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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何知能訓(xùn)練 理 1．以下命題： ①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；④一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺． 其中正確命題的個數(shù)為(　　) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 2．(xx年四川)一個幾何體的三視圖如圖X811，則該幾何體可以是(　　) 圖X811 A．棱柱 B．棱臺 C．圓柱 D．圓臺 3．如圖X812，正方形O′A′B′C′的邊長為1 cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長為(　　) 圖X812 A．6 cm B．8 cm C．(2＋4 )cm D．(2＋2 )cm 4．(xx年廣東汕頭一模)一個錐體的主視圖和左視圖如下圖X813，下面選項(xiàng)中，不可能是該錐體的俯視圖的是(　　) 圖X813 　　　 A　　　　　B　　　　　C　　　　　D 5．如圖X814是長和寬分別相等的兩個矩形．給定下列三個命題：①存在三棱柱，其正視圖、俯視圖如圖X814；②存在四棱柱，其正視圖、俯視圖如圖X814；③存在圓柱，其正視圖、俯視圖如圖X814.其中真命題的個數(shù)是(　　) 圖X814 A．3個 B．2個 C．1個 D．0個 6．已知某一幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖X815，則在下列圖形中，可以是該幾何體的俯視圖的圖形為(　　) 圖X815 A．①②③⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③④ 7．(xx年新課標(biāo)Ⅱ)一個四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以xOz平面為投影面，則得到的正視圖可以為(　　) A B C D 8．如圖X816，直三棱柱的正視圖面積為2a2，則側(cè)視圖的面積為________． 圖X816 9．如圖X817所示的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖在圖X818中畫出． X817 (1)在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖； (2)按照給出的尺寸，求該多面體的體積． X818 10．如圖X819所示的為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2. (1)如圖X8110所示的方框內(nèi)已給出了該幾何體的俯視圖，請?jiān)诜娇騼?nèi)畫出該幾何體的正視圖和側(cè)視圖； (2)求四棱錐BCEPD的體積； (3)求證：BE∥平面PDA. X819 　　 X8110 第2講　空間幾何體的表面積和體積 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(xx年福建)以邊長為1的正方形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于(　　) A．2π　　 B．π　 C．2　 D．1 2．(xx年上海)若兩個球的表面積之比為1∶4，則這兩個球的體積之比為(　　) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶16 3．(xx年廣東)某四棱臺的三視圖如圖X821，則該四棱臺的體積是(　　) 圖X821 A．4 B. C. D．6 4．(xx年新課標(biāo)Ⅱ)如圖X822，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(表示1 cm)，圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3 cm，高為6 cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削的部分的體積與原來毛坯體積的比值為(　　) A. B. C. D. 圖X822 　　圖X823 5．圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8 cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖X823)，則球的半徑是________cm. 6．(xx年江蘇)設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面面積相等，且＝，則＝________. 7．若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓面，則該圓錐的體積為________． 8．(xx年江蘇)如圖X824，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐FADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2，則V1∶V2＝__________. 圖X824 9．如圖X825，設(shè)計(jì)一個正四棱錐形的冷水塔，高是1 m，底面的邊長是2 m. (1)求這個正四棱錐形冷水塔的容積； (2)制造這個水塔的側(cè)面需要的鋼板的面積是多少？ 圖X825 10．