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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 《從位移的合成到向量的加法》教案 北師大版必修4 一、教學(xué)目標(biāo)： 1.知識(shí)與技能 （1）掌握向量加法的概念；能熟練運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則做幾個(gè)向量的和向量；能準(zhǔn)確表述向量加法的交換律和結(jié)合律，并能熟練運(yùn)用它們進(jìn)行向量計(jì)算. （2）了解相反向量的概念；掌握向量的減法，會(huì)作兩個(gè)向量的減向量 （3）通過(guò)實(shí)例，掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義. （4）初步體會(huì)數(shù)形結(jié)合在向量解題中的應(yīng)用. 2.過(guò)程與方法 教材利用同學(xué)們熟悉的物理知識(shí)引出向量的加法，一方面啟發(fā)我們利用位移的合成去探索兩個(gè)向量的和，另一方面幫助我們利用物理背景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定義向量的減法；最后通過(guò)講解例題，指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)知識(shí)結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和邏輯思維能力. 3.情感態(tài)度價(jià)值觀 通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對(duì)向量加法的三角形法則和平行四邊形法則有了一定的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步讓學(xué)生理解和領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想；同時(shí)以較熟悉的物理背景去理解向量的加法，這樣有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，實(shí)事求是的科學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神. 二.教學(xué)重、難點(diǎn) 重點(diǎn): 向量加法的概念和向量加法的法則及運(yùn)算律. 難點(diǎn): 向量的減法轉(zhuǎn)化為加法的運(yùn)算. 三.學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：(1)自主性學(xué)習(xí)+探究式學(xué)習(xí)法： (2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來(lái)檢驗(yàn)知識(shí)的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距. 教學(xué)用具:電腦、投影機(jī). 四.教學(xué)設(shè)想 【創(chuàng)設(shè)情境】 一、 提出課題：向量是否能進(jìn)行運(yùn)算？ A B C 1． 某人從A到B，再?gòu)腂按原方向到C， 則兩次的位移和：+= C A B 2． 若上題改為從A到B，再?gòu)腂按反方向到C， A B C 則兩次的位移和：+= 3． 某車(chē)從A到B，再?gòu)腂改變方向到C， A B C 則兩次的位移和：+= 4． 船速為，水速為， 則兩速度和：+= 提出課題：向量的加法 【探究新知】 1．定義：求兩個(gè)向量的和的運(yùn)算，叫做向量的加法。 注意：兩個(gè)向量的和仍舊是向量（簡(jiǎn)稱(chēng)和向量） a a a C C C B B B A A A 2．三角形法則： a+b b a 強(qiáng)調(diào)： ① “向量平移”（自由向量）：使前一個(gè)向量的終點(diǎn)為后一個(gè)向量的起點(diǎn) ②可以推廣到n個(gè)向量連加 ③ ④不共線向量都可以采用這種法則——三角形法則 [展示投影]例題講評(píng)（學(xué)生講，學(xué)生評(píng)，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充） O A B a a a b b b 例1、已知向量、，求作向量+ 作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)， 作 則 【探究新知】 3．加法的交換律和平行四邊形法則 思考：上題中+的結(jié)果與+是否相同 驗(yàn)證結(jié)果相同 從而得到：1向量加法的平行四邊形法則 2向量加法的交換律：+=+ A B C D a c a+b+c b a+b b+c 4．向量加法的結(jié)合律：(+) +=+ (+)（可請(qǐng)學(xué)生先上來(lái)做，不足之處學(xué)生更正） 證：如圖：使, , 則(+) += + (+) = ∴(+) +=+ (+) 從而，多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來(lái)進(jìn)行。 [展示投影]例題講評(píng)（學(xué)生講，學(xué)生評(píng)，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充） 例2．如圖，一艘船從A點(diǎn)出發(fā)以的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)水的流速為，求船實(shí)際航行的速度的大小與方向。 解：設(shè)表示船垂直于對(duì)岸的速度，表示水流的速度， 以AD,AB為鄰邊作平行四邊形ABCD，則就是船實(shí)際航行的速度 在中，， 所以 因?yàn)? 【探究新知】 思考：已知，，怎樣求作？ 這個(gè)問(wèn)題涉及到兩個(gè)向量相減，到底如何運(yùn)算呢？首先引入“相反向量”這個(gè)概念. 5.用“相反向量”定義向量的減法 ①“相反向量”的定義：與a長(zhǎng)度相同、方向相反的向量；記作 -a ②規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a) = a 任一向量與它的相反向量的和是零向量。a + (-a) = 0 如果a、b互為相反向量，則a = -b, b = -a, a + b = 0 ③向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差。 即：a - b = a + (-b) 求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法。 6.用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法： 向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算： 若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作a - b 7.請(qǐng)同學(xué)們自己解決思考題： 的作法： 方法一、已知向量、，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作，則。即可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量 方法二、在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作則。即也可以表示為從向量的起點(diǎn)指向向量的起點(diǎn)的向量. 方法三、在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作，則由向量加法的平行四邊形法則可得 . [展示投影]思考與討論： 思考：從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量是什么？（） 討論：如右圖，∥時(shí)，怎樣作出呢？ [展示投影]例題講評(píng)（學(xué)生講，學(xué)生評(píng)，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充） 例3.已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d。 解：在平面上取一點(diǎn)O，作= a, = b, = c, = d, 作, , 則= a-b, = c-d A B C b a d c D O A B D C 例4.平行四邊形中，=，=，用、表示向量，. 解：由平行四邊形法則得： = a + b, = - = a-b 變式一：當(dāng)a, b滿足什么條件時(shí)，a+b與a-b垂直？（|a| = |b|） 變式二：當(dāng)a, b滿足什么條件時(shí)，|a+b| = |a-b|？（a, b互相垂直） 變式三：a+b與a-b可能是相當(dāng)向量嗎？（不可能，∵ 對(duì)角線方向不同） 例5.試用向量方法證明：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 A B D C O 證：由向量加法法則： = +, = + 由已知：=, = ∴= 即AB與CD平行且相等 ∴ABCD為平行四邊形 [學(xué)習(xí)小結(jié)]（學(xué)生總結(jié)，其它學(xué)生補(bǔ)充） ①向量加法的三角形法則與平行四邊形法則. ②向量加法運(yùn)算律. ③相反向量及向量減法的運(yùn)算法則.