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2019-2020年高考數(shù)學異構異模復習第六章數(shù)列課時撬分練6.4數(shù)列求和數(shù)列的綜合應用理 1.[xx冀州中學猜題]已知等比數(shù)列{an}中的各項都是正數(shù)，且5a1，a3,4a2成等差數(shù)列，則＝(　　) A．－1 B．1 C．52n D．52n－1 答案　C 解析　設等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，則依題意有a3＝5a1＋4a2，即a1q2＝5a1＋4a1q，q2－4q－5＝0，解得q＝－1或q＝5.又q>0，因此q＝5，所以＝＝q2n＝52n，選C. 2．[xx武邑中學仿真]已知正項等差數(shù)列{an}滿足：an＋1＋an－1＝a(n≥2)，等比數(shù)列{bn}滿足：bn＋1bn－1＝2bn(n≥2)，則log2(a2＋b2)＝(　　) A．－1或2 B．0或2 C．2 D．1 答案　C 解析　由題意可知an＋1＋an－1＝2an＝a，解得an＝2(n≥2)(由于數(shù)列{an}每項都是正數(shù)，故an＝0舍去)，又bn＋1bn－1＝b＝2bn(n≥2)，所以bn＝2(n≥2)，所以log2(a2＋b2)＝log24＝2. 3．[xx衡水中學模擬]已知等比數(shù)列{an}的公比q＝2，且2a4，a6,48成等差數(shù)列，則{an}的前8項和為(　　) A．127 B．255 C．511 D．1023 答案　B 解析　∵2a4，a6,48成等差數(shù)列，∴2a6＝2a4＋48，∴2a1q5＝2a1q3＋48，解得a1＝1，∴S8＝＝255. 4．[xx冀州中學期中]已知等比數(shù)列{an}的各項均為不等于1的正數(shù)，數(shù)列{bn}滿足bn＝lg an，b3＝18，b6＝12，則數(shù)列{bn}的前n項和的最大值等于 (　　) A．126 B．130 C．132 D．134 答案　C 解析　∵bn＋1－bn＝lg an＋1－lg an＝lg 為常數(shù)， ∴{bn}為等差數(shù)列． 設公差為d，則∴ 由bn＝－2n＋24≥0，得n≤12，∴{bn}的前11項為正，第12項為零，從第13項起為負， ∴S11，S12最大且S11＝S12＝132. 5. [xx衡水中學仿真]設數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，記數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn.若a5＝b5，a6＝b6，且S7－S5＝4(T6－T4)，則＝________. 答案?。? 解析　由S7－S5＝4(T6－T4)得，a6＋a7＝4(b5＋b6)， 又a5＝b5，a6＝b6，所以a6＋a7＝4(a5＋a6)， 所以6a1＋25d＝0，所以a1＝－d， 又q＝＝＝＝－5， 所以＝＝＝＝－. 6．[xx棗強中學預測]已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝25－n，數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝n＋k，設cn＝若在數(shù)列{cn}中，c5≤cn對任意n∈N*恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是________． 答案　[－5，－3] 解析　cn是取an和bn中的較大值，又c5是數(shù)列{cn}中的最小項，由于函數(shù)y＝25－n是減函數(shù)，函數(shù)y＝n＋k是增函數(shù)，所以b5≤a5≤b6或a5≤b5≤a4，即5＋k≤25－5≤6＋k或25－5≤5＋k≤25－4，解得－5≤k≤－4或－4≤k≤－3，所以－5≤k≤－3. 7．[xx冀州中學一輪檢測]如圖，坐標紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：1,2,3,4,5,6的橫、縱坐標分別對應數(shù)列{an}(n∈N*)的前12項(如下表所示)，按如此規(guī)律下去，則axx＋axx＋axx＝________. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6 答案　1007 解析　由a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4可知，這個數(shù)列的規(guī)律是奇數(shù)項為1，－1,2，－2,3，－3，…，偶數(shù)項為1,2,3，…，故axx＋axx＝1，axx＝1006，故axx＋axx＋axx＝1007. 8．[xx武邑中學一輪檢測]等差數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，若S4≥4，S7≤28，則a10的最大值為________． 答案　16 解析　∵等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S4≥4，S7≤28， ∴即 ∴ ∴≤a10≤4＋6d，∴≤4＋6d，解得d≤2， ∴a10≤4＋62＝16. 9. [xx武邑中學月考]已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝，前n項和為Sn，若對任意的正整數(shù)n，不等式S2n－Sn>恒成立，則常數(shù)m所能取得的最大整數(shù)為________． 答案　5 解析　要使S2n－Sn>恒成立，只需(S2n－Sn)min>. 因為(S2(n＋1)－Sn＋1)－(S2n－Sn)＝(S2n＋2－S2n)－(Sn＋1－Sn)＝a2n＋1＋a2n＋2－an＋1＝＋－>＋－＝－>0，所以{S2n－Sn}為遞增數(shù)列，所以S2n－Sn≥S2－S1＝， 所以0， ∴d＝2，b1＝3，∴Tn＝3n＋2＝n2＋2n. 11．