如圖X826，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，∠ACB＝90，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)． (1)證明：平面BDC1⊥平面BDC； (2)平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比． 圖X826 第3講　點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(xx年安徽)在下列命題中，不是公理的是(　　) A．平行于同一個平面的兩個平面相互平行 B．過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面 C．如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi) D．如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線 2．下列命題正確的是(　　) A．若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行 B．若一個平面內(nèi)有三個點(diǎn)到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行 C．若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行 D．若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行 3．設(shè)A，B，C，D是空間四個不同的點(diǎn)，在下列命題中，不正確的是(　　) A．若AC與BD共面，則AD與BC共面 B．若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線 C．若AB＝AC，DB＝DC，則AD＝BC D．若AB＝AC，DB＝DC，則AD⊥BC 4．(xx年廣東)若空間中有四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是(　　) A．l1⊥l4　 B．l1∥l4 C．l1，l4既不平行也不垂直 D．l1，l4的位置關(guān)系不確定 5．如圖X831所示的是正方體的平面展開圖，在這個正方體中， ①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線； ③CN與BM成60；④CN與AF垂直． 以上四個命題中，正確命題的序號是(　　) A．①②③ B．②④ C．③ D．③④ 圖X831 　　圖X832 6．(xx年上海)在如圖X832所示的正方體ABCDA1B1C1D1中，異面直線A1B與B1C所成角的大小為________． 7．(xx年廣東惠州一模)已知在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為________． 8．(xx年安徽)如圖X833，四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60.已知PB＝PD＝2，PA＝. (1)證明：PC⊥BD； (2)若E為PA的中點(diǎn)，求三棱錐PBCE的體積． 圖X833 9．如圖X835所示的是一個正方體(如圖X834)的表面展開圖，MN和PQ是兩個面的對角線，請?jiān)谡襟w中將MN和PQ畫出來，并就這個正方體解答下列問題． (1)求MN和PQ所成角的大?。? (2)求三棱錐MNPQ的體積與正方體的體積之比． 圖X834　　　　　　　圖X835 第4講　直線、平面平行的判定與性質(zhì) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知直線l，m，n及平面α，下列命題中是假命題的是(　　) A．若l∥m，m∥n，則l∥n B．若l⊥α，n∥α，則l⊥n C．若l⊥m，m∥n，則l⊥n D．若l∥α，n∥α，則l∥n 2．已知m，n是兩條直線，α，β是兩個平面，給出下列命題：①若n⊥α，n⊥β，則α∥β；②若平面α上有不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等，則α∥β；③若n，m為異面直線，n?α，n∥β，m?β，m∥α，則α∥β.其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．3個 B．2個 C．1個 D．0個 3．如圖X841，已知l是過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)的平面AB1D1與下底面ABCD所在平面的交線，下列結(jié)論錯誤的是(　　) A．D1B1∥l B．BD∥平面AD1B1 C．l∥平面A1D1B1 D．l⊥B1C1 圖X841　　　 圖X842 4．設(shè)m，n為兩條直線，α，β為兩個平面，則下列四個命題中，正確的是(　　) A．若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，則α∥β B．若m∥α，m∥n，則n∥α C．若m∥α，n∥α，則m∥n D．若m，n為兩條異面直線，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，則α∥β 5．如圖X842，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________． 6．正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1 cm，過AC作平行于對角線BD1的截面，則截面面積為________． 7．如圖X843(1)，在透明塑料制成的長方體ABCDA1B1C1D1容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個說法： ①水的部分始終呈棱柱狀； ②水面四邊形EFGH的面積不改變； ③棱A1D1始終與水面EFGH平行； ④當(dāng)容器傾斜如圖X843(2)時，BEBF是定值． 