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2019-2020年高中數學第2章統(tǒng)計2.1抽樣方法名師導航學案蘇教版必修
三點剖析
一、總體與樣本
總體是指考察對象的全體；其中每一個考察對象是個體；從總體中所抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本；樣本中個體的數目叫做樣本容量.樣本的抽取要具有隨機性.
例如:某學校高一年級為了了解全年級1 200名學生的體重，從中抽取100名學生進行測量分析.在這個問題中總體是指“某學校高一年級全年級1 200名學生的體重”，而樣本則是指“從中抽取的100名學生的體重”，樣本容量則是100.
統(tǒng)計的基本思想方法就是用樣本估計總體，即當總體容量很大或檢測過程具有一定的破壞性時，不去直接研究總體，而是從總體中抽取一個樣本，根據樣本的情況去估計總體的相應情況.如為了檢測一批小麥良種的發(fā)芽率，我們可以從中隨機地選出100粒進行試驗.通過這100粒小麥的發(fā)芽率來估計這批小麥的發(fā)芽率.
二、簡單隨機抽樣
1．定義
一般地，從個體數為N的總體中不重復地取出n(n
39，將它去掉；繼續(xù)向右讀，得到16，將它取出；繼續(xù)下去，又得到19，10，12，07，39，38，33，21，隨后的兩位數字號碼是12，由于它在前面已經取出，將它去掉，再繼續(xù)下去，得到34．至此，10個樣本已經取滿，于是，所要抽取的樣本號碼是:16，19，10，12，07，39，38，33，21，34．
(6)使用隨機數表法的注意事項:
利用隨機數表抽取樣本時，數表中的數字可以兩兩連在一起，也可以三三連在一起，這就要視總體中個體的個數而言.如果總體中個體的個數不多于100個，我們一般用兩位數表，即將數表中的數碼兩兩連在一起，如01，23，99，…；如果總體中個體的個數多于100個而不多于1 000個，我們一般用三位數，就是將數碼三三連在一起，如012，567，999,…；….除此之外，當選定開始讀數的數后，讀數的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等等.如在上一個實例中，當選定數碼5后，我們也可以向左讀取數碼，這樣得到樣本號碼分別是:01，06，12，25，33，21，04，24，31，17．
(7)隨機數表法的適用范圍:適用于總體中個體個數較少時抽取樣本的抽樣方法.當總體中個體數較多時，利用隨機數表選數將變得比較麻煩.
三、系統(tǒng)抽樣
1．定義
當總體中個體的個數較多時，采用簡單隨機抽樣顯得較為費事.這時，可將總體平均分成幾部分，然后按照預先定出的規(guī)則，從每個部分中抽取一個個體，得到所需要的樣本，這樣的抽樣方法稱為系統(tǒng)抽樣.
例如，為了了解參加某種知識競賽的1 000名學生的成績，打算從中抽取一個容量為50的樣本.假定這1 000名學生的編號是1，2，…，1 000，由于50∶1 000=1∶20，我們將總體分成50部分，其中每一部分包括20個個體，例如第1部分的編號是1，2，…，20.然后在第1部分利用簡單隨機抽樣的方法隨機抽取一個號碼，比如它是18，那么可以從第18號起，按事先確定的規(guī)則，如每隔20個抽取一個號碼，這樣得到一個容量為50的樣本:
18，38，58，…，978，998．
上例中，由于總體中的個體數1 000恰好是50的倍數，可以被樣本容量50整除，可以用它們的比值作為進行系統(tǒng)抽樣的間隔.如果不能整除，比如總體中的個體為1 003，樣本容量仍為50，這時可用簡單隨機抽樣先從總體中剔除3個個體(抽簽法和隨機數表法均可)，使剩下的個體數1 000能被樣本容量50整除，然后再按系統(tǒng)抽樣方法往下進行.
2．系統(tǒng)抽樣的步驟
(1)采用隨機的方式將總體中的個體編號.
(2)將整個的編號按一定的間隔分段(樣本容量是幾，就分成幾部分)，要確定分段的間隔.當(N為總體中的個體數，n為樣本容量)是整數時，k= ；當不是整數時，通過從總體中剔除一些個體使剩下的總體中個體個數N`能被n整除，這時k= .
(3)在第1段中用簡單隨機抽樣的方法確定起始號m.
(4)將編號為m,m+k,m+2k,…,m+(n-1)k的個體抽出.
