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2019-2020年高二數(shù)學(xué)下 11.3《兩條直線位置關(guān)系》教案（1） 滬教版 　一、教學(xué)內(nèi)容分析 本小節(jié)的內(nèi)容大致可以分為兩部分：一是兩條直線的交點(diǎn)、位置關(guān)系；二是兩條直線的夾角.預(yù)計(jì)需要三課時:第一課時, 兩條直線的交點(diǎn)和位置關(guān)系; 第二課時, 兩條直線的夾角; 第三課時,兩直線的位置關(guān)系與夾角公式的應(yīng)用. 在初中平面幾何中研究過兩條直線的關(guān)系.在本小節(jié)的教學(xué)中，我們用代數(shù)方法，在平面直角坐標(biāo)系中，研究怎樣用直線的方程來判斷兩條直線的位置關(guān)系，體現(xiàn)了解析幾何用方程研究曲線的基本思想. 本小節(jié)的重點(diǎn)是由直線方程求兩條直線的交點(diǎn)、兩條直線位置關(guān)系的判斷，以及根據(jù)直線方程求兩條直線夾角的方法.在認(rèn)識直線與直線方程的對應(yīng)關(guān)系的基礎(chǔ)上，抓住“形與數(shù)”的對應(yīng)，理解求兩條直線的交點(diǎn)就是求它們的方程的公共解，將兩條直線位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的二元一次方程組的解的個數(shù)問題，由此得出兩條直線的三種位置關(guān)系：相交、平行、重合，對于相應(yīng)的二元一次方程組就是：有唯一解、無解、無數(shù)多個解. 然后對兩直線相交的情況作定量的研究，規(guī)定兩條相交直線所交成的銳角或直角為兩條相交直線的夾角，通過分析兩條相交直線的圖形的幾何性質(zhì)，聯(lián)想兩條直線的夾角與兩條直線的方向向量的夾角的關(guān)系，推導(dǎo)出兩條直線的夾角公式. 本小節(jié)的難點(diǎn)是啟發(fā)學(xué)生把研究兩直線的位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為考查它們的方程組成的方程組的解的問題，以及兩條直線的夾角公式的推導(dǎo).突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是：建立新舊知識的聯(lián)系，尋找新知識的生長點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合使學(xué)生理解“形與數(shù)”之間的聯(lián)系，以及利用數(shù)量關(guān)系處理幾何關(guān)系的方法. 對直線方程的系數(shù)中含有未知數(shù)的兩直線的位置關(guān)系的分類討論是本小節(jié)的一個重點(diǎn)問題，也是一個難點(diǎn)問題. 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 理解兩條直線的交點(diǎn)就是它們所對應(yīng)的一次方程組的解，會求兩條相交直線的交點(diǎn)；掌握根據(jù)方程組解的情況判斷兩條直線平行、相交或重合的方法；理解兩條直線的位置關(guān)系在它們的方向向量及其法向量的關(guān)系上的反映，理解“形”與“數(shù)”之間的聯(lián)系.通過對兩直線位置關(guān)系的討論，運(yùn)用已有知識解決新問題的能力，提高運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法的能力. 三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 求兩條直線的交點(diǎn)，掌握判斷兩條直線的位置關(guān)系的方法；兩條直線的位置關(guān)系與相應(yīng)的方程組的解的個數(shù)之間的對應(yīng). 