其中正確說法的序號是____________． 圖X843 8．(xx年廣東惠州一模)如圖X844，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點(diǎn)，AA1＝AB＝2. (1)求證：AB1∥平面BC1D； (2)若BC＝3，求三棱錐DBC1C的體積． 圖X844 9．(xx年安徽)如圖X845，四棱錐PABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為2.點(diǎn)G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點(diǎn)，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH. (1)證明：GH∥EF； (2)若EB＝2，求四邊形GEFH的面積． 圖X845 第5講　直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(xx年廣東)設(shè)l為直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是(　　) A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l⊥α，l⊥β，則α∥β C．若l⊥α，l∥β，則α∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β 2．如圖X851，ABCDA1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論錯誤的是(　　) 圖X851 A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1 D．異面直線AD與CB1所成角 為60 3．(xx年廣東深圳一模)已知直線a，b，平面α，β，且a⊥α，b?β，則“a⊥b”是“α∥β”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 4．如圖X852，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，A1D與BC1所成的角為，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為(　　) A. B. C. D. 圖X852 　　　圖X853 5．已知a，b，c是三條不同的直線，命題“a∥b，且a⊥c?b⊥c”是正確的，如果把a(bǔ)，b，c中的兩個或三個換成平面，在所得的命題中，真命題有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 6．如圖X853，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，則點(diǎn)A到平面A1BC的距離為(　　) A. B. C. D. 7．已知正三棱錐PABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為________． 8．(xx年遼寧)如圖X854，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120，E，F(xiàn)，G分別為AC，DC，AD的中點(diǎn)． (1)求證：EF⊥平面BCG； (2)求三棱錐DBCG的體積． 圖X854 9．(xx年北京)如圖X855，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為A1C1，BC的中點(diǎn)． (1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1； (2)求證：C1F∥平面ABE； (3)求三棱錐EABC的體積． 圖X855  第6講　空間坐標(biāo)系與空間向量 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，則實(shí)數(shù)λ的值為(　　) A．－2 B．－ C. D．2 2．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a與b的夾角余弦值為，則λ＝(　　) A．2 B．－2 C．－2或 D．2或－ 3．(由人教版選修21P105例1改編)已知在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，以同一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都等于1，且它們彼此的夾角都是60，則此平行六面體的對角線AC1的長為(　　) A. B．2 C. D. 4．已知在空間四邊形OABC中，點(diǎn)M在線段OA上，且OM＝2MA，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b，＝c，則＝(　　) A.a＋b－c B．－a＋b＋c C. a－b＋c D. a＋b－c 5．下列等式中，使點(diǎn)M與點(diǎn)A，B，C一定共面的是(　　) A.＝3－2－ B.＝＋＋ C.＋＋＋＝0 D.＋＋＝0 6．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則＝(　　) A. B．－ C. D．－ 7．已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，＝，點(diǎn)N為B1B的中點(diǎn)，則|MN|＝(　　) A.a B.a C.a D.a 8．已知三點(diǎn)A(1,0,0)，B(3,1,1)，C(2,0,1)，則 (1)與的夾角等于________； (2)在方向上的投影等于________． 