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2019-2020年高中數(shù)學選修本(理科)2.1數(shù)學歸納法一 學習目標： 1.了解歸納法的意義，培養(yǎng)學生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力.能區(qū)分不完全歸納法與完全歸納法；學會由特殊到一般的思維方式. 2.了解數(shù)學歸納法的原理，并能以遞推思想作指導，理解數(shù)學歸納法的操作步驟. 3.能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題.并能嚴格按照數(shù)學歸納法證明問題的格式書寫. 學習重點：歸納法意義的認識和數(shù)學歸納法產生過程的分析. 學習難點：數(shù)學歸納法中遞推思想的理解. 學法指導： 數(shù)學歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關的命題的正確性的證明方法. 應用數(shù)學歸納法時還要注意證明n=k+1命題成立時，必須用到n=k時命題成立這個條件. 教學過程： 一、復習引入： 問題1：這里有一袋球共十二個，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請問怎么辦？ 方法一： 方法二： 特點： 問題2：在數(shù)列中，，先算出a2，a3，a4.的值，再推測通項an的公式. 解決以上兩個問題用的都是 再請看數(shù)學史上的兩個資料： 資料1: 費馬（Fermat）是17世紀法國著名的數(shù)學家，他是解析幾何的發(fā)明者之一，是對微積分的創(chuàng)立作出貢獻最多的人之一，是概率論的創(chuàng)始者之一，他對數(shù)論也有許多貢獻.但是，費馬曾認為，當n∈N時，一定都是質數(shù)，這是他對n=0，1，2，3，4時的值分別為3,5,17,257,65537作了驗證后得到的. 18世紀偉大的瑞士科學家歐拉（Euler）卻證明了當n=5時， =4 294 967 297=6 700 417641，從而否定了費馬的推測. 有人說，費馬為什么不再多算一個數(shù)呢？今天我們是無法回答的.但是要告訴同學們，失誤的關鍵不在于多算一個上！ 資料2：f（n）=n2+n+41，當n∈N時，f（n）是否都為質數(shù)？ f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61， f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131， f（10）=151，… f（39）=1 601. 但是f（40）=1 681=412是合數(shù) 算了39個數(shù)不算少了吧，但還不行！我們介紹以上兩個資料，不是說世界級大師還出錯，我們有錯就可以原諒，也不是說歸納法不行，不去學了，而是要找出運用歸納法出錯的原因，并研究出對策來. 對于生活、生產中的實際問題，得出的結論的正確性，應接受實踐的檢驗，因為實踐是檢驗真理的唯一標準.對于數(shù)學問題，應尋求數(shù)學證明 . 用這種思想設計出來的，用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明方法就是數(shù)學歸納法. 二、學習內容： 1.歸納法：. 特點： 2.不完全歸納法: 3.完全歸納法: 4.數(shù)學歸納法: 5.歸納法的基本思想： 6.用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關的命題的步驟： 三、例題： 用數(shù)學歸納法證明：如果{an}是一個等差數(shù)列，那么an=a1+(n－1)d對一切n∈N*都成立. 例2.用數(shù)學歸納法證明：1+3+5+…+(2n－1)=n2. 四、課堂練習： 1.用數(shù)學歸納法證明：1+2+3+…+n=. 五、小結 ： (1)中心內容是歸納法和數(shù)學歸納法；(2)歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，分類是完全歸納法和不完全歸納法二種，完全歸納法只局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結論不具有可靠性，必須用數(shù)學歸納法進行嚴格證明;(3)數(shù)學歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推(遞歸)思想，它的證明步驟必須是兩步，最后還要總結；(4)本節(jié)課所涉及到的數(shù)學思想方法有：遞推思想、分類討論思想、數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想 . 六、課后作業(yè)： 1.對一切自然數(shù)n，猜出使成立的最小自然數(shù)t. 2.平面上有n條直線，其中無兩條平行，無三條共點， 問：(1)這n條直線共有幾個交點f(n)？（ (2)這n條直線互相分割成多少條線段（或射線）？(條) (3)平面被這n條直線分割成多少塊區(qū)域？（） 3.已知數(shù)列｛an｝中，a1=, an+1=.求a2, a3, a4，猜測通項公式an 4.設數(shù)列｛an｝的各項均為正整數(shù)，a1=1，設Sn=a1+a2+……+an，若對自然數(shù)n總有Sn+1+Sn=( Sn+1－Sn)２ ，試推測用n表示Sn的關系式（S.