四、教學(xué)用具準(zhǔn)備 多媒體設(shè)備 五、教學(xué)流程設(shè)計(jì) 課堂小結(jié)并布置作業(yè) 兩條直線的位置關(guān)系與方程組的解的關(guān)系 兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo) 問題引出如何用直線方程判斷兩直線的位置關(guān)系 兩條直線的位置關(guān)系 （相交、平行、重合） 情境引入 運(yùn)用與深化(概念辨析、例題解析、鞏固練習(xí)、問題拓展) 六、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 一、情境設(shè)置，導(dǎo)入新課 用大屏幕打出直角坐標(biāo)系中的兩條直線，移動兩條直線，讓學(xué)生觀察這兩條直線的位置關(guān)系. 思考并回答下列問題　 1、平面上兩條直線有幾種位置關(guān)系？各有什么幾何特征？ 解答：兩條直線有三種位置關(guān)系：相交、平行、重合. 從幾何特征上看：相交有唯一的公共點(diǎn)；平行沒有公共點(diǎn)；重合至少有兩個公共點(diǎn)，進(jìn)而有無數(shù)個公共點(diǎn). [說明] 通過教具演示，增強(qiáng)直觀性，幫助學(xué)生迅速準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)兩條直線的關(guān)系，由此引出新課,為進(jìn)一步的研究作好鋪墊.并指出，垂直是相交的一種特殊情況. 2、在直角坐標(biāo)系中，這三種位置關(guān)系在直線方程上是怎樣體現(xiàn)的呢？ [說明] 通過對已有相關(guān)知識的回顧，自然地提出此問題（暫不要學(xué)生回答），給出下面的引例，引導(dǎo)學(xué)生來到新知識的生成場景中.讓學(xué)生帶著問題學(xué)習(xí)，明確了本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性. 二、學(xué)習(xí)新課 關(guān)于兩直線的交點(diǎn)、位置關(guān)系 1、概念引入 引例：解下列方程組： （1）；（2）；（3）． 然后，請你回答：上述方程組所表示的兩條直線的交點(diǎn)個數(shù)？如果兩直線相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)與這兩條直線的方程有何關(guān)系？ 解答：由直線方程的概念，我們知道 方程組（1）有唯一的解，兩條直線有且只有一個公共點(diǎn)為； 方程組（2）有無數(shù)組解，兩條直線有無數(shù)個公共點(diǎn)； 方程組（3）無解，兩條直線無公共點(diǎn). [說明] ①啟發(fā)學(xué)生觀察，并得出如下結(jié)論：方程組（1）~（3）的解的個數(shù)與其表示的兩條直線的交點(diǎn)個數(shù)是相同的；方程組（1）的解就是兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).并根據(jù)上述實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出兩條直線的位置關(guān)系與方程組的解的關(guān)系.②在探索概念階段, 讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過程，使得學(xué)生對概念的認(rèn)識不斷深入. 2、概念形成 一般地，設(shè)兩條直線的方程分別為 ：（不全為零）……① ：（不全為零）……② 兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo) 思考并回答：如何求直線、的交點(diǎn)？ 解答：由直線與直線方程的對應(yīng)關(guān)系，若兩條直線相交，由于交點(diǎn)同時在兩條直線上，則交點(diǎn)的坐標(biāo)一定是兩個方程的唯一公共解，反之，若兩個二元一次方程只有一個公共解，那么以這個解為坐標(biāo)的點(diǎn)必是兩條直線的交點(diǎn).由此得出直線、交點(diǎn)的求法： 聯(lián)立與的方程:……(Ⅰ)，此方程組的解,即為直線、交點(diǎn). n 兩條直線的位置關(guān)系與方程組的解的個數(shù)之間的關(guān)系 思考并回答：由方程①②如何判斷直線、的位置關(guān)系？ 解答：由引例分析、歸納出：直線、的三種位置關(guān)系：相交、平行、重合，對于直線、的方程聯(lián)立的方程組是：有唯一解、無解、無數(shù)多個解．因此我們可以通過討論方程組的解的個數(shù)得出直線、的位置關(guān)系. 