4. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為． 5. 已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：設(shè)對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，，且， 則， ，，得，，，即． 第4課 函數(shù)的奇偶性 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.了解函數(shù)奇偶性的含義，能利用定義判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性； 2.定義域?qū)ζ媾夹缘挠绊懀憾x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要但不充分條件；不具備上述對(duì)稱性的，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.給出4個(gè)函數(shù)：①；②；③；④． 其中奇函數(shù)的有___①④___；偶函數(shù)的有____②____；既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的有____③____． 2. 設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù) －1 ． 3.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（ A ） A. B. C. D. 【范例解析】 例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 分析：判斷函數(shù)的奇偶性，先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再利用定義判斷． 解：（1）定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；, 所以為偶函數(shù)． （2）定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；， ，故為奇函數(shù)． （3）定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；，且， 所以既為奇函數(shù)又為偶函數(shù)． （4）定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． （5）定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；，，則且，故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． （6）定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； ，又， ，故為奇函數(shù)． 點(diǎn)評(píng)：判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)首先注意其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；其次，利用定義即或判斷，注意定義的等價(jià)形式或． 例2. 已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)的解析式，并指出它的單調(diào)區(qū)間． 分析：奇函數(shù)若在原點(diǎn)有定義，則． 解：設(shè)，則，． 又是奇函數(shù)，，． 當(dāng)時(shí)，． 綜上，的解析式為． 作出的圖像，可得增區(qū)間為，，減區(qū)間為，． 點(diǎn)評(píng)：（1）求解析式時(shí)的情況不能漏；（2）兩個(gè)單調(diào)區(qū)間之間一般不用“”連接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通過(guò)“”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化；（4）根據(jù)圖像寫單調(diào)區(qū)間． 【反饋演練】 1．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則（ D ） A． B． C． D． 2. 在上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且，若在區(qū)間是減函數(shù)，則函數(shù)（ B ） A.在區(qū)間上是增函數(shù)，區(qū)間上是增函數(shù) B.在區(qū)間上是增函數(shù)，區(qū)間上是減函數(shù) C.在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間上是增函數(shù) D.在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間上是減函數(shù) 3. 設(shè)，則使函數(shù)的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有的值為____1，3 ___． 4．設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則________． 5．若函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，則使得的x的取 值范圍是（－2，2）． 6. 已知函數(shù)是奇函數(shù)．又，,求a，b，c的值； 解：由，得，得．又，得， 而，得，解得．又，或1． 若，則，應(yīng)舍去；若，則． 所以，． 綜上，可知的值域?yàn)椋? 第5 課 函數(shù)的圖像 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.掌握基本初等函數(shù)的圖像特征，學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)； 2.掌握畫圖像的基本方法：描點(diǎn)法和圖像變換法． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 向上平移3個(gè)單位 向右平移1個(gè)單位 1.根據(jù)下列各函數(shù)式的變換，在箭頭上填寫對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像的變換： 向右平移3個(gè)單位 作關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形 （1） ； （2） ． 2.作出下列各個(gè)函數(shù)圖像的示意圖： （1）； （2）； （3）． 解：（1）將的圖像向下平移1個(gè)單位，可得的圖像．圖略； （2）將的圖像向右平移2個(gè)單位，可得的圖像．圖略； O y x 1 －1 （3）由，將的圖像先向右平移1個(gè)單位，得的圖像，再向下平移1個(gè)單位，可得的圖像．如下圖所示： 3.作出下列各個(gè)函數(shù)圖像的示意圖： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）作的圖像關(guān)于y軸的對(duì)稱圖像，如圖1所示； （2）作的圖像關(guān)于x軸的對(duì)稱圖像，如圖2所示； （3）作的圖像及它關(guān)于y軸的對(duì)稱圖像，如圖3所示； －1 O y x 圖1 （4）作的圖像，并將x軸下方的部分翻折到x軸上方，如圖4所示． －1 O y x 圖3 1 －1 O y x 圖2 －1 O y x 圖4 4. 函數(shù)的圖象是 （ B ） A 1 x y O B 1 x y O C 1 x y O D 1 x y O -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 【范例解析】 例1.作出函數(shù)及，，，，的圖像． 分析：根據(jù)圖像變換得到相應(yīng)函數(shù)的圖像． 解：與的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱； 與的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱； 將的圖像向左平移2個(gè)單位得到的圖像； 保留的圖像在x軸上方的部分，將x軸下方的部分關(guān)于x軸翻折上去，并去掉原下方的部分； 將的圖像在y軸右邊的部分沿y軸翻折到y(tǒng)軸的左邊部分替代原y軸左邊部分，并保留在y軸右邊部分．圖略． 點(diǎn)評(píng)：圖像變換的類型主要有平移變換，對(duì)稱變換兩種．平移變換：左“+”右“－”，上“+”下“－”；對(duì)稱變換：與的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱； 與的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱；與的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； 保留的圖像在x軸上方的部分，將x軸下方的部分關(guān)于x軸翻折上去，并去掉原下方的部分； 將的圖像在y軸右邊的部分沿y軸翻折到y(tǒng)軸的左邊部分替代原y軸左邊部分，并保留在y軸右邊部分． 例2.設(shè)函數(shù). （1）在區(qū)間上畫出函數(shù)的圖像； （2）設(shè)集合. 試判斷集合和之間的關(guān)系，并給出證明. 分析：根據(jù)圖像變換得到的圖像，第（3）問(wèn)實(shí)質(zhì)是恒成立問(wèn)題． 解：（1） （2）方程的解分別是和，由于在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，因此. 由于. 【反饋演練】 O y 1 1 B． x O y x 1 1 A． 1．函數(shù)的圖象是（ B ） O y x －1 1 C． O y －1 1 D． x 2. 為了得到函數(shù)的圖象，可以把函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到． 3．已知函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，則=． 4．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f (x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ． 5. 作出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖： （1）； （2）； （3）．