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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1 空間幾何體 1.1.4 投影與直觀圖課堂探究 新人教B版必修2 探究一 平行投影性質(zhì)的應(yīng)用 1．在應(yīng)用平行投影性質(zhì)時，要注意投射線、投射面之間的位置關(guān)系，尤其不要忽視投射線平行于所給平面圖形的情形． 2．常見圖形的平行投影 圖形 圖形的平行投影 點(diǎn) 是一個點(diǎn) 線段 是線段或一個點(diǎn) 線段的中點(diǎn) 是一個點(diǎn)(包括投影的線段的中點(diǎn)) 直線 是直線或一個點(diǎn) 平行直線 是兩條平行直線，或重合為一條直線，或是兩個點(diǎn) 平面圖形 當(dāng)平面圖形與投射線不平行時，投影與原圖形相似(包括全等) 【典型例題1】 下列四個命題： ①矩形的平行投影一定是矩形； ②梯形的平行投影一定是梯形； ③兩條相交直線的平行投影可能平行； ④如果一個三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位線的平行投影一定是這個三角形的平行投影的三角形的中位線． 其中正確命題的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：當(dāng)投射線與投射面垂直，矩形所在平面與投射面平行時，矩形的平行投影是矩形；當(dāng)投射線與矩形所在平面平行時，投影是一條線段；當(dāng)投射線與矩形不平行，矩形所在平面與投射面不平行時，其投影一般情況下為平行四邊形，①錯誤；當(dāng)投射線與梯形所在平面平行時，投影是一條線段；當(dāng)梯形所在平面與投射線不平行時，梯形的平行投影一定是梯形，②錯誤；當(dāng)投射線與兩相交直線所在平面平行時它的投影是一條直線；當(dāng)投射線與兩相交直線確定的平面不平行時，它的投影仍是兩條相交直線，③錯誤；“一個三角形的平行投影仍是三角形”，說明投射線與三角形所在的平面不平行，故可以用平行投影的性質(zhì)“在平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比”來判斷，④是正確的． 答案：B 探究二 畫平面圖形的直觀圖 1．畫水平放置的平面多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定頂點(diǎn)的位置． 2．建立平面直角坐標(biāo)系時，結(jié)合圖形的結(jié)構(gòu)特征，盡量使原平面圖形的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸或與坐標(biāo)軸平行的線段上． 3．原圖中不與x軸或y軸平行的線段，可以先作坐標(biāo)軸的平行線為輔助線畫出其端點(diǎn)然后再連線． 【典型例題2】 畫出水平放置的等腰梯形的直觀圖． 思路分析：根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，首先在原來的等腰梯形中建立平面直角坐標(biāo)系，要使盡可能多的頂點(diǎn)和線段在坐標(biāo)軸上，這樣作起圖來較為方便，然后按橫線相等，豎線是原來的一半的原則，作出對應(yīng)的各個頂點(diǎn)，連線即成． 畫法： (1)如圖①，取AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，畫對應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45． (2)以O(shè)′為中點(diǎn)在x′軸上取A′B′＝AB，在y′軸上取O′E′＝OE，以E′為中點(diǎn)畫C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD． (3)連接B′C′，D′A′，并擦去輔助線x′軸和y′軸及O′點(diǎn)、E′點(diǎn)，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖，如圖③． 探究三 畫空間圖形的直觀圖 1．畫棱柱、棱錐直觀圖的步驟： (1)畫軸：通常以高所在直線為z軸建系． (2)畫底面：根據(jù)平面圖形的直觀圖畫法確定底面． (3)確定頂點(diǎn)：利用與z軸平行或在z軸上的線段確定有關(guān)頂點(diǎn)． (4)成圖：擦去輔助線，連線成圖． 2．畫棱臺的直觀圖的四個步驟： (1)畫軸：通常以高所在直線為z軸建系． (2)畫下底面． (3)畫高，畫上底面． (4)連線成圖． 【典型例題3】 有一個正三棱錐，底面邊長為3 cm，高為3 cm，畫出這個正三棱錐的直觀圖． 思路分析：根據(jù)斜二測畫法，先建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系畫出正三角形的直觀圖，再確定出正三棱錐的頂點(diǎn)即可． 解：(1)先畫出邊長為3 cm的正三角形水平放置的直觀圖，如圖①所示； (2)過正三角形的中心O′建立z′軸，畫出正三棱錐的頂點(diǎn)V′，使V′O′＝3 cm，連接V′A′，V′B′，V′C′，如圖②所示； (3)擦去輔助線，被遮住部分用虛線表示，得到正三棱錐的直觀圖，如圖③． 點(diǎn)評正棱錐的直觀圖在今后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常要用到，應(yīng)該掌握正棱錐直觀圖的畫法思路，以便在今后的學(xué)習(xí)中，可以較快、較準(zhǔn)確地畫出正棱錐的草圖．畫草圖的步驟為：畫底面、找底面的中心、作高連線． 探究四 直觀圖的還原 直觀圖的還原其實(shí)是畫直觀圖的逆過程，只要明確角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系，即可簡化解答相關(guān)問題． (1)角的關(guān)系： 原圖形　　　　　斜二測直觀圖形 ∠xOy＝90∠x′O′y′＝45(或135)． (2)長度關(guān)系： 與x軸平行的線段畫后對應(yīng)線段； 與y軸平行的線段畫后對應(yīng)線段． 【典型例題4】 (1)水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，則AB邊上的中線的實(shí)際長度為__________． 解析：分析易知△ABC為以∠C為直角的直角三角形，且AC＝3，BC＝22＝4，所以AB＝5，故AB邊上的中線長為． 答案： (2)已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形，那么原△ABC的面積為__________． 解析：如圖所示，過C′作y′軸的平行線C′D′，與x′軸交于點(diǎn)D′， 則C′D′＝＝a． 又C′D′是原△ABC的高CD的直觀圖， 所以CD＝a，故S△ABC＝ABCD＝a2． 答案：a2 探究五 易錯辨析 易錯點(diǎn)：混淆了直觀圖與平行投影的區(qū)別而致誤 【典型例題5】 關(guān)于利用斜二測畫法畫直觀圖有以下結(jié)論： ①三角形的直觀圖是三角形； ②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形； ③正方形的直觀圖是正方形； ④菱形的直觀圖是菱形． 其中正確的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 錯解：A 錯因分析：混淆了直觀圖與平行投影的區(qū)別，直觀圖是利用平行投影的性質(zhì)畫出來的一種能反映原物體整體特征的圖示，而平行投影的情況就較多了． 正解：正方形、菱形的直觀圖通常為平行四邊形而不具有其他性質(zhì)，即③④不正確，故選C． 答案：C