聯(lián)立與的方程，得方程組:…(Ⅰ)，此方程組的解的個數(shù)與直線、交點(diǎn)的個數(shù)一致.計(jì)算由方程的系數(shù)構(gòu)成的行列式:，，.則 當(dāng)時，方程組(Ⅰ)有唯一的解為，此時、相交于一點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)是. 當(dāng)且中至少有一個不為零時，方程組(Ⅰ)無解，此時、沒有公共點(diǎn)，即直線與平行. 當(dāng)時，方程組(Ⅰ)有無窮多個解，此時、有無數(shù)多個公共點(diǎn)，即直線與重合. [說明]①這個問題是本節(jié)課的中心議題，應(yīng)引導(dǎo)全班學(xué)生積極思維，讓多一點(diǎn)學(xué)生發(fā)表意見，形成“高潮”；②指出：在平面幾何中，我們研究兩直線的位置關(guān)系時，不考慮兩條直線重合的情況，而在解析幾何中，由于兩個不同的方程可以表示同一條直線，我們把重合也作為兩直線的一種位置關(guān)系來研究. n 回到引例 請學(xué)生用上述結(jié)論，判斷引例中三組直線的位置關(guān)系. [說明] ①與引例前后呼應(yīng).本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)目的是使學(xué)生初步掌握判斷直線位置關(guān)系的方法：通過計(jì)算由直線方程的系數(shù)構(gòu)成的行列式、的值，判斷兩直線的平行、重合、相交. ②通過引例（2）（3）指出，前提條件是直線方程為一般形式. 3、概念的辨析 n 兩條直線的位置關(guān)系與其方程的系數(shù)之間的關(guān)系: 與相交方程組(Ⅰ)有唯一解即； 與平行方程組(Ⅰ)無解且中至少有一個不為零； 與重合方程組(Ⅰ)有無窮多解. n 時，與平行或重合，即是與平行的必要非充分條件.換言之，∥；若兩條直線不重合，則//． [說明] 引導(dǎo)學(xué)生得出：①兩條直線的位置關(guān)系，可以通過計(jì)算系數(shù)構(gòu)成的行列式得到；②對易出錯的概念進(jìn)行反思. 4、例題分析 例1已知直線：與：，求實(shí)數(shù)的值，使直線與平行.（補(bǔ)充例題） 解：先把直線的方程化為一般形式：. ,由,∴，解得或， 當(dāng)兩方程化為與顯然平行； 當(dāng) 兩方程化為與兩直線重合. ∴不符合，∴即為所求． [說明]①學(xué)生在練習(xí)中的“錯誤體驗(yàn)”將會有助于加深記憶，將學(xué)生容易忽略的環(huán)節(jié)，設(shè)置在補(bǔ)充的例題練習(xí)中，以便達(dá)到強(qiáng)化訓(xùn)練的目的．②強(qiáng)調(diào)是兩直線平行的必要條件，求得的字母取值可能使兩直線平行,也可能是重合，注意檢驗(yàn). 例2 討論直線下列各組直線之間的位置關(guān)系. （課本p17例2） (1)與 ; (2) 與. [說明]①及時鞏固重點(diǎn)內(nèi)容，使學(xué)生在課堂上就能掌握.同時強(qiáng)調(diào)規(guī)范的書寫和表達(dá)是否簡潔.通過對例題的講解，在解題步驟和方法上為學(xué)生起示范作用，并及時歸納總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生分析、思考，以及嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣;②小題(2)是直線方程的點(diǎn)斜式,需要先化為直線方程的一般形式. 例3求經(jīng)過原點(diǎn)且經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)的直線方程． 解：解方程組： 得，∴與的交點(diǎn)是， 設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)的直線方程為，把點(diǎn)代入，得， 所以，所求的直線方程為． [說明]例題的設(shè)計(jì)遵循了從了解到理解，從掌握到應(yīng)用，由淺入深，循序漸進(jìn)的不同層次要求. 例4 若三條直線：，：，：，當(dāng)為何值時，三條直線不能構(gòu)成三角形？