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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.13《映射的概念》教案 蘇教版必修1 【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 映射 學(xué)習(xí)要求 1、了解映射的概念，能夠判定一些簡(jiǎn)單的對(duì)應(yīng)是不是映射。 2、通過對(duì)映射特殊化的分析，揭示出映射與函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。 自學(xué)評(píng)價(jià) 1、對(duì)應(yīng)是兩個(gè)集合元素之間的一種關(guān)系，對(duì)應(yīng)關(guān)系可用圖示或文字描述來表示。 2、一般地設(shè)A、B兩個(gè)集合，如果按某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于A中的每一個(gè)元素，在B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，那么，這樣的單值對(duì)應(yīng)叫做集合A到集合B的映射，記作：f:A→B 3、由映射的概念可以看出，映射是函數(shù)概念的推廣，特殊在函數(shù)概念中，A、B為兩個(gè)非空數(shù)集。 【精典范例】 一、判斷對(duì)應(yīng)是否為映射 例1、下列集合M到P的對(duì)應(yīng)f是映射的是( ) A.M={－2，0，2}，P={－1，0，4},f：M中數(shù)的平方 B.M={0，1}，P={－1，0，1}，f:M中數(shù)的平方根 C.M=Z，P=Q，f:M中數(shù)的倒數(shù)。 D.M=R，P=R+，f:M中數(shù)的平方 【解】： 判定對(duì)應(yīng)f:A→B是否是映射，關(guān)鍵是看是否符合映射的定義，即集合A中的每一個(gè)元素在B中是否有象且唯一，若不是映射只要舉一反例即可。 答案：選擇A 二、映射概念的應(yīng)用 例2、已知集合A=R，B={(x,y)|x,y∈R}，f:A→B是從A到B的映射，f:x→(x+1,x2+1)，求A中的元素在B中的象和B中元素(,)在A中的原象。 思維分析：將x=代入對(duì)應(yīng)關(guān)系，可求出其在B中對(duì)應(yīng)元素，(,)在A中對(duì)應(yīng)的元素可通過列方程組解出。 【解】： 將x=代入對(duì)應(yīng)關(guān)系，可求出其在B中的對(duì)應(yīng)元素(+1，3). 可通過列方程組也可求出(,)在A中對(duì)應(yīng)的元素為 三、映射與函數(shù)的關(guān)系 例3、給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)的關(guān)系 ①A=N*,B=Z,f:x→y=2x－3； ②A={1，2，3，4，5，6}，B={y|y∈N*,y≤5}，f:x→y=|x－1|； ③A={x|x≥2}，B={y|y=x2－4x+3}，f:x→y=x－3； ④A=N,B={y∈N*|y=2x－1，x∈N*}，f:x→y=2x－1。 上述四個(gè)對(duì)應(yīng)中是函數(shù)的有( ) A.① B.①③ C.②③ D.③④ 思維分析：判斷兩個(gè)集合之間的對(duì)應(yīng)是否構(gòu)成函數(shù)，首先應(yīng)判斷能否構(gòu)成映射，且構(gòu)成映射的兩個(gè)集合之間對(duì)應(yīng)必須是非空數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)。 【解】： ①中，對(duì)x∈A，在f作用下，在B中都有唯一的象，因此能構(gòu)成映射.由于A、B均為非空數(shù)集，因而能構(gòu)成函數(shù)；②中，當(dāng)x=1時(shí),y=0B，即集合A中的元素1在集合B中無象，因而不能構(gòu)成映射，從而也不能構(gòu)成函數(shù)；④中，當(dāng)x=0時(shí)，y=－1B，即0在B中無象，因而不能構(gòu)成映射，也就不能構(gòu)成函數(shù)；③中的兩個(gè)對(duì)應(yīng)符合映射的定義，且兩個(gè)集合均為非空數(shù)集，因而能構(gòu)成函數(shù)。 答案：B 【選修延伸】 求映射的個(gè)數(shù)問題 例4、已知A={a,b,c}，B={－1，0，1},映射f:A→B滿足f(a)+f(b)=f(c)，求映射f: A→B的個(gè)數(shù)。 思維分析：可讓A中元素在f下對(duì)應(yīng)B中的一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)元素，并且滿足f(a)+f(b)=f(c)，需分類討論。 