9．三棱錐OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝60，則〈，〉的大小為__________． 10．(xx年新課標(biāo)Ⅰ)如圖X861，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C. (1)證明：AC＝AB1； (2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60，AB＝BC，求二面角AA1B1C1的余弦值． 圖X861 第7講　空間中角與距離的計(jì)算 　　　　　　　　　　　　　 1．已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，則l與α所成的角為(　　) A．30 B．60 C．120 D．150 2．如圖X871，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么直線AM與CN所成角的余弦值等于(　　) A. B. C. D. 圖X871 　　　 3．如圖X872，若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面邊長為1，AB1與底面ABCD所成角為60，則A1C1到底面ABCD的距離為(　　) 圖X872 A. B．1 C. D. 4．在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)D是側(cè)面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是(　　) A．30 B．45 C．60 D．90 5．如圖X873，在正方體ABCDA1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的正切值是(　　) A. B. C. D. 圖X873 6．已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，將矩形ABCD沿對角線AC折起，使平面ABC與ACD垂直，則B與D之間的距離為________． 7．已知點(diǎn)A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，則平面ABC與平面xOy所成銳二面角的余弦值為________． 8．(xx年新課標(biāo)Ⅰ)如圖X874，在三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60. 圖X874 (1)證明：AB⊥A1C； (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值． 9．(xx年江蘇)如圖X875，在直三棱柱A1B1C1ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)． (1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值； (2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值． 圖X875 第八章　立體幾何 第1講　空間幾何體的三視圖和直觀圖 1．B　2.D　3.B　4.C 5．A　解析： ①可以是放倒的三棱柱，所以正確；容易判斷②正確；③可以是放倒的圓柱，所以也正確． 圖D85 6．D 7．A　解析：在空間直角坐標(biāo)系中，先畫出四面體OABC的直觀圖(如圖D85)，以xOz平面為投影面，則易得到正視圖．故選A. 8.a2　解析：由正視圖面積可求出直三棱柱的高為2a，底面的正三角形的高為a，故左視圖的面積為2aa＝a2. 9．解：(1)如圖D86. (2)所求多面體體積V＝V長方體－V正三棱錐＝446－2＝. 圖D86 10．(1)解：該組合體的正視圖和側(cè)視圖如圖D87. 圖D87 (2)解：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE， ∴平面PDCE⊥平面ABCD. ∵BC⊥CD，∴BC⊥平面PDCE. ∵S梯形PDCE＝(PD＋EC)DC＝32＝3， ∴四棱錐BCEPD的體積為 VBCEPD＝S梯形PDCEBC＝32＝2. (3)證明：∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA， ∴EC∥平面PDA.同理，BC∥平面PDA. ∵EC?平面EBC，BC?平面EBC，且EC∩BC＝C， ∴平面EBC∥平面PDA. 又∵BE?平面EBC，∴BE∥平面PDA. 第2講　空間幾何體的表面積和體積 1．A　解析：由已知，得圓柱的底面半徑和高均為1，其側(cè)面積等于S＝2π11＝2π. 2．C　解析：因?yàn)榍虻谋砻娣eS＝4πR2，兩個球的表面積之比為1∶4，則兩個球的半徑之比為1∶2.又因?yàn)榍虻捏w積V＝πR3，則這兩個球的體積之比為1∶8. 3．B　解析：由三視圖可知，該四棱臺的上、下底面邊長分別為1和2的正方形，高為2，故V＝(12＋＋22)2＝.故選B. 4．C　解析：由三視圖還原幾何體為小圓柱和大圓柱組成的簡單組合體．其中小圓柱底面半徑為2、高為4，大圓柱底面半徑為3、高為2，則其體積和為π224＋π322＝34π，而圓柱體毛坯體積為π326＝54π，故切削部分的體積為20π，從而切削的部分的體積與原來毛坯體積的比值為＝. 5．4　解析：設(shè)球的半徑為r，則由3V球＋V水＝V柱，可得3πr3＋πr28＝πr26r.解得r＝4. 6.　解析：設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2，h1，h2，則2πr1h1＝2πr2h2，＝.又＝＝，所以＝.則＝＝＝＝＝. 7.