[xx冀州中學期末]某企業(yè)為了進行技術改造，設計了兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤；乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年增加5千元．兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息．若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復利計算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？(參考數(shù)據(jù)：取1.0510＝1.629,1.310＝13.786,1.510＝57.665) 解　甲方案中，每年所獲利潤組成等比數(shù)列，首項為1，公比為(1＋30%)，所以10年所獲得的總利潤為 S10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝＝42.62(萬元)， 貸款到期時，需要償還銀行的本息是10(1＋5%)10＝16.29(萬元)， 故使用甲方案所獲純利潤為42.62－16.29＝26.33(萬元)． 乙方案中，每年的利潤組成等差數(shù)列，首項為1，公差為0.5，所以10年所獲得的總利潤為T10＝1＋(1＋0.5)＋(1＋20.5)＋…＋(1＋90.5)＝101＋0.5＝32.5(萬元)， 從第一年起，每年的貸款在到期時所產(chǎn)生的本息組成等比數(shù)列，首項為1(1＋5%)10萬元，公比為， 故貸款到期時，需要償還銀行的本息是 1[(1＋5%)10＋(1＋5%)9＋…＋(1＋5%)]＝1.05≈13.21(萬元)， 故使用乙方案所獲純利潤為32.5－13.21＝19.29(萬元)． 綜上可知，甲方案獲利更多． 12. [xx衡水中學預測]數(shù)列{an}滿足an＋1＝，a1＝1. (1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列的前n項和Sn，并證明＋＋…＋>. 解　(1)證明：∵an＋1＝， ∴＝，化簡得＝2＋， 即－＝2，故數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列． (2)由(1)知＝2n－1，∴Sn＝＝n2. 證法一：＋＋…＋＝＋＋…＋>＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝. 證法二：(數(shù)學歸納法)當n＝1時，＝1，＝，不等式成立． 假設當n＝k時，不等式成立， 即＋＋…＋>. 則當n＝k＋1時，＋＋…＋＋>＋， 又∵＋－＝1－＋－1＋＝－＝>0， ∴＋＋…＋＋>， ∴原不等式成立． 解法三：＋＋…＋＝＋＋…＋>1， 又∵1>，∴＋＋…＋>. 能力組 13.[xx棗強中學熱身]設f(x)是定義在R上的恒不為零的函數(shù)，對任意實數(shù)x，y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因為對任意實數(shù)x，y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，所以令x＝n，y＝1，得f(n)f(1)＝f(n＋1)，即＝＝f(1)＝，所以數(shù)列{an}是以為首項，為公比的等比數(shù)列，an＝n，所以Sn＝＝1－，則Sn∈.故選C. 14．[xx衡水中學猜題]已知函數(shù)f(x)＝log2x－logx2(01－＝0， ∴an＋1>an，∴{an}是遞增數(shù)列． 15．[xx衡水中學一輪檢測]在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1an＝an－an＋1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝lg ，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解　(1)由題意得－＝1， 又因為a1＝1，所以＝1. 所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列， 所以＝n，即an＝. 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝. (2)由(1)得bn＝lg n－lg(n＋2)， 所以Sn＝lg 1－lg 3＋lg 2－lg 4＋lg 3－lg 5＋…＋lg (n－2)－lg n＋lg (n－1)－lg (n＋1)＋lg n－lg (n＋2)＝lg 1＋lg 2－lg (n＋1)－lg (n＋2)＝lg . 16．[xx冀州中學模擬]已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為a(單位：m2)，其中有部分舊住房要拆除．當?shù)赜嘘P部門決定每年以當年年初住房面積的10%建設新住房，同時也拆除面積為b(單位：m2)的舊住房． (1)分別寫出第一年末和第二年末的實際住房面積的表達式； (2)如果第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了30%，則每年拆除的舊住房面積b是多少？(計算時取1.15＝1.6)． 解　(1)第一年末的住房面積為a－b＝1.1a－b(m2)． 第二年末的住房面積為－b＝a2－b＝1.21a－2.1b(m2)． (2)第三年末的住房面積為－b＝a3－b(m2)， 第四年末的住房面積為 a4－b(m2)， 第五年末的住房面積為 a5－b ＝1.15a－b＝1.6a－6b(m2)． 依題意，得1.6a－6b＝1.3a，解得b＝. 所以每年拆除的舊房面積為 m2.