（補(bǔ)充例題） 解:三條直線不能構(gòu)成三角形三條直線交于同一點(diǎn)或其中至少有兩條直線平行. （1）若三條直線交于同一點(diǎn)時, 解方程組, 得，即與的交點(diǎn)是（），把點(diǎn)（）代入直線的方程得． （2）若其中至少有兩條直線平行時， 由//得：; 由得:， 綜上：當(dāng)或或時三條直線不能構(gòu)成三角形. [說明]①本例為直線位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，涉及到求直線的交點(diǎn)及直線的平行或重合時,系數(shù)應(yīng)滿足的條件,因此,需要分類討論的思想方法.②解決三條直線交于一點(diǎn)的問題時,一般先求出其中兩條直線的交點(diǎn),再根據(jù)此交點(diǎn)也在第三條直線上，列式求解. 5．問題拓展 n 從向量的角度,兩條直線的三種位置關(guān)系有怎樣的體現(xiàn)呢? 與的一個方向向量分別是=,=;一個法向量分別是=,=.則與有如下關(guān)系： 相交不平行不垂直; 平行平行垂直 ; 重合平行垂直 . n 三種位置關(guān)系可以用直線的斜率表示嗎？ 由于不是所有的直線都有斜率，因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分類討論. 若至少有一條直線的斜率不存在，則設(shè)此直線方程為,通過圖示觀察,易知其關(guān)系. 若兩直線的斜率都存在,直線方程可以化為:，:,則有 ①//且； ②和重合且； ③和相交. [說明] 判斷直線位置關(guān)系的方法并不唯一，可以從行列式、向量、斜率三個不同角度考慮,使用時要注意方法上的選擇.一般情況,采用計(jì)算行列式的方法比較單純，這種方法更具一般性，便于使用，是本節(jié)課學(xué)習(xí)的重點(diǎn). 三、鞏固練習(xí) 練習(xí)11.3（1） [說明] 進(jìn)一步強(qiáng)化判斷兩條直線位置關(guān)系的方法，反饋學(xué)生對知識的掌握情況，評價(jià)學(xué)生對學(xué)習(xí)目標(biāo)的落實(shí)程度. 四、課堂小結(jié) 本課我們主要學(xué)習(xí)了哪些知識？應(yīng)當(dāng)注意什么？運(yùn)用了那些思想方法？ ① 知識點(diǎn)：本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了兩條直線的位置關(guān)系的判定方法，求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的方法.討論了已知兩直線的位置關(guān)系，求字母系數(shù)值的方法. 解決問題時，注意區(qū)分兩條直線平行與重合滿足的條件. ② 數(shù)學(xué)思想方法：類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想，特殊到一般的方法． [說明] 引導(dǎo)學(xué)生從知識內(nèi)容和思想方法兩個方面進(jìn)行小結(jié)，使學(xué)生對本節(jié)課的知識結(jié)構(gòu)有一個清晰的認(rèn)識，反思、鞏固所用到的數(shù)學(xué)方法，達(dá)到鞏固知識，明確方法的目的. 五、作業(yè)布置 1、書面作業(yè)：習(xí)題11.3 ----2,3,4,5,6,7,8,9 2、思考題：設(shè)直線的方程為，求證：不論m為何值，所給的直線經(jīng)過一定點(diǎn). 解 方法一：取m=0,1得:,把交點(diǎn)坐標(biāo)(3,4)代入原方程,可知對于任意m, 原方程均成立, 即不論m為何值，所給的直線經(jīng)過一定點(diǎn)(3,4). 方法二：對于任意實(shí)數(shù)m,關(guān)于的方程 的解都相同 對于任意實(shí)數(shù)m恒成立, 得:, 即不論m為何值，所給的直線經(jīng)過一定點(diǎn)(3,4). [說明]①作業(yè)布置1是課本習(xí)題，通過它來反饋知識掌握效果，鞏固所學(xué)知識，強(qiáng)化基本技能的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和品質(zhì)；②作業(yè)布置2設(shè)計(jì)成思考題，是為了給學(xué)有余力的學(xué)生留出自由發(fā)展的空間，學(xué)生可以根據(jù)實(shí)際情況選用.