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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 函數(shù) 第10課時 函數(shù)模型及其應(yīng)用教學案 2．建立函數(shù)模型：將變量y表示為x的函數(shù)，在中學數(shù)學內(nèi)，我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù)的解析式； 3．求解函數(shù)模型：根據(jù)實際問題所需要解決的目標及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點正確選擇函數(shù)知識求得函數(shù)模型的解，并還原為實際問題的解. 這些步驟用框圖表示是： 實際問題 函數(shù)模型 抽象概括 實際問題的解 函數(shù)模型的解 還原說明 運用函數(shù)的性質(zhì) 典型例題 例1. 如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（b＜a）,在AB，AD，CD，CB上分別截取AE，AH，CG，CF都等于x，當x為何值時，四邊形EFGH的面積最大？并求出最大面積. 解： 設(shè)四邊形EFGH的面積為S， 則S△AEH=S△CFG=x2, S△BEF=S△DGH=（a-x）（b-x）， ∴S=ab-2［2+（a-x）（b-x）］ =-2x2+（a+b）x=-2（x-2+ 由圖形知函數(shù)的定義域為{x|0＜x≤b}. 又0＜b＜a,∴0＜b＜,若≤b,即a≤3b時， 則當x=時，S有最大值; 若＞b,即a＞3b時， S（x）在（0,b］上是增函數(shù)， 此時當x=b時，S有最大值為 -2(b-)2+=ab-b2, 綜上可知，當a≤3b時，x=時， 四邊形面積Smax=, 當a＞3b時，x=b時，四邊形面積Smax=ab-b2. 變式訓練1：某商人將進貨單價為8元的某種商品按10元一個銷售時，每天可賣出100個，現(xiàn)在他采用提高售價，減少進貨量的辦法增加利潤，已知這種商品銷售單價每漲1元，銷售量就減少10個，問他將售價每個定為多少元時，才能使每天所賺的利潤最大？并求出最大值. 解：設(shè)每個提價為x元（x≥0），利潤為y元，每天銷售總額為（10+x）（100-10x）元， 進貨總額為8（100-10x）元， 顯然100-10x＞0,即x＜10, 則y=（10+x）（100-10x）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360 (0≤x＜10). 當x=4時，y取得最大值，此時銷售單價應(yīng)為14元，最大利潤為360元. 例2. 據(jù)氣象中心觀察和預測：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度 v（km/h）與時間t（h）的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點T（t，0）作橫軸 的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t（h）內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s（km）.（1）當t=4時，求s的值； （2）將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學關(guān)系式表示出來； （3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷這 場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將 侵襲到N城？如果不會，請說明理由. 解：（1）由圖象可知： 當t=4時，v=34=12, ∴s=412=24. （2）當0≤t≤10時，s=t3t=t2， 當10＜t≤20時，s=1030+30（t-10）=30t-150； 當20＜t≤35時，s=1030+1030+(t-20)30-(t-20)2(t-20)=-t2+70t-550. 綜上可知s= (3)∵t∈［0，10］時，smax=102=150＜650. t∈（10，20］時，smax=3020-150=450＜650. ∴當t∈（20，35］時，令-t2+70t-550=650. 解得t1=30,t2=40,∵20＜t≤35, ∴t=30，所以沙塵暴發(fā)生30 h后將侵襲到N城. 變式訓練2：某工廠生產(chǎn)一種機器的固定成本（即固定投入）為0.5萬元，但每生產(chǎn)100臺， 需要加可變成本（即另增加投入）0.25萬元.