3．系統(tǒng)抽樣與簡單隨機抽樣的聯(lián)系
系統(tǒng)抽樣與簡單隨機抽樣的聯(lián)系在于:將總體均分后的每一部分進行抽樣時，采用的是簡單隨機抽樣.
4．系統(tǒng)抽樣的優(yōu)點和缺點
系統(tǒng)抽樣的優(yōu)點是簡便易行；當對總體結構有一定了解時，充分利用已有信息對總體中的個體進行排隊再抽樣，可提高抽樣的效率；當總體中的個體存在一種自然編號時，便于施行系統(tǒng)抽樣法.系統(tǒng)抽樣的缺點是在不了解樣本總體的情況下，所抽出的樣本可能有一定的偏差.
四、分層抽樣
1．定義
一般地，當已知總體由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本更客觀地反映總體的情況，通常將總體中的個體按不同的特點分層次比較分明的幾部分，然后按照各部分在總體中所占的比實施抽樣，這樣的抽樣方法就叫分層抽樣.其中所分成的各部分稱為層.
例如，一個單位的職工有500人，其中不到35歲的有125人，35歲到49歲之間的有280人，50歲以上的有95人.為了了解這個單位職工與身體狀況有關的某項指標，要從中抽取一個容量為100的樣本.總體是由差異明顯的幾部分組成的.不同年齡的職工的身體狀況差異比較大，不能在這500人中隨機地抽取100人，也不宜在這三個年齡段的職工中平均抽取樣本.這時，前面所學的兩種抽樣方法都不適用，因為這兩種抽樣方法都不能準確地反映客觀實際，這就需要一個更有效的抽樣方法——分層抽樣.
具體的操作過程是:(1)確定各年齡段被抽的人數.由于樣本容量與總體中的個體數的比為100∶500=1∶5，所以在各年齡段抽取的個體數依次為，，，即25，56，19．
(2)用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法抽出各年齡段作為樣本的職工.
分層抽樣的特點是:分層抽樣時，每個個體被抽到的可能性是相等的.由于分層抽樣充分利用了已知信息，使樣本具有較好的代表性，而且在各層抽樣時，可以根據具體情況采取不同的抽樣方法，因此分層抽樣在實踐中有著非常廣泛的應用.
2．分層抽樣的步驟
(1)將總體按一定的標準(分層的標準由題意來確定)分層；
(2)計算各層的個體數與總體的個體的比；
(3)按各層中個體數占總體的比確定各層應抽取的樣本容量；
(4)在每一層進行抽樣，抽樣時根據各層中個體的個數選擇適當的抽樣方法:個體數較少時用簡單隨機抽樣，當個體數較多時可采用系統(tǒng)抽樣.
3．三種抽樣方法的特點與適用范圍
分層抽樣和簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣的聯(lián)系:將總體分成幾層，分層抽取樣本時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣.簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣關系密切，對抽取樣本來說，可謂異曲同工.無論采取哪一種抽樣方法，必須保證在整個抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等.為了對三種抽樣方法進行比較，加深對三者的理解，以達到在抽樣實踐中正確地對它們進行選擇的功效，教材又將三種抽樣方法的特點和適用范圍進行了歸納，現列表如下:
類 別
特 點
相互聯(lián)系
適用范圍
共同點
簡單隨機抽樣
從總體中逐個抽取
總體中個體個數較少
抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等
系統(tǒng)抽樣
將總體均分為幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取
在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣
總體中個體個數較多
分層抽樣
將總體分成幾層，分層進行抽取
各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣
總體由差異明顯的幾部分組成
抓住三種抽樣方法的本質特征是正確應用這三種抽樣方法的前提.
問題探究
問題1:吸煙有害健康.你知道嗎?被動吸煙(在吸煙的環(huán)境中被動地吸入煙氣)也大大危害著人類的健康.為此，聯(lián)合國規(guī)定每年的5月31日為世界無煙日.讓我們行動起來，在無煙的環(huán)境中健康地成長和生活.
請你想一想，如果讓你統(tǒng)計你們地區(qū)居民的吸煙狀況，你會采用什么方法，注意什么問題？
探究:由于不論是哪一個地區(qū)，人口都很多，我們不可能對每個對象都進行調查，只能從其中抽取一部分來進行調查.這就涉及到了抽樣方法的選取.我們學的抽樣方法有三種:簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣.這三種抽樣方法有著各自的特點和適用范圍.簡單隨機抽樣簡便易行，但它只適用于個體數較少的總體，當總體中個體個數較多時我們常采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本.當總體由差異明顯的幾部分組成時我們宜采用分層抽樣的方法.由于不論是哪個地區(qū)吸煙的人群中年齡、性別、經濟基礎和工作性質都有著很大的區(qū)別,所以在抽取樣本時宜采用分層抽樣的方法(如可按年齡分層，也可以按性別分層).而在每層抽取樣本時，再根據實際情況來選取是用簡單隨機抽樣還是采用系統(tǒng)抽樣.
