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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 第八章 8.6 圓錐曲線的應(yīng)用教案 新人教A版 鞏固夯實(shí)基礎(chǔ) 一、自主梳理 解析幾何在日常生活中應(yīng)用廣泛，如何把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是解決應(yīng)用題的關(guān)鍵,而建立數(shù)學(xué)模型是實(shí)現(xiàn)應(yīng)用問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的常用方法.本節(jié)主要通過(guò)圓錐曲線在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，說(shuō)明數(shù)學(xué)建模的方法，理解函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想. 二、點(diǎn)擊雙基 1.一拋物線形拱橋，當(dāng)水面離橋頂2 m時(shí)，水面寬4 m，若水面下降1 m時(shí)，則水面寬為（ ） A. m B.2 m C.4.5 m D.9 m 解析：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0),由題意知，拋物線過(guò)點(diǎn)（2，-2）,∴4=2p2. ∴p=1.∴x2=-2y. 當(dāng)y0=-3時(shí)，得x02=6. ∴水面寬為2|x0|=2. 答案：B 2.某拋物線形拱橋的跨度是20 m，拱高是4 m，在建橋時(shí)每隔4 m需用一柱支撐，其中最長(zhǎng)的支柱是（ ） A.4 m B.3.84 m C.1.48 m D.2.92 m 解析：建立適當(dāng)坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0),由題意知其過(guò)定點(diǎn)（10，-4），代入x2=-2py,得p=. ∴x2=-25y.當(dāng)x0=2時(shí)，y0=， ∴最長(zhǎng)支柱長(zhǎng)為4-|y0|=4-=3.84(m). 答案：B 3.天安門(mén)廣場(chǎng)，旗桿比華表高，在地面上，觀察它們頂端的仰角都相等的各點(diǎn)所在的曲線是( ) A.橢圓 B.圓 C.雙曲線的一支 D.拋物線 解析：設(shè)旗桿高為m,華表高為n,m＞n.旗桿與華表的距離為2a,以旗桿與地面的交點(diǎn)和華表與地面的交點(diǎn)的連線段所在直線為x軸、垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)曲線上任一點(diǎn)M(x,y),由題意=，即(m2-n2)x2+(m2-n2)y2-2a(m2-n2)x+(m2-n2)a2=0. 答案：B 4.探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源在拋物線的焦點(diǎn)，已知燈口直徑是60 cm,燈深40 cm,則光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離是________________ cm. 解析：設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),點(diǎn)（40，30）在拋物線y2=2px上， ∴900=2p40. ∴p=. ∴=.因此，光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離為 cm. 答案： 5.在相距1 400 m的A、B兩哨所，聽(tīng)到炮彈爆炸聲音的時(shí)間相差3 s，已知聲速340 m/s.炮彈爆炸點(diǎn)所在曲線的方程為_(kāi)_____________________________________________________. 解析：設(shè)M（x,y）為曲線上任一點(diǎn)，則|MA|-|MB|=3403=1 020<1 400. ∴M點(diǎn)軌跡為雙曲線，且a==510,c==700. ∴b2=c2-a2=(c+a)(c-a)=1 210190. ∴M點(diǎn)軌跡方程為-=1. 答案：-=1 誘思實(shí)例點(diǎn)撥 【例1】 設(shè)有一顆彗星沿一橢圓軌道繞地球運(yùn)行，地球恰好位于橢圓軌道的焦點(diǎn)處，當(dāng)此彗星離地球相距m萬(wàn)千米和m萬(wàn)千米時(shí)，經(jīng)過(guò)地球和彗星的直線與橢圓的長(zhǎng)軸夾角分別為和,求該彗星與地球的最近距離. 剖析：本題的實(shí)際意義是求橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，一般的思路：由直線與橢圓的關(guān)系，列方程組解之；或利用定義法抓住橢圓的第二定義求解.同時(shí)，還要注意結(jié)合橢圓的幾何意義進(jìn)行思考.仔細(xì)分析題意，由橢圓的幾何意義可知：只有當(dāng)該彗星運(yùn)行到橢圓的較近頂點(diǎn)處時(shí)，彗星與地球的距離才達(dá)到最小值即為a-c，這樣把問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求a、c或a-c. 解：建立如下圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)地球位于焦點(diǎn)F（-c,0）處，橢圓的方程為+=1, 當(dāng)過(guò)地球和彗星的直線與橢圓的長(zhǎng)軸夾角為π3時(shí)，由橢圓的幾何意義可知，彗星A只能滿足∠x(chóng)FA=(或∠x(chóng)FA′=). 作AB⊥Ox于B，則｜FB｜=｜FA｜=m, 故由橢圓的第二定義可得 兩式相減得m=m,∴a=2c. 代入①,得m=(4c-c)=c, ∴c=m. ∴a-c=c=m. 答:彗星與地球的最近距離為m萬(wàn)千米. 