市場對此產(chǎn)品的年需求量為500臺，銷售的收入函數(shù)為R（x）=5x-（萬元）(0≤x≤5)，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百臺）. （1）把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)； （2）年產(chǎn)量是多少時，工廠所得利潤最大？ （3）年產(chǎn)量是多少時，工廠才不虧本？ 解：（1）當x≤5時，產(chǎn)品能售出x百臺； 當x＞5時，只能售出5百臺， 故利潤函數(shù)為L（x）=R（x）-C（x） = (2)當0≤x≤5時，L（x）=4.75x--0.5， 當x=4.75時，L(x)max=10.781 25萬元. 當x＞5時，L（x）=12-0.25x為減函數(shù)， 此時L（x）＜10.75(萬元）.∴生產(chǎn)475臺時利潤最大. （3）由 得x≥4.75-=0.1(百臺）或x＜48(百臺). ∴產(chǎn)品年產(chǎn)量在10臺至4 800臺時，工廠不虧本. 例3. 某市居民自來水收費標準如下：每戶每月用水不超過4噸時，每噸為1.80元，當用水超過4噸時，超過部分每噸3.00元，某月甲、乙兩戶共交水費y元，已知甲、乙兩用戶該月用水量分別為5x，3x噸. （1）求y關(guān)于x的函數(shù)； （2）若甲、乙兩戶該月共交水費26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費. 解：（1）當甲的用水量不超過4噸時，即5x≤4，乙的用水量也不超過4噸， y=（5x+3x）1.8=14.4x; 當甲的用水量超過4噸，乙的用水量不超過4噸時， 即3x≤4且5x＞4, y=41.8+3x1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8. 當乙的用水量超過4噸時， 即3x＞4,y=81.8+3(8x-8)=24x-9.6， 所以y= (2)由于y=f(x)在各段區(qū)間上均為單調(diào)遞增， 當x∈［0，］時,y≤f（）＜26.4; 當x∈（，］時，y≤f（）＜26.4; 當x∈（,+∞）時，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5, 所以甲戶用水量為5x=7.5噸， 付費S1=41.8+3.53=17.70（元); 乙戶用水量為3x=4.5噸， 付費S2=41.8+0.53=8.70（元). 變式訓練3：1999年10月12日“世界60億人口日”，提出了“人類對生育的選擇將決定世界未來”的主題，控制人口急劇增長的緊迫任務(wù)擺在我們的面前. （1）世界人口在過去40年內(nèi)翻了一番，問每年人口平均增長率是多少？ （2）我國人口在1998年底達到12.48億，若將人口平均增長率控制在1%以內(nèi)，我國人口在xx年底至多有多少億？ 以下數(shù)據(jù)供計算時使用： 數(shù)N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000 對數(shù)lgN 0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0 數(shù)N 3.000 5.000 12.48 13.11 13.78 對數(shù)lgN 0.477 1 0.699 0 1.096 2 1.117 6 1.139 2 解：（1）設(shè)每年人口平均增長率為x，n年前的人口數(shù)為y， 則y(1+x)n=60，則當n=40時，y=30， 即30(1+x)40=60，∴(1+x)40=2， 兩邊取對數(shù)，則40lg(1+x)=lg2， 則lg（1+x）==0.007 525， ∴1+x≈1.017，得x=1.7%. （2）依題意，y≤12.48（1+1%）10， 得lgy≤lg12.48+10lg1.01=1.139 2, ∴y≤13.78，故人口至多有13.78億. 答 每年人口平均增長率為1.7%，xx年人口至多有13.78億. 小結(jié)歸納 解決函數(shù)應(yīng)用問題應(yīng)著重注意以下幾點： 1．閱讀理解、整理數(shù)據(jù)：通過分析、畫圖、列表、歸類等方法，快速弄清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)的單位等等； 2．建立函數(shù)模型：關(guān)鍵是正確選擇自變量將問題的目標表示為這個變量的函數(shù)，建立函數(shù)模型的過程主要是抓住某些量之間的相等關(guān)系列出函數(shù)式，不要忘記考察函數(shù)的定義域； 3．求解函數(shù)模型：主要是計算函數(shù)的特殊值，研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域、最大(小)值等，注意發(fā)揮函數(shù)圖象的作用. 4．還原評價：應(yīng)用問題不是單純的數(shù)學問題，既要符合數(shù)學學科又要符合實際背景，因于解出的結(jié)果要代入原問題進行檢驗、評判最后作出結(jié)論，作出回答.