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2019-2020年高中數(shù)學第一章《立體幾何初步》單元知識總結教案新課標人教版必修2(B) 知識鏈接 空間幾何體 構成幾何體的基本元素 平行投影與中心投影 柱，錐，臺，球的表面積和體積 柱，錐，臺，球的結構特征 直觀圖和三視圖的畫法 確定平面的條件 平面的基本性質 空間平行直線及其傳遞性 點，線，面之間的位置關系 直線與平面平行的判定及性質 空間中的平行關系 平面與平面平行的判定及性質 直線與平面垂直的判定及性質 空間中的垂直關系 平面與平面垂直的判定及性質 點擊考點 （1） 了解柱，錐，臺，球及簡單組合體的結構特征。 （2） 能畫出簡單空間圖形的三視圖，能識別三視圖所表示的立體模型，并會用斜二測法畫出它們的直觀圖。 （3） 通過觀察用平行投影與中心投影這兩種方法畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式。 （4） 理解柱，錐，臺，球的表面積及體積公式。 （5） 理解平面的基本性質及確定平面的條件。 （6） 掌握空間直線與直線，直線與平面，平面與平面平行的判定及性質。 （7） 掌握空間直線與平面，平面與平面垂直的判定及性質。 名師導航 1.學習方法指導 （1） 空間幾何體 ①空間圖形直觀描述了空間形體的特征，我們一般用斜二測畫法來畫空間圖形的直觀圖。 ②空間圖形可以看作點的集合，用符號語言表述點，線，面的位置關系時，經(jīng)常用到集合的有關符號，要注意文字語言，符號語言，圖形語言的相互轉化。 ③柱，錐，臺，球是簡單的幾何體，同學們可用列表的方法對它們的定義，性質，表面積及體積進行歸納整理。 ④對于一個正棱臺，當上底面擴展為下底面的全等形時，就變?yōu)橐粋€直棱柱；當上底面收縮為中心點時，就變?yōu)橐粋€正棱錐。由和，就可看出它們的側面積與體積公式的聯(lián)系。 （2） 點，線，面之間的位置關系 ①“確定平面”是將空間圖形問題轉化為平面圖形問題來解決的重要條件，這種轉化最基本的就是三個公理。 ②空間中平行關系之間的轉化：直線與直線平行 直線與平面平行 平面與平面平行。 ③空間中垂直關系之間的轉化：直線與直線垂直 直線與平面垂直 平面與平面垂直。 2.思想方法小結 在本章中需要用到的數(shù)學思想方法有：觀察法，數(shù)形結合思想，化歸與轉化思想等。主要是立體幾何問題轉化為平面幾何問題，平行與垂直的相互轉化等。 3.綜合例題分析 例1：如圖，P是ABC所在平面外一點，，，分別是，，的重心。 （1） 求證：平面平面ABC； P （2） 求：. 證明:(1) 連結,,,設, ,,則D,E,F分 別是BC,AC,AB的中點,且 C A B 所以, , 且,, 所以 , 從而, 平面平面ABC. (2) 由平面幾何知識有，， 所以， . 點評: (1)由線線平行 線面平行 面面平行,是證明平行問題的常用方法. (2)靈活運用平面幾何知識是解決本題的關鍵。 例2：試證：正四面體內(nèi)任意一點到各面距離之和等于這個正四面體的高。 分析：如圖，設P為正四面體ABCD內(nèi)任一點，AO為正四面體 A 的高，點P到各面的距離分別為 則 P B D C 即 正四面體各面是全等的正三角形 點評：多面體問題常用技巧有“割”“補”“等積變換”等，利用這些技巧可使問題化繁為易。 例3：圓臺的內(nèi)切球半徑為R，且圓臺的全面積和球面積之比為。求圓臺的上，下底面半徑（）。 解：如圖，設圓臺母線為， 則，由平面幾何知識得， 即 又 由題意得， 即 代入 得 ，，. 點評: (1) 解組合體的關鍵是注意選擇合適的角度畫出示意圖，通過交點交線來研究問題，正確作出截面，把復雜問題轉化為熟悉的,較常見的問題. (2) 軸截面在解決旋轉體問題中，有著相當重要的作用. 例4．已知三棱錐中，，，⊥平面，， 分別是上的動點，且， （Ⅰ）求證：不論為何值，總有平面⊥平面； （Ⅱ）當為何值時，平面⊥平面？ 證（Ⅰ）∵平面，∴， ∵，且，∴平面， 又∵（）， ∴不論為何值，恒有，∴平面，平面， ∴不論為何值恒有平面⊥平面． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又要平面平面， ∴平面，∴， ∵，，， ∴， ∴，由得， ∴， 故當時，平面平面． 點評：證明垂直和平行一樣，要注意線面與面面的轉化及立幾與平幾的轉化。 誤區(qū)莫入 （1） 幾何中的平面是沒有厚度且可以無限延展，因此，用平行四邊形表示平面時，必要時可以把它延展開來。如同畫直線一樣，直線是可以無限延展的，但在畫直線時，卻只畫出一條線段來表示。 （2） 平面幾何中有些概念和性質，推廣到空間不一定正確。如：“過直線外一點只能作一條直線與已知直線垂直”在空間就不正確。而有些命題推廣到空間還是正確，如：平行線的傳遞性及關于兩角相等的定理等。