π　解析：因?yàn)榘雸A面的面積為πl(wèi)2＝2π，所以l2＝4，即l＝2，即圓錐的母線l＝2.底面圓的周長2πr＝πl(wèi)＝2π，所以圓錐的底面半徑r＝1，所以圓錐的高h(yuǎn)＝＝.所以圓錐的體積為πr2h＝π1＝π. 8．1∶24　解析：V1＝S△ADEh1＝S△ABCh2＝V2，所以V1∶V2＝1∶24. 9．解：(1)V＝S底h＝221＝(m3)． 答：這個正四棱錐形冷水塔的容積是 m3. (2)如圖D88，取底面邊長的中點(diǎn)E，連接SE. 圖D88 SE＝＝＝(m)， S側(cè)＝42＝4 (m2)． 答：制造這個水塔的側(cè)面需要4 m2的鋼板． 10．(1)證明：由題意知，BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C， ∴BC⊥平面ACC1A1. 又DC1?平面ACC1A1，∴DC1⊥BC. ∵AC＝AD，A1C1＝A1D， ∴∠A1DC1＝∠ADC＝45. ∴∠CDC1＝90，即DC1⊥DC. 又DC∩BC＝C，∴DC1⊥平面BDC. 又DC1?平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC. (2)解：設(shè)棱錐BDACC1的體積為V1，AC＝1. 由題意，得V1＝1＝. 又三棱柱ABCA1B1C1的體積V＝112＝1， ∴(V－V1)∶V1＝1∶1. 故平面BDC1分此棱柱所得的兩部分體積的比為1∶1. 第3講　點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 1．A　2.C　3.C 4．D　解析：如圖D89，在正方體ABCDA1B1C1D1中，取AA1為l2，BB1為l3，AD為l1.若AB為l4，則l1⊥l4；若BC為l4，則l1∥l4；若A1B1為l4，則l1與l4異面．因此l1，l4的位置關(guān)系不確定．故選D. 圖D89 　　　圖D90 5．D 6.　解析：∵A1D∥B1C，∴直線A1B與A1D所成的角即為異面直線A1B與B1C所成的角．又∵△A1DB為正三角形，∴∠DA1B＝.故答案為. 7.　解析：如圖D90，連接AE，DF，D1F，則DF∥AE，所以DF與D1F所成的角即為異面直線AE，D1F所成的角，設(shè)正方體的邊長為2，則DF＝D1F＝，在△DD1F中，cos∠D1FD＝＝. 8．解：(1)證明：如圖D91，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接PO. ∵PB＝PD，∴PO⊥BD. 又∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC. 而AC∩PO＝O，∴BD⊥平面PAC. ∴BD⊥PC，即PC⊥BD. (2)在△ABD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60， 則BD＝2，AC＝2AO＝2 . 又PO⊥BD，則PO＝＝. AO2＋PO2＝6＝AP2，∴PO⊥AC. 又PE＝PA，則 S△PEC＝S△PAC＝＝. ∵BD⊥平面PAC，∴BO⊥平面PEC. ∴VPBEC＝VBPEC＝S△PECBO＝1＝. 圖D91 　　　圖D92 9．解：(1)如圖D92，連接NC，NQ，MC，MN與PQ是異面直線． 在正方體中，PQ∥NC，則∠MNC為MN與PQ所成的角． 因?yàn)镸N＝NC＝MC，所以∠MNC＝60. 所以MN與PQ所成角的大小為60. (2)設(shè)正方體棱長為a，則正方體的體積V＝a3. 而三棱錐MNPQ的體積與三棱錐NPQM的體積相等，且NP⊥平面PQM， 所以VNPQM＝MPMQNP＝a3. 所以三棱錐MNPQ的體積與正方體的體積之比為1∶6. 第4講　直線、平面平行的判定與性質(zhì) 1．D　2.B　3.D 4．D　解析：選項(xiàng)A中的直線m，n可能不相交；選項(xiàng)B中直線n可能在平面α內(nèi)；選項(xiàng)C中直線m，n的位置可能是平行、相交或異面． 5.　解析：因?yàn)镋F∥平面AB1C，EF?平面ABCD，且平面AB1C與平面ABCD的交線為AC，所以EF∥AC.又點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，所以EF為△DAC的中位線，所以EF＝AC.因?yàn)锳B＝2，ABCD為正方形，所以AC＝2 ，所以EF＝. 圖D93 6. cm2　解析：如圖D93，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中F為AC與BD的交點(diǎn)，所以E為DD1的中點(diǎn)，易求S△ACE＝ cm2. 7．①③④　解析：對于①，由于BC固定，所以在傾斜的過程中，始終有AD∥EH∥FG∥BC，且平面AEFB∥平面DHGC，故水的部分始終呈棱柱狀(四棱柱、三棱柱或五棱柱)，且BC為棱柱的一條側(cè)棱，故①正確；對于②，當(dāng)水是四棱柱或五棱柱時，水面面積與上下底面面積相等；當(dāng)水是三棱柱時，則水面面積可能變大，也可能變小，故②不正確；③是正確的；④是正確的，由水的體積的不變性可證得．綜上所述，正確命題的序號是①③④. 8．(1)證明：如圖D94，連接B1C，交BC1于點(diǎn)O，連接OD. ∵四邊形BCC1B1是平行四邊形， ∴點(diǎn)O為B1C的中點(diǎn)． ∵D為AC的中點(diǎn)， ∴OD為△ACB1的中位線． ∴OD∥AB1. ∵OD?平面BC1D，AB1?平面BC1D， ∴AB1∥平面BC1D. (2)解：∵三棱柱ABCA1B1C1，∴側(cè)棱CC1∥AA1. 又∵AA1⊥底面ABC，∴側(cè)棱CC1⊥平面ABC. 故CC1為三棱錐C1BCD的高，A1A＝CC1＝2. S△BCD＝S△ABC＝＝. ∴V＝V＝CC1S△BCD＝2＝1. 圖D94 　　圖D95 9．(1)證明：∵BC∥平面GEFH，BC?平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，∴GH∥BC. 