【解】：(1)當(dāng)A中三個(gè)元素都是對(duì)應(yīng)0時(shí)，則f(a)+f(b)=0+0=0=f(c)有1個(gè)映射。 (2)當(dāng)A中三個(gè)元素對(duì)應(yīng)B中兩個(gè)時(shí)，滿足f(a)+f(b)=f(c)的映射有4個(gè)，分別為1+0=0，0+1=0，(－1)+0=－1,0+(－1)=－1. (3)當(dāng)A中的三個(gè)元素對(duì)應(yīng)B中的三個(gè)元素時(shí)，有兩個(gè)映射，分別為(－1)+1=0，1+(－1)=0. 因此滿足題設(shè)條件的映射有7個(gè)。 追蹤訓(xùn)練 1、下列對(duì)應(yīng)是A到B上的映射的是( ) A.A=N*,B=N*,f:x→|x－3| B.A=N*，B={－1,1, －2}，f:x→(－1)x C.A=Z,B=Q,f:x→ D.A=N*，B=R，f:x→x的平方根 答案：B 2、設(shè)f:A→B是集合A到B的映射，下列命題中是真命題的是( ) A.A中不同元素必有不同的象 B.B中每一個(gè)元素在A中必有原象 C.A中每一個(gè)元素在B中必有象 D.B中每一個(gè)元素在A中的原象唯一 答案：C 3、已知映射f: A→B,下面命題： (1)A中的每一個(gè)元素在B中有且僅有一個(gè)象； (2)A中不同的元素在B中的象必不相同； (3)B中的元素在A中都有原象 (4)B中的元素在A中可以有兩個(gè)以上的原象也可以沒有原象。 假命題的個(gè)數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 4、已知映射f: A→B，其中集合A={－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中元素都是A中的元素在映射f下的象，且對(duì)任意a∈A，在B中和它對(duì)應(yīng)的元素是|a|，則集合B中的元素的個(gè)數(shù)是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案：A 5、若f:y=3x+1是從集合A={1,2,3,k}到集合B={4,7,a4,a2+3a}的一個(gè)映射，該映射滿足B中任何一個(gè)元素均有原象，求自然數(shù)a、k及集合A、B. 答案：a=2, k=5, A={1,2,3,5} B={4,7,10,16} 分層練習(xí) 1、下列從A到B的對(duì)應(yīng)是映射的是（ ） A.A=R，B=R+，f:取絕對(duì)值 B、A= R+，B=R，f:開平方 C、A= R+，B=R，f:x→ D、A=Q，B={偶數(shù)}，f:乘2 2、設(shè)集中A={2，4，6，8，10}，B={1，9，25，49，81，100},下面的對(duì)應(yīng)關(guān)系f能構(gòu)成A到B的映射的是（ ） A、f:x→(2x-1)2 B、f:x→(2x-3)2 C、f:x→-2x-1 D、f:x→(2x-1)2 3、已知集合A=N*，B={整奇數(shù)}，映射f:A→B，使A中任一元素α與B中元素2α-1相對(duì)應(yīng)，則與B中元素17對(duì)應(yīng)的A中的元素為（ ） A、3 B、5 C、17 D、9 4、點(diǎn)（x,y）在映射f下的對(duì)應(yīng)元素為（），則點(diǎn)（2，0）在f作用下的對(duì)應(yīng)元素（x,y）為 （ ） A、（0，2） B、（2，0） C、（，-1） D、（，1） 5、設(shè)集合A和B都是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集{（x,y）|x∈R，y∈R},映射f:A→B,把集合A中的元素（x,y）映射成集合B中的元素（x+y,x-y），則在映射f下，象（2，1）的原象是（ ） A、（3，1） B、（） C、（） D、（1，3） 6、已知集合A={a,b},B={c,d},則從A到B的不同的映射有 個(gè)。 7、已知從A到B的映射是f1:x→2x-1,從B到C的映射f2:y→,則從A到C 的映射f:x→ 8、已知A={a,b,c},B={1,2},從A到B建立映射f，使f(a)+f(b)+f(c)=4，則滿足條件的映射共有 個(gè) 9、設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合N，映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2+n，則在映射下，象20的原象是（） A、2 B、3 C、4 D、5 拓展延伸： 10、對(duì)于A={x|a}，B={y|c}(a且cd)，有沒有一個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，使從A到B是一個(gè)映射，并且B中每一個(gè)元素在A中都有原象，若有，寫出一個(gè)f；若沒有，說明理由。