問題2:抽樣方法在實際生活中有著廣泛的應用.你能說說都有哪些嗎？
探究:我們生活在一個數字化的時代，時時刻刻都在與數據打交道，如產品的合格率、農作物的產量、商品銷售量、當地的氣溫、就業(yè)狀況、電視臺的收視率等.這些數據都是通過抽樣的方法得到的.常用的抽樣方法有三種:簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣，這三種抽樣方法關系密切，對抽取樣本來說，可謂異曲同工.無論采取哪一種抽樣方法，必須保證在整個抽樣過程中每個個體被抽到的可能性是相等的.而在實際操作時，應根據總體中的個體數和個體的特點來選擇適當的抽樣方法.
例如:要從高一(1)班40名學生中隨機抽選8人去參加一項活動，我們應采用簡單隨機抽樣的方法.
但應注意:由于總體的復雜性，在實際抽樣中，為了使樣本具有代表性，通常要同時使用幾種抽樣方法.
問題3:1936年，美國《文學文摘》雜志根據1 000萬戶電話用戶和從該雜志訂戶所收回的意見，斷言蘭登將以370∶161的優(yōu)勢在總統(tǒng)選舉中擊敗羅斯福.但結果是，羅斯福當選了，《文學文摘》大丟面子.你知道原因何在嗎？
探究:在實際抽樣中，應使樣本具有代表性，對于美國選民來說他們在年齡、性別、經濟基礎和工作性質等方面都有著很大的區(qū)別.因此在抽樣調查時，應采用分層抽樣的方法進行抽樣，這樣才能使樣本具有一定代表性.在1936年使用電話或訂閱《文學文摘》雜志的人，在經濟上都相對富裕，而收入不高的是大多數的選民，他們選擇了羅斯福.《文學文摘》的教訓表明，抽樣抽查時，既要關注樣本的大小，又要關注樣本的代表性.
精題精講
例1．某工廠有工人1 200人，為了調查某種情況打算抽取一個樣本容量為50的樣本，問此樣本若采用簡單隨機抽樣將如何獲得?
思路解析
簡單隨機抽樣分兩種:抽簽法和隨機數表法.盡管此題的總體中的個數不算少，但依題意其操作過程能保障每一個個體被抽到的機會等可能.所以，可將這1 200個工人進行編號,利用抽簽法或隨機數表法來進行抽樣.
解法一:首先，把該工廠的工人都編上號碼:0 001，0 002，0 003，…，1 200.如用抽簽法，則作1 200個形狀、大小相同的號簽(號簽可以用小球、卡片、紙條等制作)，然后將這些號混合放在同一個箱子里，進行均勻攪拌.抽簽時，每次從中抽一個號簽，連續(xù)抽50次，就得到一個容量為50的樣本.
解法二:首先，把該工廠的工人都編上號碼:0 001，0 002，0 003，…，1 200.如用隨機數表法，則可在數表上隨機選定一個起始位置.假如起始位置是表中第5行第9列的數字從6開始向右連續(xù)取數字，以4個數為一組，碰到右邊線時向下錯一行向左繼續(xù)取，所得數字如下:
6 438，5 482，4 622，3 162，4 309，9 006，1 844，3 253，2 383，0 130，3 046，1 943，6 248，3 469，0 253，7 887，3 239，7 371，2 845，3 445，9 493，4 977，2 261，8 442，….
所錄取的4位數字如果小于或等于1 200，則對應此號的工人就是被抽取的個體；如果所取的4位數大于1 200而小于2 400，則減去1 200剩余數即是被抽取的號碼；如果所取的4位數大于2 400而小于3 600，則減去2 400剩余數即是被抽取的號碼…(出現重復數則去掉)可得下列數字:
0 438，0 682，1 022，0 762，0 709，0 606，0 644，0 853，1 183，0 130，0 646，0 743，0 248，1 069，0 253，0 687，0 839，0 171，0 445，1 045，1 093，0 177，1 061，0 042，…,一直取夠50人為止.