同理，EF∥BC.∴GH∥EF. (2)解：如圖D95，連接AC，BD交于點(diǎn)O，BD交EF于點(diǎn)K，連接OP，GK. ∵PA＝PC，O是AC的中點(diǎn)， ∴PO⊥AC.同理，得PO⊥BD. 又BD∩AC＝O，且AC，BD都在平面ABCD內(nèi)， ∴PO⊥平面ABCD. 又∵平面GEFH⊥平面ABCD，且PO?平面GEFH， ∴PO∥平面GEFH. ∵平面PBD∩平面GEFH＝GK， ∴PO∥GK.∴GK⊥平面ABCD. 又EF?平面ABCD，∴GK⊥EF. ∴GK是梯形GEFH的高． 由AB＝8，EB＝2，得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4. 從而KB＝DB＝OB，即K是OB的中點(diǎn)． 又由PO∥GK，得GK＝PO. ∴G是PB的中點(diǎn)，且GH＝BC＝4. 由已知，得OB＝＝4 ， PO＝＝＝6. ∴GK＝3. 故四邊形GEFH的面積S＝GK＝3＝18. 第5講　直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 1．B　2.D 3．B　解析：根據(jù)題意，分兩步來判斷：①當(dāng)α∥β時，∵a⊥α，且α∥β，∴a⊥β，又∵b?β，∴a⊥b，則a⊥b是α∥β的必要條件；②若a⊥b，不一定有α∥β，當(dāng)α∩β＝a時，又由a⊥α，則a⊥b，但此時α∥β不成立，即a⊥b不是α∥β的充分條件，則a⊥b是α∥β的必要不充分條件． 圖D96 4．B　解析：如圖D96，連接B1C，則B1C∥A1D，∵A1D與BC1所成的角為，∴B1C⊥BC1，∴長方體ABCDA1B1C1D1為正方體．取B1D1的中點(diǎn)M，連接C1M，BM，∴C1M⊥平面BB1D1D，∴∠C1BM為BC1與平面BB1D1D所成的角．∵AB＝BC＝2，∴C1M＝，BC1＝2 ， ∴sin∠C1BM＝＝.故選B. 5．C　解析：若a，b，c換成平面α，β，γ，則“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是真命題； 若a，b換成平面α，β，則“α∥β，且c⊥α?c⊥β”是真命題； 若b，c換成平面β，γ，則“a∥β，且a⊥γ?β⊥γ”是真命題； 若a，c換成平面α，γ，則“b∥α，且α⊥γ?b⊥γ”是假命題． 6．B　解析：方法一：取BC中點(diǎn)E，連接AE，A1E， 過點(diǎn)A作AF⊥A1E，垂足為F. ∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥BC. ∵AB＝AC，∴AE⊥BC. ∴BC⊥平面AEA1.∴BC⊥AF. 又AF⊥A1E，∴AF⊥平面A1BC. ∴AF的長即為所求點(diǎn)A到平面A1BC的距離． ∵AA1＝1，AE＝，∴AF＝. 方法二：V＝S△ABCAA1＝1＝. 又∵A1B＝A1C＝， 在△A1BE中，A1E＝＝2， ∴S＝22＝2. ∴V＝Sh＝h. ∴h＝.∴h＝.∴點(diǎn)A到平面A1BC的距離為. 圖D97 7.　解析：因?yàn)樵谡忮FPABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，所以可以把該正三棱錐看作為一個正方體的一部分(如圖D97)，此正方體內(nèi)接于球，正方體的對角線為球的直徑，球心為正方體對角線的中點(diǎn)．球心到截面ABC的距離為球的半徑減去正三棱錐PABC在平面ABC上的高．已知球的半徑為，所以正方體的棱長為2，可求得正三棱錐PABC在平面ABC上的高為，所以球心到截面ABC的距離為－＝. 8．(1)證明：由AB＝DB，BC＝BC，∠ABC＝∠DBC， 得△ABC≌△DBC(SAS)．∴AC＝DC. 又G為AD的中點(diǎn)，∴CG⊥AD. ∵AB＝BD，G為AD的中點(diǎn)，∴BG⊥AD. 又BG∩CG＝G，∴AD⊥平面BCG. 又EF∥AD，故EF⊥平面BCG. 圖D98 (2)解：如圖D98，在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)A作AO⊥BC，交CB的延長線于點(diǎn)O. ∵平面ABC⊥平面BCD， ∴AO⊥平面BDC. 又G為AD的中點(diǎn)， ∴G到平面BCD的距離h＝AO. 在△AOB中， AO＝ABsin60＝.∴h＝. ∴VDBCG＝VGBCD＝h＝. 9．(1)證明：在三棱柱ABCA1B1C1中， BB1⊥底面ABC，∴BB1⊥AB. 又∵AB⊥BC，且BB1∩BC＝B，∴AB⊥平面B1BCC1. 又AB?平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1. (2)證明：如圖D99，取AB中點(diǎn)為G，連接EG，F(xiàn)G. 圖D99 ∵E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)， ∴FG∥AC，且FG＝AC. ∵AC∥A1C1，且AC＝A1C1， ∴FG∥EC1，且FG＝EC1. ∴四邊形FGEC1為平行四邊形． ∴C1F∥EG. 又∵EG?平面ABE，C1F?平面ABE， ∴C1F∥平面ABE. (3)解：∵AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC， ∴AB＝＝. ∴VEABC＝S△ABCAA1＝12＝. 第6講　空間坐標(biāo)系與空間向量 1．D　 2．C　解析：cos〈a，b〉＝＝＝. 解得λ＝－2或. 3．D　解析：∵＝＋＋，∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2＋2＋2＝1＋1＋1＋2(cos60＋cos60＋cos60)＝6，∴||＝. 4．D 5．D　解析：∵M(jìn)，A，B，C四點(diǎn)共面?＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，且x＋y＋z＝1.∵＋＋＝0?＝－－，∴存在x＝－1，y＝－1，使＝x＋y，∴，，共面．∵M(jìn)為公共點(diǎn)，∴M，A，B，C四點(diǎn)共面． 6．B 7．A　解析：＝－＝－ ＝＋－ ＝＋－. ∴||＝＝a. 8．(1)　(2)　解析：＝(1,1,0)，＝(－1,0，－1)， (1)cos〈，〉＝＝＝－， ∴〈，〉＝. (2)在方向上的投影＝＝＝. 9．90　解析：∵＝(－)＝－＝||||cos∠AOC－||||cos∠AOB＝||||cos60－||||cos60＝0. ∴⊥，∴〈，〉＝90. 圖D100 10．(1)證明：如圖D100，連接BC1，交B1C于點(diǎn)O，連接AO. 因?yàn)閭?cè)面BB1C1C為菱形， 所以B1C⊥BC1，且O為B1C及BC1的中點(diǎn)． 又AB⊥B1C，所以B1C⊥平面ABO. 由于AO?平面ABO，故B1C⊥AO. 又B1O＝CO，故AC＝AB1. (2)解：因?yàn)锳C⊥AB1，且O為B1C的中點(diǎn)，所以AO＝CO. 又因?yàn)锳B＝BC，所以△BOA≌△BOC(SSS)． 故OA⊥OB，從而OA，OB，OB1兩兩垂直． 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB的方向?yàn)閤軸正方向，|OB|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 因?yàn)椤螩BB1＝60，所以△CBB1為等邊三角形． 又OB＝1，則OB1＝，OA＝. 故A，B(1,0,0)，B1，C. ＝， ＝＝， 1＝＝. 設(shè)n＝(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，則 即 所以可取n＝(1，，)． 設(shè)m是平面A1B1C1的法向量， 則 同理可取m＝(1，－，)． 則cos〈n，m〉＝＝. 所以結(jié)合圖形知，二面角AA1B1C1的余弦值為. 第7講　空間中角與距離的計(jì)算 1．A　解析：設(shè)l與α所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈m，n〉|＝.∴θ＝30. 2．D　3.D　4.C 5．B　解析：BB1與平面ACD1所成角即DD1 與平面ACD1所成角，即∠DD1O，其正切值是＝ . 6.　解析：過B，D分別向AC作垂線，垂足分別為M，N.則可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1. ∵＝＋＋，∴||2＝|(＋＋)|2＝||2＋||2＋||2＋2(＋＋)＝2＋12＋2＋2(0＋0＋0)＝，∴||＝. 7.　解析：＝(－1,2,0)，＝(－1,0,3)．設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)．由n＝0，n＝0知，令x＝2，則y＝1，z＝. ∴平面ABC的一個法向量為n＝. 又平面xOy的一個法向量為＝(0,0,3)． ∴所求二面角的余弦值cosθ＝＝＝. 故平面ABC與平面xOy所成銳二面角的余弦值為. 8．(1)證明：如圖D101，取AB中點(diǎn)為E，連接CE，A1B，A1E. 圖D101 ∵AB＝AA1，∠BAA1＝60， ∴△BAA1是正三角形．∴A1E⊥AB. ∵CA＝CB，∴CE⊥AB. ∵CE∩A1E＝E，∴AB⊥平面CEA1. ∴AB⊥A1C. (2)解：由(1)知，EC⊥AB，EA1⊥AB. 又∵平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面AA1B1B＝AB， ∴EC⊥面AA1B1B.∴EC⊥EA1. ∴EA，EC，EA1兩兩相互垂直． 以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，||為單位長度，建立如圖D102所示的空間直角坐標(biāo)系Exyz， 圖D102 由題設(shè)知，A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)， 則＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，－，)． 設(shè)n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量， 則即可取n＝(，1，－1)． ∴cos〈n，〉＝＝－. ∴直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為. 9．解：(1)如圖D103，以，，為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz， 圖D102 則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,4)，D(1,1,0)，C1(0,2,4)． ∴＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)． ∴cos〈，〉＝＝＝. ∴異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為. (2)＝(0,2,0)是平面ABA1的一個法向量． 設(shè)平面ADC1的法向量為m＝(x，y，z)， ∵＝(1,1,0)，＝(0,2,4)， 且m⊥，m⊥， ∴取z＝1，得y＝－2，x＝2. ∴平面ADC1的法向量為m＝(2，－2,1)． 設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角為θ， ∴|cosθ|＝|cos〈，m〉|＝＝＝， 則sinθ＝. ∴平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為.