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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 回扣突破30練 階段復(fù)習(xí)小綜合四 理 一. 選擇題 1．已知直線a,b,平面α,β,a?α,b?α,則a//β,b//β是α//β的 （ ） A. 充分但不必要條件 B. 必要但不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】B 2．已知雙曲線過點(diǎn),漸進(jìn)線方程為,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵雙曲線漸進(jìn)線方程為,故可設(shè)雙曲線方程為,∵雙曲線過點(diǎn),則,即,故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是,故選C. 3．放煙花是逢年過節(jié)一種傳統(tǒng)慶祝節(jié)日的方式，已知一種煙花模型的三視圖如圖中的粗實線所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則該煙花模型的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】依題意，由三視圖可知幾何體是半徑為2，高為3的圓柱，與半徑為1，高為1的圓柱，以及底面半徑為1，高為2的圓錐，組成的幾何體．所求表面積為，故選D. 4.一個幾何體的三視圖如上圖所示，則該幾何體的體積為 A． B． C． D． 【答案】A 5.已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點(diǎn),PA,PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切線,A,B是切點(diǎn),C是圓心,那么四邊形PACB面積的最小值是 （ ） A. 2 B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】由題設(shè)可知圓心和半徑分別為,結(jié)合圖形可知四邊形的面積,所以當(dāng)最小時, 最小,而就是圓心到直線的距離,所以,所以四邊形的面積的最小值是,應(yīng)選答案A. 6.橢圓的焦點(diǎn)在軸上,中心在原點(diǎn),其短軸上的兩個頂點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)恰為邊長是2的正方形的頂點(diǎn),則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由條件可知 , ,所以橢圓方程為 ,故選C. 7.已知直三棱柱中, ,側(cè)面的面積為4,則直三棱柱外接球表面積的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 8.若直線 （, ）,經(jīng)過圓的圓心,則的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】圓心坐標(biāo)為在直線上,所以,所以 ,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故 的最小值為4. 9.某四面體的三視圖如圖所示,正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是邊長為1的正方形,則此四面體的外接球的體積為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是邊長為1的正方形,所以此四面體可以放在正方體中,,如圖所示,四面體滿足題意,所以此四面體的外接球即為正方體的外接球,由題意可知,正方體的棱長為1,所以外接球的半徑為,所以此四面體的外接球的體積,故選C. 10.對于平面和不重合的兩條直線,下列選項中正確的是（ ） A. 如果, , 共面,那么 B. 如果, 與相交,那么是異面直線 C. 如果, , 是異面直線,那么 D. 如果, ,那么 【答案】A 11.已知拋物線的焦點(diǎn)為,過焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn),若6,則的面積為（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】設(shè)直線 的方程為： ,與拋物線方程聯(lián)立可得： ,則： ,由弦長公式可得： ,三角形的面積為： ,故選A. 12.如圖,直三棱柱中, , , ,外接球的球心為,點(diǎn)是側(cè)棱上的一個動點(diǎn).有下列判斷：①直線與直線是異面直線；②一定不垂直；③三棱錐的體積為定值；④的最小值為. 其中正確判斷的個數(shù)是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 二、填空題 13.已知直線l：y＝k(x－2)與拋物線C：y2＝8x交于A,B兩點(diǎn),F為拋物線C的焦點(diǎn),若|AF|＝3|BF|,則直線l的傾斜角為_______________． 【答案】或 【解析】設(shè)交點(diǎn),由于直線過焦點(diǎn),所以將代入并整理可得,則,又由拋物線的定義可得,故由題設(shè)可得代入可得,解之得或（舍去）,故時, ,代入可得,所以直線的傾斜角是或,應(yīng)填答案或. 14.中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑（biē no）．若三棱錐為鱉臑,且⊥平面, 又該鱉臑的外接球的表面積為,則該鱉臑的體積為__________ 【答案】 【解析】由題意得,所以由得,因此鱉臑的體積為 15.用一根長為12的鋼筋焊接一個正三棱柱形狀的廣告牌支架,則該三棱柱的側(cè)面積的最大值是__________． 【答案】6 16.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,上、下頂點(diǎn)分別為,右頂點(diǎn)為,直線與交于點(diǎn).若,則的離心率等于__________． 【答案】 【解析】如圖：設(shè),由,得根據(jù)相似三角形得： 求得,又直線方程為： ,將點(diǎn)D代入得： 一、 解答題 17.在三棱柱中,,側(cè)面是邊長為2的正方形,點(diǎn)分別在線段 上,且. （1）證明：平面平面； （2）若,求直線與平面所成角的正弦值． 所以面．面,∴，在等腰三角形中,,又與相交,知 ∴面,面,∴面面 （2）在等腰三角形中,由知,且,記線段中點(diǎn)為,連接,由（1）知,兩兩互相垂直, 以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以為正交基底建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則 設(shè)平面的法向量為,則,即 ,取,則,從而得到平面的一個法向量 ,記直線與平面所成角為,則． 故直線與平面所成角的正弦值為 18.已知點(diǎn)分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，且是等腰直角三角形． （I）求橢圓的方程； （II）設(shè)過點(diǎn)的動直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)位于以為直徑的圓外時，求直線斜率的取值范圍． 即，解得：，由韋達(dá)定理可知：，， 由坐標(biāo)原點(diǎn)位于以為直徑的圓外，則?＞0，即， 即 ，解得：，綜上可知：，解得：或，直線斜率的取值范圍． 19.如圖,三棱錐中,平面是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),點(diǎn)在上,. （1）證明：平面； （2）若,求二面角的余弦值. （Ⅱ）作BO⊥AC于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作OH//PA,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OC,OH所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系,則∴,則平面CDA的一個法向量為 設(shè)平面CDB的一個法向量為則 可取,所以,所以二面角B?CD?A的余弦值為． 20.已知橢圓： 的短軸的一個頂點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形,且該三角形的面積為1． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè), 是橢圓的左、右焦點(diǎn),若橢圓的一個內(nèi)接平行四邊形的一組對邊過點(diǎn)和,求這個平行四邊形面積的最大值． ,∴, ,∴ ,,橢圓的內(nèi)接平行四邊形面積為,令,則 ,注意到在上單調(diào)遞減,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,故這個平行四邊形的面積最大值為． 21.如圖,在棱長為2的正方體中, , , , 分別是棱, , , 的中點(diǎn),點(diǎn), 分別在棱, 上移動,且. （1）當(dāng)時,證明：直線平面； （2）是否存在,使面與面所成的二面角為直二面角？若存在,求出的值；若不存在,說明理由. （1）當(dāng)時, ,因為,所以,即,又平面,且平面,故直線平面. （2）設(shè)平面的一個法向量為,則由,得,于是可取.設(shè)平面的一個法向量為,由,得,于是可取.若存在,使面與面所成的二面角為直二面角,則,即,解得,顯然滿足.故存在,使面與面所成的二面角為直二面角. 22.已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn),且兩焦點(diǎn)與短軸的一個頂點(diǎn)構(gòu)成一個等邊三角形,直線與橢圓有且僅有一個交點(diǎn). （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)直線與軸交于,過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩不同點(diǎn), ,若,求實數(shù)的取值范圍. （Ⅱ）由（Ⅰ）得, 直線與軸交于 , ,當(dāng)直線與軸垂直時, ,由 ,當(dāng)直線與軸不垂直時,設(shè)直線的方程為, ,由 ,依題意得, ,且 , , , , 綜上所述, 的取值范圍是 .