綠色通道
本題的解法體現了簡單隨機抽樣的適用范圍和步驟.規(guī)范的、不帶主觀意向的隨機抽樣，才能保證公平性、客觀性、準確性和可信性.而利用隨機數表法進行抽樣時，數表中數字的位數要與編號的位數一致.
例2．某單位有在崗職工1 244人，為了調查工人上班時，從離開家到來到單位的路上平均所用時間，決定從中抽取10%的工人調查這一情況.如何采用系統(tǒng)抽樣方法完成這一抽樣？
思路解析
由于總體中個體數比較多，且抽取的樣本中個體的個數也比較多，如果此時再用簡單隨機抽樣，則操作過程將比較麻煩.所以此時可以考慮系統(tǒng)抽樣.抽樣時總體中的每個個體，都必須等可能地入樣.本題中總體中個體數為1 244，而為了抽取一個容量為120的樣本，只有先剔除總體中的一部分個體才能實現“等距”入樣，且又具有等可能性.因此，解此題時，應選用系統(tǒng)抽樣法，且應先剔除，再“分段”，后定起始位置.
解:首先，將在崗的工人1 244人，用隨機方式編號(如按出生年月順序)，0 000，0 001，0 002，0 003，…，1 243．第二步，由題意知，應取124人的樣本.因為不是整數，所以應從總體中剔除4個人，(剔除方法用隨機數表法或抽簽法)將余下的1 200人，按編號順序補齊0 000，0 001，0 002，0 003，…，1 239分成120段，每段10人，在第一段0 000，0 001，0 002，…,0 009這十個編號中隨機定一起始號為m，則編號m，m+10，m+20，…,m+11910為所取的樣本.
綠色通道
采用系統(tǒng)抽樣可以減少工作量，提高可操作性，減少人為的導向和誤差.當總體中個體數不能被所抽樣本中個體數整除時，必須先用簡單隨機抽樣的方法從中抽取幾個樣本，以使余下的總體中的個體數被樣本中的個體數整除.
利用隨機抽樣的方法抽取樣本時，總體中的個體數必須是樣本中個體的倍數，否則必須先用簡單隨機抽樣的方法從中抽取幾個樣本，使余下的總體中的個體數被樣本中的個體數整除.
例3．要從高一(1)班40名學生中隨機抽選8人去參加一項活動，分別用抽簽法和隨機數表法進行抽簽，并寫出過程.
思路解析
本題考查抽簽法和隨機數表法的步驟應用.先將40名學生編號，然后按抽簽法和隨機數表法的步驟進行抽樣即可.
解:抽簽法:
將全班40名學生編號，可編號為00，01，02，…，39，并把號碼寫在形狀、大小相同的小球上，然后將這些號簽放在同一個箱子中，攪拌均勻.每次從中抽出一個號簽，連續(xù)抽取8次，便可得到一個容量為8的樣本，參加比賽的8人便產生了.當然，也可以一次從中取出8個號簽.
隨機數表法:
第一步，先將這40名學生編號，可以編為00，01，02，…，39．
第二步，在附錄1隨機數表中任選出一個數作為開始.例如從第8行第9列的數5開始.
第三步，從選定的數字5開始，向右讀下去，得到第一個兩位數字號碼59，由于59>39，將它去掉；繼續(xù)向右讀，得到16，將它取出；繼續(xù)下去，又得到19，10，12，07，39，38，33．至此，8個樣本已經取滿，于是，所要抽取的樣本號碼是:16，19，10，12，07，39，38，33．參加比賽的8人便產生了.
綠色通道
簡單隨機抽樣的方法適用于總體中個體數較少時.在用抽簽法抽取樣本時，為了體現抽簽的客觀性和公平性,在制作號簽時，一定要注意使號簽的大小、形狀都相同.
利用隨機數表法抽樣本時，起始數字可以隨便選擇，在讀數時，讀數的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等等，只要具有一定的規(guī)律就可以.如果總體中個體的個數不多于100個，我們一般用兩位數表，即將數表中的數碼兩兩連在一起，如01，23，…，99．
例4．在1 000個有機會中獎的號碼(編號為000～999)中，在公證部門監(jiān)督下按照隨機抽取的方法確定后兩位為88的號碼為中獎號碼，這是運用哪種抽樣方法來確定中獎號碼的？依次寫出這10個中獎號碼.
思路解析
由于總體中個體的個數較多，且被抽取的號碼有一定的規(guī)律性，故不宜采用隨機抽樣，因為隨機抽樣抽取的號碼具有隨機性，所以宜采用系統(tǒng)抽樣.