講評(píng)：（1）在天體運(yùn)行中，彗星繞恒星運(yùn)行的軌道一般都是橢圓,而恒星正是它的一個(gè)焦點(diǎn)，該橢圓的兩個(gè)端點(diǎn)，一個(gè)是近地點(diǎn),另一個(gè)則是遠(yuǎn)地點(diǎn)，這兩點(diǎn)到恒星的距離一個(gè)是a-c,另一個(gè)是a+c. (2)以上給出的解答是建立在橢圓的概念和幾何意義之上的，以數(shù)學(xué)概念為根基充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.另外，數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的解決在數(shù)學(xué)化的過(guò)程中也要時(shí)刻不忘審題，善于挖掘隱含條件，有意識(shí)地訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維品質(zhì). 【例2】 某工程要挖一個(gè)橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運(yùn)到P處（如圖所示）.已知PA=100 m，PB=150 m,∠APB=60,試說(shuō)明怎樣運(yùn)土最省工. 剖析：首先抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，半圓中的點(diǎn)可分為三類：（1）沿AP到P較近；（2）沿BP到P較近；（3）沿AP、BP到P同樣遠(yuǎn). 顯然，第三類點(diǎn)是第一、二類的分界點(diǎn)，設(shè)M是分界線上的任意一點(diǎn).則有｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜. 于是｜MA｜-｜MB｜=｜PB｜-｜PA｜=150-100=50. 從而發(fā)現(xiàn)第三類點(diǎn)M滿足性質(zhì)：點(diǎn)M到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之差等于常數(shù)50，由雙曲線定義知，點(diǎn)M在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求此雙曲線的方程. 解：以AB所在直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系xOy,設(shè)M(x,y)是沿AP、BP運(yùn)土同樣遠(yuǎn)的點(diǎn)，則 ｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜, ∴｜MA｜-｜MB｜=｜PB｜-｜PA｜=50. 在△PAB中，由余弦定理得｜AB｜2=｜PA｜2+｜PB｜2-2｜PA｜｜PB｜c(diǎn)os60=17 500, 且50＜｜AB｜.由雙曲線定義知M點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上，設(shè)此雙曲線方程為-=1(a＞0,b＞0). ∵ 解之得 ∴M點(diǎn)軌跡是-=1(x≥25)在半圓內(nèi)的一段雙曲線弧.于是運(yùn)土?xí)r將雙曲線左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處，右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處最省工. 講評(píng)：（1）本題是不等量與等量關(guān)系問(wèn)題，涉及到分類思想，通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)的集合性質(zhì)，構(gòu)造圓錐曲線模型（即分界線）從而確定出最優(yōu)化區(qū)域. （2）應(yīng)用分類思想解題的一般步驟：①確定分類的對(duì)象；②進(jìn)行合理的分類；③逐類逐級(jí)討論；④歸納各類結(jié)果. 【例3】 根據(jù)我國(guó)汽車制造的現(xiàn)實(shí)情況，一般卡車高3 m，寬1.6 m.現(xiàn)要設(shè)計(jì)橫斷面為拋物線形的雙向二車道的公路隧道，為保障雙向行駛安全，交通管理規(guī)定汽車進(jìn)入隧道后必須保持距中線0.4 m的距離行駛.已知拱口AB寬恰好是拱高OC的4倍，若拱寬為a m，求能使卡車安全通過(guò)的a的最小整數(shù)值. 剖析：根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，卡車通過(guò)隧道時(shí)應(yīng)以卡車沿著距隧道中線0.4 m到2 m間的道路行駛為最佳路線，因此，卡車能否安全通過(guò)，取決于距隧道中線2 m（即在橫斷面上距拱口中點(diǎn)2 m）處隧道的高度是否夠3 m，據(jù)此可通過(guò)建立坐標(biāo)系，確定出拋物線的方程后求得. 解：如圖，以拱口AB所在直線為x軸，以拱高OC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由題意可得拋物線的方程為x2=-2p(y-), ∵點(diǎn)A（-,0）在拋物線上, ∴(-)2=-2p(0-),得p=. ∴拋物線方程為x2=-a(y-). 取x=1.6+0.4=2,代入拋物線方程,得 22=-a(y-),y=. 由題意,令y＞3,得＞3, ∵a＞0,∴a2-12a-16＞0. ∴a＞6+2. 又∵a∈Z,∴a應(yīng)取14，15，16，…. 答:滿足本題條件使卡車安全通過(guò)的a的最小正整數(shù)為14 m. 講評(píng)： 本題的解題過(guò)程可歸納為兩步:一是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義，確定解題途徑，得到距拱口中點(diǎn)2 m處y的值;二是由y＞3通過(guò)解不等式，結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際意義和要求得到a的值，值得注意的是這種思路在與最佳方案有關(guān)的應(yīng)用題中是常用的.