解:題中運用了系統(tǒng)抽樣的方法來確定中獎號碼，中獎號碼依次為088，188，288，388，488，588，688，788，888，988．
綠色通道
若題目中出現判斷采用何種抽樣方法時，可根據各抽樣方法的定義來判斷.利用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本時，如果規(guī)則已給出，則按題中給出的規(guī)則抽取樣本即可.
例5．為了考察某校的教學水平，將抽查這個學校高三年級的部分學生的本學年考試成績.為了全面地反映實際情況，采用以下三種方式進行抽查(已知該校高三年級共有20個教學班，并且每個班內的學生已經按隨機方式編好了學號，假定該校每班學生人數都相同):
①從全年級20個班中任意抽取一個班，再從該班中任意抽取20人，考察他們的學習成績；
②每個班抽取1人，共計20人，考察這20個學生的成績；
③把學生按成績分成優(yōu)秀、良好、普通三個級別，從中抽取100名學生進行考察(已知:若按成績分，該校高三學生中優(yōu)秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人).
根據上面的敘述，試回答下列問題:
(1)上面三種抽取方式中，其中總體、個體、樣本分別指的是什么？每一種抽取方式抽取的樣本中，其樣本容量分別是多少？
(2)上面三種抽取方式中各自采用何種抽取樣本的方法？
(3)試分別寫出上面三種抽取方式各自抽取樣本的步驟.
思路解析
本題目主要考查數理統(tǒng)計中的一些基本概念和基本方法.做這種題目時，應該注意敘述的完整性和條理性.
解:(1)這三種抽取方式中，其總體都是指該校高三全體學生本年度的考試成績;個體都是指高三年級每個學生本年度的考試成績.其中第一種抽取方式中樣本為所抽取的20名學生本年度的考試成績，樣本容量為20；第二種抽取方式中樣本為所抽取的20名學生本年度的考試成績，樣本容量為20；第三種抽取方式中樣本為所抽取的100名學生本年度的考試成績，樣本容量為100.
(2)上面三種抽取方式中，第一種方式采用的方法是簡單隨機抽樣法；第二種方式采用的方法是系統(tǒng)抽樣法和簡單隨機抽樣法；第三種方式采用的方法是分層抽樣法和簡單隨機抽樣法.
(3)第一種方式抽樣的步驟如下:
第一步:在這20個班中用抽簽法任意抽取一個班；
第二步:從這個班中按學號用隨機數表法或抽簽法抽取20名學生，考查其考試成績.
第二種方式抽樣的步驟如下:
第一步:在第一個班中，用簡單隨機抽樣法任意抽取某一個學生，記其學號為a；
第二步:在其余的19個班中，選取學號為a的學生，共計19人.
第三種方式抽樣的步驟如下:
第一步:分層.
因為若按成績分，其中優(yōu)秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取樣本時，應該把全體學生分成三個層次.
第二步:確定各個層次抽取的人數.
因為樣本容量與總體的個體數比為:100∶1000=1∶10，所以在每個層次抽取的個體數依次為，，，即15，60，25．
第三步:按層次分別抽取.
在優(yōu)秀生中用簡單隨機抽樣法抽取15人；
在良好生中用簡單隨機抽樣法抽取60人；
在普通生中用簡單隨機抽樣法抽取25人.
綠色通道
弄清考察對象是明確總體、個體、樣本的關鍵，這里考察的對象指的是數據.樣本中有多少個個體，樣本容量就是多少.
總體、個體、樣本的考察對象是同一的，所不同的是范圍的大小.樣本容量只是樣本中個體的數目，不能帶單位.被抽取出來的考生的考試成績，只是總體的一個樣本，抽取樣本的目的，是為了用這個樣本所反映出來的情況去估計總體的情況.
判斷采用何種抽樣方法時，應充分理解三種抽樣方法的定義.
利用抽簽法時一定要體現抽簽的客觀性和公平性.
利用隨機數表法時，要注意數字的組合.
采用系統(tǒng)抽樣法時，確定起始號后，一定要按規(guī)則抽取其余的樣本.
采用分層抽樣法時應先將總體按一定的標準分層；接著要計算樣本容量與總體的個體的比，以確定各層中應抽取的樣本容量，最后在每一層進行抽樣，抽樣時根據各層中個體的個數選擇適當的抽樣方法:個體數較少用簡單隨機抽樣，當個體個數較多時可采用系統(tǒng)抽樣.
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